精品解析：浙江省杭州市浙里特色联盟2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

2024学年第一学期浙里特色联盟期中联考 高一数学学科试题 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数在定义域上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知是定义在上的偶函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若是偶函数，则也是偶函数 B. 若是奇函数，则也是奇函数 C. 若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D. 若是单调递增函数，则也是单调递增函数 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分．） 9. 若集合，，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最小值为2 B. 若，则的最小值为1 C. 若，，且，则的最小值为 D. 若，，且，则的最大值为 11. 设，定义：，，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则的值为________. 13. 已知幂函数的图象过点（2，），则___________ 14. 对于函数，若对于任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知定义域是的奇函数，当时，. （1）若，求的值； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若，不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 17. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 18. 已知，，函数． （1）若，求的最小值； （2）若，求不等式的解集（用表示）． 19. 已知实数集，定义 （1）若，求； （2）若，求集合； （3）若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期浙里特色联盟期中联考 高一数学学科试题 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解得答案. 【详解】集合，，则. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用量词命题否定的规则：改量词，否结论即可得解. 【详解】因为量词命题否定的规则为：改量词，否结论， 所以命题“”的否定为. 故选：D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域求法即可得解. 【详解】对于， 有，解得且， 所以的定义域为. 故选：D. 4. 下列函数在定义域上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数解析式逐项判断函数的单调性即可. 【详解】对于A，函数在定义域R上单调递增，A不是； 对于B，函数的定义域为，在定义域上不单调，B不是； 对于C，函数在定义域R上单调递减，C是； 对于D，函数的定义域为，在定义域上不单调，D不是. 故选：C 5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数定义域和对应关系均相同则函数相同，对选项逐一判断即可得解. 【详解】A选项，与，对应关系不同，不表示同一函数，故A错误； B选项，的定义域是，的定义域也是， 则两函数的定义域相同，对应关系也相同，表示同一函数，故B正确； C选项，的定义域是，的定义域为， 所以两函数的定义域不同，不表示同一函数，故C错误； D选项，由且，解得，则定义域为， 由，解得或，则定义域为或， 所以两函数的定义域不同，不表示同一函数，故D错误. 故选：B. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 所以的解集为. 故选：A. 7. 已知是定义在上的偶函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合偶函数的性质即可判断. 【详解】当时，显然成立，即充分性成立； 当时，因为函数是上的偶函数， 取，则满足，但不成立，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若是偶函数，则也是偶函数 B. 若是奇函数，则也是奇函数 C. 若是单调递减函数，则也是单调递减函数 D. 若是单调递增函数，则也是单调递增函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性与单调性的定义与判定方法，逐一分析各选项即可得解. 【详解】对于A，因为是偶函数，定义域为， 则，的定义域也为， 故，则为偶函数，故A正确； 对于B，因为是奇函数，定义域为， 则，的定义域也为， 故，则为奇函数，故B正确； 对于C，取，则为单调递减函数，满足条件， 但此时，为单调递增函数，结论不成立，故C错误； 对于D，因为是单调递增函数，任取，且， 则，所以， 则也是单调递增函数，故D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，熟练掌握函数奇偶性与单调性的定义与判定方法，从而得解. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分．） 9. 若集合，，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用集合的包含关系得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，，且， 所以或，解得或或， 当时，，，满足题意； 当时，，，满足题意； 当时，，，满足题意； 当时，，，不满足集合元素的互异性，舍去； 综上，或，故ABD正确，C错误. 故选：ABD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则的最小值为2 B. 若，则的最小值为1 C. 若，，且，则的最小值为 D. 若，，且，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例排除A，利用配凑法，结合基本不等式可判断B，利用基本不等式“1”的妙用可判断C，利用基本不等式“一正二定三相等”可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，取，则， 显然的最小值不可能为2，故A错误； 对于B，因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1，故B正确； 对于C，因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为，， 所以 当且仅当，即时取等号， 显然等号无法取得，D错误. 故选：BC. 11. 设，定义：，，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】理解函数新定义可直接判断A，举反例排除B，分类讨论的大小关系，利用绝对值的相关知识可判断C，分类讨论的大小关系可判断D，从而得解. 【详解】因为，， 则表示中较大的数，表示中较小的数， 对于A，，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，而， 此时不成立，故B错误； 对于C，当时，，得， 当时，； 当时，； 则； 当时，，得， 当时，； 当时，； 则； 综上，，故C正确； 对于D，当时，， 则； 当时，， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以是的一个解，即，解得， 经检验，满足题意. 故答案为： 13. 已知幂函数的图象过点（2，），则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数所过的点求的解析式，进而求即可. 【详解】由题设，若，则，可得， ∴，故. 故答案为： 14. 对于函数，若对于任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可构成三角形的函数的定义，得到，进而分类讨论与两种情况，分析的最值情况，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题意知对任意的，恒成立， 则， 因为， 当时，，显然满足； 当时，，，则， 所以，， 所以，即， 此时没有最小值，所以，解得，故； 综上，. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式化简集合，再根据题意化简集合，从而利用集合的补集与交集运算即可得解； （2）由题意可得，分类讨论与两种情况，从而得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 解，得，故， 当时，， 所以或，. 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）可知，又， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，解得； 综上，或，即实数a的取值范围为. 16. 已知定义域是的奇函数，当时，. （1）若，求的值； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若，不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入后求得，再利用奇函数的性质即可得解； （2）根据题意，考虑在上的单调性，利用二次函数的单调性即可得解； （3）利用函数的奇偶性求得当时，的解析式，再利用参变分离法与二次函数的最值性质即可得解. 【小问1详解】 当，时，， 则， 又定义域是的奇函数，所以. 【小问2详解】 因为函数在区间上单调递增， 所以此时只需考虑在上的单调性即可， 因为当时，，其图象开口向下，对称轴为， 所以，解得，即的取值范围为. 【小问3详解】 因为不等式在区间上恒成立， 所以此时只需考虑在上的解析式即可， 当，时，， 当时，，则， 又定义域是的奇函数，所以， 因为不等式在区间上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则， 而， 当且仅当时，等号成立，则， 所以，即. 17. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨. （1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 （2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少 【答案】（1）当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元 （2）当年产量为吨时，可获得最大利润万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量. （2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量. 【小问1详解】 因为， 所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元. 【小问2详解】 设该工厂年获得总利润为万元， 则. 因为在上是增函数， 所以当时，有最大值为. 故当年产量为吨时，可获得最大利润万元. 18. 已知，，函数． （1）若，求的最小值； （2）若，求不等式的解集（用表示）． 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为R； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. （2）由得到，即代入不等式中分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 由，得，即，而， 因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 【小问2详解】 由，得，即， 不等式， 当时，解得或；当时，；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为R； 当时，原不等式的解集为. 19. 已知实数集，定义 （1）若，求； （2）若，求集合； （3）若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】（1）； （2）或； （3）13. 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可. （2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算. （3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负， 记，不妨设或者， ①当时，且， 相乘得，解得， 因此，； ②当时，同理得到，， 所以或. 【小问3详解】 先证明中元素个数不小于13， 若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数， ①集合中没有负数， 不妨设，则 积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14， ②集合中至少有一个负数， 设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，， 于是有， 以上是中的个非正数元素，又， 它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13， 因此中元素个数不小于13， 取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13. 【点睛】思路点睛：解决本题第3问，先证明中元素个数不小于13，再举例说明存在的个数等于13的事例. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $