精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

延边第二中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定判断即得. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题的否定是. 故选：C 2. 若，则m可能取值的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得. 【详解】由，得，则， 由，得，此时，符合题意； 或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意， 所以m可能取值的集合为. 故选：B 3. 幂函数在时是减函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性计算并验证即可. 【详解】因为是幂函数，则或， 若，则，其在R上为增函数，不符题意； 当，则，在时是减函数，符合题意. 故选：B 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】由，解得或， 即不等式的解对应集合， 由或，解得或， 即不等式的解对应集合， 显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 5. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 6. 定义为中的最大值，设，则的最小值为（ ）． A. B. 4 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别画出的图象，即可得函数的图象，根据图象分析最值. 【详解】分别画出的图象，则函数的图象为图中实线部分. 由图知：函数的最低点为A， 由 ，解得，即. 所以的最小值为. 故选：D. 7. 已知关于的方程有两个不同的实根，且，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可转化为，即可求解. 【详解】关于的方程有两个不同的实根，且 ， ， 即， 解得（舍去）， 故选：B 8. 对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”.若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义先化简求得的等量关系，然后采用常数代换法表示出的最小值，最后根据最小值的结果求解出的值. 【详解】因为正实数与为函数的一对“类指数”， 所以，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，所以， 故选：A. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】举反例判断ABC，利用不等式的性质判断D，从而得解. 【详解】对于A，若，取，则，故A错误； 对于B，若，取，则，故B错误； 对于C，若，取，则，故C错误； 对于D，若，则，则，即，故D正确. 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的图象与轴有个交点 【答案】AB 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的解析式，可判断B选项；代值计算可判断A选项；利用二次函数的单调性求出函数的最小值，可判断C选项；在时，解方程可判断D选项. 【详解】对于B选项，令，则， 由可得， 所以，，B对； 对于A选项，，A对； 对于C选项，，则函数在上为增函数， 所以，，C错； 对于D选项，令，且，解得， 所以，的图象与轴有且只有个交点，D错. 故选：AB. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是 B. 已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 C. 已知函数，若，且，则 D. 函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由函数奇偶性的性质求出的解析式，由此可得的解析式，结合基本不等式求解判断即可；对于B，将问题转化为，利用二次函数的性质进行求解判断即可；对于C，化简得到，结合基本不等式和指数不等式，求解判断即可；对于D，由于，可将转化为，令，利用其单调性可求得，即可判断. 【详解】对于A，∵是奇函数，是偶函数，∴，， ∵①，∴，从而②， 由①②解得， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是，故A正确； 对于B，若，，使得不等式成立， 则需满足， 因为函数的图象开口向上，对称轴， 所以在上单调递减，上单调递增， 则， 因为函数的图象开口向上，对称轴， 当，即时，在上单调递增， 此时恒成立， 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 又，从而得； 当，即时，在上单调递减， 所以，又， 所以，解得， 综上，实数的取值范围为，故B正确； 对于C，函数， 由可得， 化简得，即， 由，可得， 即，得，故C错误； 对于D，∵，恒成立， ∴，恒成立， ∴，恒成立， ∴，恒成立， 令，∴，， ， 当且时，，则， 当且时，，则， 可得在上单调递增，在上单调递减， ∵， ∴当时，， ∴，即的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 12. 的值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】借助对数的运算法则及换底公式化简计算即可. 【详解】 . 故答案为：8. 13. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义可求得的解析式，从而可求得，，进而可得答案. 【详解】令，则，所以． 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以，所以，， 所以. 故答案为： 14. 已定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.若在上是以为上界的函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立,则恒成立,转化为不等式组在上恒成立,从而可求出的取值范围. 【详解】若函数在上是以为上界的函数, 则有在上恒成立. 故恒成立, 即恒成立, 所以, 即, 即在上恒成立. 因为在上单调递减,其最大值为; 又在上单调递减,其最小值为. 所以,即, 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出时集合，根据定义域可求出集合，再根据并集，补集和交集运算即可求解;（2）首先根据题意得到，再分类讨论的范围，即可得到答案. 【小问1详解】 当时，可知集合， 由可知， 所以集合，则 【小问2详解】 因为，所以可得， 当时，则，解之可得， 当时，，解之可得， 综上可知实数的取値范围为. 16. 已知函数. （1）当，时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，且，，则当，取何值时，值最小？最小值是多少？ 【答案】（1）或； （2）； （3）；最小值为 【解析】 【分析】（1），解一元二次不等式，求出解集； （2）转化为，是两根，且，，由韦达定理得到方程组，求出答案； （3）由得到，利用基本不等式“1”的代换求出最小值. 【小问1详解】 将，代入可得，即， 解得或；所以解集为或； 【小问2详解】 由题意可知，是两根，且， 同时的开口向上可得， 根据韦达定理可得，解得； 【小问3详解】 由1是的零点，所以，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以取的最小值，且最小值为 17. 某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 浮萍的面积 3 5 9 其函数解析式为，其中，，，均为常数，且. （1）求出关于的函数解析式； （2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，计算+-的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据代入解析式计算参数即可； （2）根据（1）的结论结合指数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 由表中数据知，时间每增加1个月，浮萍的面积增加量逐渐变大，， 当依次取1，2，3得，解得，即； 【小问2详解】 由（1）知，，则有， 理出如下：依题意，得，，， 即，，，于是， 则，所以，则+-=1 18. 已知（且）是上的奇函数，且.设. （1）求，的值，并求的值域； （2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） ，值域为； （2） 把区间等分成份，则等分点的横坐标为，， ，为奇函数， 所以的图象关于对称，所以，， 所以 所以，即. 故存在正整数或3，使不等式有解. 【解析】 【分析】（1）由是上的奇函数，且求出可得及，利用分离常量求出的值域； （2）得出的图象关于对称，所以，利用对称性求出可得答案. 【小问1详解】 因为（且）是上的奇函数，且， 所以，解得， 则， 因为定义域为，， 所以是上的奇函数，故， ， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以 又时，， 所以，即的值域为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问的解题的关键点是判断出，的图象关于对称，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个选项正确） 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则m可能取值的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在时是减函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. D. 或1 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 定义为中的最大值，设，则的最小值为（ ）． A. B. 4 C. 0 D. 7. 已知关于的方程有两个不同的实根，且，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”.若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的图象与轴有个交点 11. 下列命题正确的是（ ） A. 已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是 B. 已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 C. 已知函数，若，且，则 D. 函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请将答案写在答题纸上） 12. 的值为______. 13. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则________ 14. 已定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.若在上是以为上界的函数，则的取值范围是__________. 四、解答题（共5小题，共77分，请写出必要的解答过程） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）当，时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，且，，则当，取何值时，值最小？最小值是多少？ 17. 某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 浮萍的面积 3 5 9 其函数解析式为，其中，，，均为常数，且. （1）求出关于的函数解析式； （2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，计算+-的值. 18. 已知（且）是上的奇函数，且.设. （1）求，的值，并求的值域； （2）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $