精品解析：云南省保山市智源高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

保山市智源中学 2024-2025 学年上学期高二年级 期中考试数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 命题人：周雪梅 审题人：徐梦雪 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答卡上填写清楚. 2、每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号.在试卷上作答无效. 一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 2. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3. 下列选项中，所得到的结果为4的是（ ） A. 双曲线的焦距 B. 的值 C. 函数的最小正周期 D. 数据的下四分位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线关系，求，求焦距，判断；运用二倍角变形公式化简，判断；依据正切型函数的最小正周期，代入求解，判断；按照求解百分位数的步骤，直接求解，判断. 【详解】对于，，双曲线的焦距为，故错误； 对于，，故错误； 对于，最小正周期，故正确； 对于，一共有12个数据，， 所以这组数据的下四分位数是从小往大排列，第3个和第4个的平均数， 即，故错误. 故选：C. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平方关系、商数关系求出，再根据二倍角公式即可求解. 【详解】由，，可得，从而，． 故选：A. 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得，代入即可得出答案. 【详解】因为由正弦定理得， 所以，， 故选：D． 6. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值. 【详解】由椭圆，可得， 所以，所以椭圆的离心率， 又，所以双曲线的离心率为， 又双曲线，所以， 所以，解得. 故选：B. 7. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果. 【详解】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B 8. 已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意分别为基底表示出，求出，，再结合数量积运算律求出，根据向量夹角计算公式可得结果. 【详解】根据题意以为基底表示出可得： ，， 又棱两两的夹角均为，不妨取，则； 所以； ； 又 ； 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 二、多项选择题(本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）． A. 的焦点在轴上 B. C. 的实轴长为6 D. 的离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及性质即可验证各选项． 【详解】解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确； 根据题意得，所以，故B错误； 双曲线的实轴长为，故C错误； 双曲线的离心率，故D正确． 故选：AD． 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题． 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 存在直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C；利用弦长公式可判断选项D. 【详解】对A，由可得，， 令，即，此时，所以直线l恒过定点，A正确； 对B，因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，B正确； 对C，因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，即， 此时直线l与直线垂直，满足题意，C正确； 对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为， 此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误； 故选：ABC. 11. 已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可得，即A错误；令可得满足偶函数定义，即B正确；取可得，可得为奇函数，即C正确；利用奇函数性质可得，可得D正确. 【详解】令，得，又，所以，故A错误； 令得，，所以，故为偶函数，故B正确； 令，得，所以， 又，所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； 由C可得，也即，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇偶性进行周期、对称性等性质的判断. 三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可. 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得. 故答案为：. 13. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用图象可以观察出振幅和周期，也就是能求出，最后通过代入最高点坐标去求即可. 【详解】 由题知：，，，即， 又，，故，即． 故答案为：. 14. 早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为________；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】首先把正二十面体的外接球转化成正五棱锥的外接球.设正五棱锥棱长为，利用正弦定理求出正五棱锥的外接圆半径，再利用勾股定理求出正五棱锥的高，然后可求正五棱锥的外接球半径：.即可求所对应的比. 【详解】如图，这个正二十面体上方的一个正五棱锥： 则正二十面体的外接球就是这个五棱锥的外接球. 不妨设正二十面体的棱长为2. 如图： 正五边形的外接圆半径就是黄金的外接圆半径， 设为，则. 则到正五边形中心的距离为：. 设正二十面体的外接球半径为，则. 所以正二十面体的外接球半径与棱长的比为：. 正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比：. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：解题的关键是把正二十面体的外接球转化为正二十面体上方的一个正五棱锥的外接球，然后求正五棱锥的外接球半径和棱长的关系. 四、解答题(本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知点在圆上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 【答案】（1）圆心坐标为，半径长为 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径； （2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解. 【小问1详解】 因为点在圆上， 所以，解得， 所以该圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为； 【小问2详解】 因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以. 16. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； （3）在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1）， （2）平均数为69.5，分位数为69.4； （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，； （2）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可； （3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【小问1详解】 因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，解得； 【小问2详解】 由（1）知， 平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内， 且，即分位数为69.4； 【小问3详解】 第四､五两组志愿者分别有20人，人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和辅助角公式得到，整体法求出函数单调递增区间； （2）根据求出，由诱导公式得到或，分两种情况，结合三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 因为 令， 解得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以， 所以，故， 因为，且， 所以，解得或，经检验，均符合要求， 当时，， 当时，． 18. 已知在正三棱柱中，，. （1）已知，分别为棱，的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，. ，分别为，中点，且， 又为中点，且， 且， 故四边形是平行四边形，. 而平面，面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）为中点，通过证明，证明平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图以为坐标原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则. 设平面的法向量为，则， 令，得，，. 又，. 即直线与平面所成角的正弦值是. 19. 如图 ，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点． （1）若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； （2）如图 ，若椭圆的方程为. 是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在 轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值； （3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值． 【答案】（1） （2）证明：设，则，即， ，， ， 为定值，定值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标、焦点坐标、离心率和的关系直接求解即可； （2）设，利用两点连线斜率公式表示出，结合 在椭圆上直接化简整理即可； （3）设直线与椭圆交于另一点 ，知关于坐标原点对称，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，利用可构造方程求得结果. 【小问1详解】 由得：，，且的离心率为； 恰为的两个焦点，即椭圆的半焦距， 又椭圆的离心率，，， 椭圆的方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线与椭圆交于另一点 ，由椭圆对称性可知：关于坐标原点对称， 设直线，，，则， 由得：， 则， ，， ， 由（2）知：， ， 解得：，又，. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中的定值、参数值的求解问题；本题第三问求解的关键是能够通过椭圆的对称性将问题转化为一条直线与椭圆的交点问题，进而根据已知等量关系，利用韦达定理来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保山市智源中学 2024-2025 学年上学期高二年级 期中考试数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 命题人：周雪梅 审题人：徐梦雪 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答卡上填写清楚. 2、每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号.在试卷上作答无效. 一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设，则（ ） A. B. C. 10 D. 2. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列选项中，所得到的结果为4的是（ ） A. 双曲线的焦距 B. 的值 C. 函数的最小正周期 D. 数据的下四分位数 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）． A. 的焦点在轴上 B. C. 的实轴长为6 D. 的离心率为 10. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 存在直线与直线垂直 D. 直线被圆截得的最短弦长为 11. 已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________. 13. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则______． 14. 早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为________；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于________． 四、解答题(本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知点在圆上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 16. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； （3）在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积． 18. 已知在正三棱柱中，，. （1）已知，分别为棱，的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图 ，已知椭圆的方程为和椭圆，其中分别是椭圆的左右顶点． （1）若恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； （2）如图 ，若椭圆的方程为. 是椭圆上一点，射线分别交椭圆于，连接（均在 轴上方）.求证：斜率之积为定值，求出这个定值； （3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $