精品解析：湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试 高一数学试卷 命题学校：天门市竟陵高级中学 命题教师：孙勇波 审题学校：崇阳众望高中 审题教师：陈琪 考试时间：2024年11月12日上午8:00-10：00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､考号､班级､姓名等填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷､草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷､草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 3. 已知函数则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知为非零实数，则“”是“关于的不等式与不等式解集相同”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 11. 已知函数在上的最大值比最小值大1，则正数的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的值所组成的集合为__________. 13. 已知是定义在上的奇函数，若，则__________. 14. 以表示数集中最大的数，表示数集中最小的数，则__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合. （1）若，求的取值； （2）记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 16. 已知定义在上的函数对任意实数都有，且当时，. （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）求不等式的解集. 17. 如图，在公路的两侧规划两个全等的公园.（）其中为健身步道，为绿化带.段造价为每米3万元，段造价为每米4万元，绿化带造价为每平方米2万元，设的长为的长为米. （1）若健身步道与绿化带的费用一样，则如何使公园面积最少？ （2）若公园建设总费用为74万元，则健身步道至少多长？ 18. 已知函数是奇函数，且. （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）当时，解关于的不等式. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存在“优美区间”； （3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试 高一数学试卷 命题学校：天门市竟陵高级中学 命题教师：孙勇波 审题学校：崇阳众望高中 审题教师：陈琪 考试时间：2024年11月12日上午8:00-10：00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､考号､班级､姓名等填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷､草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷､草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集运算可直接求解. 【详解】， . 故选：B. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】判断全称量词命题及存在量词命题及其否定的真假即可得答案. 【详解】对于命题，当时，，为假命题，则为真命题，AC错误； 对于命题，当时，，为真命题，则为假命题，BC错误. 所以和均为真命题，D正确. 故选：D 3. 已知函数则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】代入求解得到，结合，，求出答案. 【详解】由， 则， 又，，所以. 故选：C 4. 已知为非零实数，则“”是“关于的不等式与不等式解集相同”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式解集与方程根的关系可得当两不等式解集不相同，即可得出结论. 【详解】由知， 若与不等式解集不相同； 若与不等式解集相同，则. 则“”是“关于的不等式与不等式解集相同”的必要不充分条件 故选：B 5. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】则原问题转化为方程：在上有解问题，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】设为奇函数，且当时，， 则时，， 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 6. 函数若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性的定义判断单调性，由分段函数单调增的条件，列出不等式组，求得结果 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递增的， 则. 故选：C 7. 已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式求的最小值，再将恒成立问题转化为最值问题，可得不等式，求解即可. 【详解】因为，且为正实数， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以，则 因为恒成立，所以，解得， 故选：A. 8. 设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义结合集合间的基本关系与运算计算即可. 【详解】① 故①不是集合X上的拓扑的集合； ③， 故③不是集合X上的拓扑的集合； 对于选项②④ 满足：（1）X属于，属于； （2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于， 综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②④ 故选：C 【点睛】思路点睛：新定义问题关键在于理解题意，将问题转化为集合间的基本关系即可. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分. 9. 下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由恒成立问题解出的取值范围，再利用集合间的包含关系即可判断. 【详解】由对恒成立可得， ①当时，成立； ②当时，，解得； 故对恒成立时，的取值范围是， 则是的真子集，且是的真子集； 故选：CD 10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过，确定集合，再通过选项逐个判断即可. 【详解】当时，， 当时，， 对选项A：若，，此时，满足； 对选项B：若，，此时，不满足； 对选项C：若，，此时，满足； 对选项D：若，，此时，满足； 故选：ACD. 11. 已知函数在上的最大值比最小值大1，则正数的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，所以， ，所以，解得或（舍去）； 当时，函数在上单调递减，所以， ，所以，解得（舍去）； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，且，， 若，即，则，解得（舍去）或（舍去）； 若，即，则，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：AD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数的值所组成的集合为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以，， 所以或， 当时，解得，合题意， 当时，解得或， 若，，，合题意， 若，，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的奇函数，若，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】通过函数奇偶性得到，再令即可求解. 【详解】为奇函数，即 令有 故答案为：4 14. 以表示数集中最大的数，表示数集中最小的数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数，，的图象可求出的解析式，进而求出最大值. 【详解】在同一坐标系下画出函数，，的图象， 联立，解得或，所以； 联立，解得或，所以； 由图可知， 所以当时，有最大值， 则， 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合. （1）若，求的取值； （2）记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 【答案】（1）或或 （2） 【解析】 【分析】（1）通过和两类情况讨论即可； （2）确定中元素个数，由（1）即可确定. 【小问1详解】 若，则此时 若则，当时；当且时 ，即，解得或，， 由若可知有或或 【小问2详解】 若集合的非空真子集有6个，则，可得， 即中的元素只有3个，又 由（1）知，且且即且且 故实数的取值所构成的集合为 16. 已知定义在上的函数对任意实数都有，且当时，. （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求，再由求； （2）设，可得，再利用可得的解析式； （3）可根据的符号分类讨论，列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为时，， 所以，， 【小问2详解】 当时，，此时， 又对任意实数x都有，故时，， 所以函数； 【小问3详解】 由得，或， ①当时，，即或，解得或； ②当时，，即，解得； 综上所述，不等式的解集为. 17. 如图，在公路的两侧规划两个全等的公园.（）其中为健身步道，为绿化带.段造价为每米3万元，段造价为每米4万元，绿化带造价为每平方米2万元，设的长为的长为米. （1）若健身步道与绿化带的费用一样，则如何使公园面积最少？ （2）若公园建设总费用为74万元，则健身步道至少多长？ 【答案】（1）的长为的长6 （2）14米 【解析】 【分析】（1）根据题意得，利用基本不等式即可解决； （2）由题意得，化简得，结合基本不等式即可解决. 【小问1详解】 依题意得：，即， 因为， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 此时面积， 故的长为的长6时公园面积最少. 【小问2详解】 依题意得：， 所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 此时， 故健身步道至少长（米）. 18. 已知函数是奇函数，且. （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）当时，解关于的不等式. 【答案】（1），. （2）在上单调递增，理由如下： 由（1）可知 任取，且，则 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质得到，求出，代入得到； （2）定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）在（2）基础上，由的奇偶性得到在上单调递增，又时，，从而得到不等式，求出解集. 【小问1详解】 因为函数是奇函数， 所以， 即，， 所以，解得， 所以， 因为， 所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 因为在上单调递增且为奇函数，所以在上单调递增， 因为， 所以，即， 解得，或，综合得或 所以不等式的解集为 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存在“优美区间”； （3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值. 【答案】（1） 在区间上单调递增，又， 当时，， 根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”； （2） ，设， 可设或， 则函数在上单调递减. 若是的“优美区间”，则 两式相减可得：， 又，所以，即， 代入方程组，得到，原方程无解. 函数不存在“优美区间”. （3） 【解析】 【分析】（1）在区间上单调递增，又，满足“优美区间”的定义； （2）根据的定义域，可设或，由单调性得到，两式相减，化简得到，代入方程组，得到，原方程无解，故函数不存在“优美区间”； （3）根据函数定义域得到或，分离常数得到在上单调递增，故，是方程，即的两个同号且不等的实数根，根据，求出或，由韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，当时，取得最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，设. 有“优美区间”， 或， 在上单调递增. 若是函数的“优美区间”，则， 是方程， 即（*）的两个同号且不等的实数根. ， 或， 由（*）式得. ， 或， 当时，取得最大值. . 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $