精品解析：山西省晋中市榆社县2024-2025学年上学期期中检测九年级数学试卷

山西省2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，在中，，点D是的中点．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ） A. B. C. D. 6. 太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日开馆，它是全国首座原址建设的北齐壁画博物馆，以北齐壁画展示为核心，解读北朝时期晋阳在文化交流、民族融合等方面的重要地位，场馆一层分三个展厅：第一展厅（别都华彩），第二展厅（一眼千年）和第三展厅（简易标美），某中学两名学生计划利用周末时间随机选择一个展厅进行志愿者活动，则他俩恰好选择同一展厅的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是菱形，．则菱形的面积（ ） A. B. 16 C. D. 8. 2024年9月30日国庆档电影《志愿军：存亡之战》上映，上映当日票房约亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房约亿元．设平均每天的票房增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形的对角线于点O，点、、、分别为边 、 、 、 的中点，顺次连接和得到四边形．若则四边形的面积等于（ ） A. 45 B. 40 C. 20 D. 18 10. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，连接，过点E作交边于点F，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 一元二次方程的根是_______． 12. 种子是万物生长的源头，也是人类粮食生产的基础．某种玉米种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 种子总数 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数 464 934 1398 1866 2801 发芽的频率 0.928 0.934 0.932 0.933 0.934 估计这种玉米种子发芽的概率为________（精确到0.01）． 13. 如图，菱形的顶点A，B的坐标分别为，，则点D的坐标为______． 14. 如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为_______． 15. 如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点G．若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，延长的边到点F，使得，连接，若，求证：四边形是矩形． 18. 太原古称晋阳，也称龙城，是国家历史文化名城、国家园林城市、太原都市圈核心城市，是山西省政治、经济、文化、交通和国际交流中心．周末小丽一家计划从A．太原动物园，B．太原古县城，C．青龙古镇，D．太原食品街四个景点中随机选择两个景点游览． A．太原动物园 B．大原古县城 C．青龙古镇 D．太原食品街 请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果，并求小丽一家恰好选择太原古县城和青龙古镇的概率． 19. 如图，在中，． （1）在上求作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的长． 20. 国庆期间，山西作为全国古建筑遗存最多的省份迎来了巨大的客流量，古建游火爆出圈．某文创商店销售一款冰箱贴，每枚的进价为20元，售价为28元，平均每天可售出100枚．为了扩大销量，该店计划降价销售，根据经验，售价每降低1元，平均每天可多售出4枚．当每枚冰箱贴的售价定为多少时，每天的销售利润为560元？ 21. 阅读与思考 用配方法求代数式的最值 我们通常把和称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式的最值． 解：． ， ． 代数式的最小值为3． （1）以上解答过程，主要体现的数学思想是_______； A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 （2）已知，则a的值为_______，b的值为_______； （3）求代数式的最值． 22. 综合与探究 如图，在中，，点D是边上一点，，点F从点A出发，以的速度沿向点C匀速运动．设点F的运动时间为． （1）的长为_______． （2）如图1，连接，当t为何值时，？ （3）如图2，连接，当t为何值时，垂直平分？ 23. 综合与实践 如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转得到（点A的对应点为点C），延长交于点F，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若． ①求的长； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例式的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵⇔， ⇔， ⇔， ⇔， ∴变形正确的是选项D． 故选：D． 【点睛】本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键． 2. 如图，，若，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合，则的长为12，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的长为12， 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况 【详解】解：∆， 所以方程无实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2-4ac；当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根． 4. 如图，在中，，点D是的中点．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得解，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点，， ∴， 故选：C． 5. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：由原方程得：， 得， 得， 故选：A． 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解答此题的关键． 6. 太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日开馆，它是全国首座原址建设的北齐壁画博物馆，以北齐壁画展示为核心，解读北朝时期晋阳在文化交流、民族融合等方面的重要地位，场馆一层分三个展厅：第一展厅（别都华彩），第二展厅（一眼千年）和第三展厅（简易标美），某中学两名学生计划利用周末时间随机选择一个展厅进行志愿者活动，则他俩恰好选择同一展厅的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将三个展厅分别记作， 列表如下： 由表知，共有9种等可能结果，其中他俩恰好选择同一展厅的情况有种， 所以他俩恰好选择同一展厅的概率为， 故选：D． 7. 如图，四边形是菱形，．则菱形的面积（ ） A. B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质．根据菱形的性质可得是等边三角形，，在中，根据含特殊角的直角三角形的性质可求出的长，由此可求出的长，根据菱形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 2024年9月30日国庆档电影《志愿军：存亡之战》上映，上映当日票房约亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房约亿元．设平均每天的票房增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每天的票房增长率为x，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设平均每天的票房增长率为x，依题意得： ， 故选：A． 9. 如图，四边形的对角线于点O，点、、、分别为边 、 、 、 的中点，顺次连接和得到四边形．若则四边形的面积等于（ ） A. 45 B. 40 C. 20 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明四边形 是矩形，利用三角形中位线定理，求出可得结论； 【详解】∵点 、、、分别为边 、 、 、 的中点 ∴、分别是 、 的中位线 ∴且 且 ， ∴， 同理 ∴四边形 是平行四边形 又∵ ∴ ∴ ∴四边形 是矩形 ∵ ∴四边形的面积． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；由三角形中位线定理证出四边形 是平行四边形是解决问题的突破口． 10. