第十四章《整式的乘法与因式分解》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第十四章《整式的乘法与因式分解》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．2022年中国空间站完成在轨建造，中国空间站绕地球飞行的速度约为，则中国空间站绕地球飞行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程=速度×时间计算，把结果写成科学记数法的形式． 【详解】解：． 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，以及科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的特点，使用条件是两个数的和与两个数的差，本题考查了平方差公式，正确理解公式使用条件：一个数的符号是同号，另一个数符号异号是解题关键． 【详解】A. 中，x是同号，y的异号，符合题意，能用公式；     B. 中，x是异号，2y的同号，符合题意，能用公式；     C. 中，a是异号，b的异号，不符合题意，不能用公式；     D. 中，是同号，n的异号，符合题意，能用公式；     故选C． 4．已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ） A．22 B．16 C．10 D．4 【答案】C 【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：． 故选择C． 【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键． 5．已知，，则的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．11 【答案】B 【分析】将变形为，同时将化为，可得出的值，再将分解因式，最后将和的值代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，运用完全平方分式变形求值．灵活运用所学知识进行恒等变形是解题的关键． 6．将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断． 【详解】A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 7．若,则的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【详解】试题分析：因为，所以，所以， 所以=5-1=4，故选C. 考点：求代数式的值. 8．有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】设小长方形的长和宽分别为和，根据阴影部分的面积分别为和，列方程，再整体求解． 【详解】解：设小长方形的宽为，长为， 由图得：， ， 由图得：， 则， 即， 则， 解得：， 故每个小长方形的面积为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，表示出阴影部分的面积是解题的关键． 9．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A．45 B．63 C．54 D．不确定 【答案】B 【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m）， ∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m）， ∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m）， ∴n﹣2＝9，m＝， ∴n＝11，m＝63． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键． 10．已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若中不含的二次项，则的值为 . 【答案】9 【分析】根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据积中不含的二次项，可求的值． 【详解】解： ， 由题意可知， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型． 13．已知，则 ． 【答案】61 【分析】根据可得，，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：61． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解． 14．若且，则 ． 【答案】 【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴=， ∴==， 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键． 15．已知，，，则 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照单项式乘以单项式的法则进行运算即可； （2）按照单项式乘以多项式的法则进行运算即可； （3）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握“整式的乘法运算的运算法则”是解本题的关键． 17．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题： (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含a，b的式子表示：＝______，＝______；（不必化简） (2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______； (3)利用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据图形的和差关系表示出，根据长方形的面积公式表示出； （2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是； （3）由（2）中所得公式，可得原式，从而简便计算出该题结果． 【详解】（1）解：由题意得，， ． 故答案为：；； （2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为． 故答案为：； （3）解：由（2）中所得乘法公式可得， ． 【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题是关键． 18．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先提取公因数，再根据完全平方公式分解因式，即可得到答案； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式，即可得到答案； （3）先提取公因数，再根据平方差公式分解因式，即可得到答案； （4）两次运用平方差公式分解因式，即可得到答案； （5）先运用平方差公式分解因式，再运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （6）两次运用平方差公式分解因式，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握综合提公因式法和公式法分解因式是解题关键．要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知的展开式中不含项和项，求： (1)，的值； (2)的值。 【答案】(1)， (2)243 【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含和项，列方程求出与的值即可， （2）把与的值代入求值． 【详解】（1） 展开式中不含和项 且 解得，． （2） 把，代入原式 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出关于的方程是解此题的关键． 20．计算下列各题： (1)计算：． (2)若的积中不含x的二次项和一次项，求的值． (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)； (2)16； (3)． 【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可； （2）先根据多项式与多项式计算，然后令二次项和一次项的系数等于0列式求解即可； （3）利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项，然后算除法，再代入即可求值． 【详解】（1） ； （2） ， ∵的积中不含x的二次项和一次项， ∴， ∴， ∴； （3） ， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式与多项式乘积无关问题，以及乘法公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 21．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）①根据长方形的周长是即可得出的值； ②由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据第一步中求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ． 答：的值为5． ②空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键． 23．（1）已知，求的值． （2）已知将乘开的结果不含和项．求m、n的值； （3）小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： 请按照小明的方法，计算． 【答案】（1）72，详见解析 （2），详见解析 （3），详见解析 【分析】（1）由，即可求得答案； （2）先根据多项式乘多项式的计算法则化简代数式，然后根据不含的项和的项得到，据此求出m、n的值即可得到答案． （3）根据题意以及平方差公式即可求出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2） ∵关于x的代数式的化简结果中不含的项和的项， ∴， ∴， （3） ． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，多项式乘以多项式，平方差公式的应用，掌握相关计算法则是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章《整式的乘法与因式分解》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．2022年中国空间站完成在轨建造，中国空间站绕地球飞行的速度约为，则中国空间站绕地球飞行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 4．已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ） A．22 B．16 C．10 D．4 5．已知，，则的值为（　　） A．3 B．6 C．8 D．11 6．将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（　　） A． B． C． D． 7．若,则的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．5 8．有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 9．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A．45 B．63 C．54 D．不确定 10．已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．计算 ． 12．若中不含的二次项，则的值为 . 13．已知，则 ． 14．若且，则 ． 15．已知，，，则 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题： (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含a，b的式子表示：＝______，＝______；（不必化简） (2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______； (3)利用（2）中得到的公式，计算：． 18．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知的展开式中不含项和项，求： (1)，的值； (2)的值。 20．计算下列各题： (1)计算：． (2)若的积中不含x的二次项和一次项，求的值． (3)先化简，再求值：，其中． 21．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 23．（1）已知，求的值． （2）已知将乘开的结果不含和项．求m、n的值； （3）小明在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了，并做了如下的计算： 请按照小明的方法，计算． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$