山西省运城市2024-2025学年高二上学期11月期中测评数学试题

山西省运城市2024-2025学年高二上学期11月期中测评数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，则 A.1 B.2 C. D.3 2.抛物线的焦点到准线的距离为 A. B.3 C. D.1 3.记水的质量为，则当时，水的质量为 A. B. C.1 D.2 4.已知，则 A.-5 B.-3 C. D.2 5.若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为 A. B. C. D. 6.已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的方程为 A. B. C. D. 7.如图，已知多面体ABCDMN中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面平面，若异面直线AT与MD所成的角的余弦值为，则的值为 A. B. C. D. 8.已知.直线为上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆与圆内切，则的值可以为 A.-1 B.0 C.1 D.2 10.如图，在正三棱柱中，为空间内一动点，若，则 A.若，则点的轨迹为线段BC1 B.若，则点的轨迹为线段 C.存在，使得平面 D.存在，使得平面 11.已知椭圆且为常数）的左、右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆的左焦点与椭圆交于A，B两点，且的最大值为7；O为坐标原点，则下列说法正确的是 A. B.椭圆的离心率 C. D.若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在中，内角A，B，C所对的边分別为a，b，c，若，则的面积为______. 13.如图，在正四面体PABC中，为AB中点，则的值是______. 14.已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线16x的焦点为，若直线分别与交于P，Q两点，且，则______.（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆的圆心，直线与圆相切． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆有且只有一个公共点，求直线的方程. 16.（本小题满分15分）如图，在正三棱柱中，，点为AC的中点. （1）求证：平面； （2）求直线AB与平面所成的角的正弦值. 17.（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆上的任意一点到直线的距离的最值. 18.（木小题满分17分） 如图，已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，点是棱上的动点（包括端点）． （1）证明，平面平而； （2）若平面与平而PCD的夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 19.（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线的左支交于A，B两点，点与点关于轴对称. （i）求的取值范围； （ii）求证：直线BD过定点. 山西2024～2025学年高二年级11月份期中测评数学参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A B D C D 题号 9 10 11 答案 BD AB BC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C【解析】依题意，，则．故选C. 2.【答案】B【解析】由抛物线的标准方程为，有，有，可得抛物线的焦点到准线的距离为3.故选B. 3.【答案】D【解析】当时，水的质量为.故选D. 4.【答案】A【解析】由，得，则，所以，故选A. 5.【答案】B【解析】由双曲线的离心率为2，可得，解得，所以，又由双曲线的定义，可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为.故选B. 6.【答案】D【解析】设，因为直线与相交于A，B两点，所以由题意得，直线的方程为，整理为，故选D. 7.【答案】C【解析】以为原点，分别以AB，AD，AM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 所以， 有，可得，又由，有，可得．故选C. 8.【答案】D【解析】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当PA，PB分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时．故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.【答案】BD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分） 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆内切，所以，即，解得或2.故选BD. 10.【答案】AB（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分） 【解析】对于A：由，得点在侧面内（含边界），若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即，又，1]，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：取棱BC的中点，连接AD，由题意易证平面，当点与重合时，平面，此时，故不存在，使得平面，故C错误； 对于D：若使平面，则点必在棱BC上，此时，故不存在，使得平面，故D错误.故选AB. 11.【答案】BC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分） 【解析】如图所示：易知，由椭圆定义可知， 因为的最大值为7，所以的最小值为， 当轴，即为通径时，最小，所以，有， 解得，所以A错误； 可得粗圆方程为，易知，所以离心率， 所以B正确； 当为长轴时，最大，此时，所以，所以C正确； 因为，可设直线的方程为， 联立，整理可得， 因此； 若，可得，即，所以；有，整理得，解得．有.所以D错误.故选BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】 【解析】由余弦定理可得，即，解得或-1（舍去），所以. 13.【答案】－1 【解析】. 14.【答案】 【解析】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为.设， 则， 故，所以， 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15.【答案】（1）（2）或 【解析】（1）联立方程，解得………………………………………………………2分 可得圆的圆心的坐标为，……………………………………………………………………………3分 又由圆与直线相切，可得圆的半径为，……………………………………5分 可得圆的标准方程为；…………………………………………………………6分 （2）由直线与圆有且只有一个公共点，可得直线与圆相切，…………………………………7分 ①若斜率不存在，此时直线方程为：，与圆相切，……………………………………………8分 ②当直线与圆相切斜率存在时，设，即，……………………10分 根据圆心到切线距离等于半径可得，得， 所以此时直线的方程为，………………………………………………………………12分 综上，直线的方程为或．…………………………………………………………13分 16.【答案】（1）详见解析（2） 【解析】（1）连接与交于点，连接DE，………………………………………………………2分 在正三棱柱中，四边形是矩形，所以点是的中点，……………………3分 又点是AC的中点，所以，……………………………………………………………………4分 又平面平面，……………………………………………………………………5分 所以平面；………………………………………………………………………………………6分 （2）解法一：取的中点，连接DF， 因为为等边三角形，点为AC的中点，所以，………………………………………7分 如图，以点为原点，分别以DB，DC，DF所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则，………………………………………………………………………………9分 设平面的一个法向量为， 则 令，得，………………………………………………………………………………12分 由， 有， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为.………………………15分 解法二：由，有，…………………………8分 又由，有，……10分 设点到平面的距离为，有，………………………………12分 又由，有，有， 故直线AB与平面所成角的正弦值为.……………………………………15分 17.【答案】（1）（2）最小值为，最大值为 【解析】（1）由椭圆的离心率为，可得，………………………………1分 可得，设椭圆的方程为：，……………………………………………………3分 又因为椭圆经过点，所以， 解得，可得，………………………………………………………………………………5分 所以椭圆的方程为：；………………………………………………………………………6分 （2）解法一：设与直线平行的直线的方程为，…………………………………7分 联立，整理可得：，……………………………………………9分 ，可得，则，………………………………………11分 所以直线到直线的距离为. 所以直线到直线的距离为. 所以椭圆上的点到直线的距离的最小值为，最大值为.……15分 解法二：设点为椭圆上任意一点，…………………………………………8分 点到直线的距离为（其中为锐角且），……………………………………………………………………………………………12分 可得当时，，…………………………………………13分 当时，.……………………………………………………14分 所以椭圆上的点到直线的距离的最小值为，最大值为.……15分 18.【答案】（1）详见解析（2） 【解析】（1）以下底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由于，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，可求出四棱台的高为，………………………………………2分 则，于是，………………………………………………………………………………………4分 设平面的法向量为，则， 取，可得，…………………………………………………………………………6分 设平面的法向量为，则，取，可得，………………………………………………………………………………………………8分 由于，则平面的法向量与平面法向量垂直，则平面平面；…9分 （2）设，且，则 …………………………………………10分 设平面PCD的法向量为，则，取，可得 ，…………………………………………………………………………………………12分 设平面与平面PCD的夹角为，则，化简即（，解出，………………………………………………………………………15分 因此，则点到平面的距离为. ………………………………………………………17分 19.【答案】（1）（2）（i）（ii）详见解析 【解析】（1）由已知得解得，………………………………………………2分 所以双曲线的方程为；……………………………………………………………………3分 （2）（i）设，则， 联立 消去得，……………………………………………………………………5分 则， 可得． 所以的取值范围为；………………………………………………………8分 （ii）由（i）得，…………………………………………………9分 由对称性可知BD过的定点在轴上，设定点的坐标为，……………………………………11分 由， 所以， 可得， 所以直线BD过定点.…………………………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$