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，连接，过点E作交边于点F，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，．再证明，由相似三角形的性质计算得出，再由面积公式计算即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，． ． ， ． ． ． 又， ． ． 点E是的中点， ． ， 解得． ． 的面积为， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 一元二次方程的根是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12. 种子是万物生长的源头，也是人类粮食生产的基础．某种玉米种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 种子总数 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数 464 934 1398 1866 2801 发芽的频率 0.928 0.934 0.932 0.933 0.934 估计这种玉米种子发芽的概率为________（精确到0.01）． 【答案】0.93 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，从表格中数据确定出这种油菜籽发芽的概率是解题的关键．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据题意，用频率估计概率即可． 【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93． 故答案为：0.93． 13. 如图，菱形的顶点A，B的坐标分别为，，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作轴于点E，由题意得，，根据菱形的性质可得，，再由平行线的性质可得，可证，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作轴于点E， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则．根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． 围栏段的长为， 故答案为：5． 15. 如图，在中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点G．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，先由平行四边形得出，，然后在中，，代入数值得，再过点G作于点H，得出是等腰直角三角形，然后证明，则，代数计算得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． ． ． ， ． 设，则． 在中，， 即， 解得． ． 如图，过点G作于点H， 则， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ， ． ． 又． ． ． 设， 则． ． 解得． ． 在中，． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法和因式分解法解一元二次方程． （1）根据题中方程，先化为一般式，再由公式法求解即可得到答案； （2）根据题中方程，移项后，提公因式因式分解求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：将原方程化为一般形式，得， ∵， ， ， 即． 【小问2详解】 解：原方程可变形为， 移项，得， ， ∴或， ． 17. 如图，延长的边到点F，使得，连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴． ∵ ∴ 又∵，即 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴四边形ABFC是矩形． 【解析】 【分析】先证明、AB=CF，可得四边形ABFC是平行四边形，再由AD=BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 18. 太原古称晋阳，也称龙城，是国家历史文化名城、国家园林城市、太原都市圈核心城市，是山西省政治、经济、文化、交通和国际交流中心．周末小丽一家计划从A．太原动物园，B．太原古县城，C．青龙古镇，D．太原食品街四个景点中随机选择两个景点游览． A．太原动物园 B．大原古县城 C．青龙古镇 D．太原食品街 请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果，并求小丽一家恰好选择太原古县城和青龙古镇的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用树状图法求概率．画树状图，共有种等可能的结果，其中小丽一家恰好选择太原古县城和青龙古镇游览的结果有种，再由概率公式求解即可．解题的关键是掌握：树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小丽一家恰好选择太原古县城和青龙古镇游览的结果有， ∴（小丽一家恰好选择太原古县城和青龙古镇）． 答：小丽一家恰好选择太原古县城和青龙古镇的概率是． 19. 如图，在中，． （1）在上求作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 如图，点D即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，相似三角形的判定和性质． （1）根据相似三角形的性质得出，在根据尺规作图—作垂线的方法和步骤，作出即可； （2）根据相似三角形对应边成比例，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 【小问2详解】 解：， ． 在中，， ． ， ． 20. 国庆期间，山西作为全国古建筑遗存最多的省份迎来了巨大的客流量，古建游火爆出圈．某文创商店销售一款冰箱贴，每枚的进价为20元，售价为28元，平均每天可售出100枚．为了扩大销量，该店计划降价销售，根据经验，售价每降低1元，平均每天可多售出4枚．当每枚冰箱贴的售价定为多少时，每天的销售利润为560元？ 【答案】当每枚冰箱贴的售价定为25元时，每天的销售利润为560元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每枚冰箱贴的售价降低x元，则每天可售出枚，根据“每天的销售利润为560元”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设每枚冰箱贴的售价降低x元，则每天可售出枚． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． （元）． 答：当每枚冰箱贴的售价定为25元时，每天的销售利润为560元． 21. 阅读与思考 用配方法求代数式的最值 我们通常把和称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式的最值． 解：． ， ． 代数式的最小值为3． （1）以上解答过程，主要体现的数学思想是_______； A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 （2）已知，则a的值为_______，b的值为_______； （3）求代数式的最值． 【答案】（1）B （2）， （3）代数式的最大值为5 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）根据题意可得，解答过程主要体现的数学思想是转化思想，即可得解； （2）根据题意可得，从而得出，，计算即可得解； （3）根据题意得出，即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，解答过程主要体现的数学思想是转化思想， 故选：B； 【小问2详解】 解：， ∴，， 解得：，； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为5． 22. 综合与探究 如图，在中，，点D是边上一点，，点F从点A出发，以的速度沿向点C匀速运动．设点F的运动时间为． （1）的长为_______． （2）如图1，连接，当t为何值时，？ （3）如图2，连接，当t为何值时，垂直平分？ 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角表的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，抓住动态问题中的瞬时特征是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例求解即可； （3）连接，根据证明，根据两角对应相等证明，根据全等三角形的性质和相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 在中，， ∴， 故答案为：5； 【小问2详解】 由题意，得， ， ． ， 即． 解得， ． ． 【小问3详解】 连接，如图所示， 由题意，得． 垂直平分， ， 在和中，， ， ． ． ． 又， ， ， 即． 解得． 23. 综合与实践 如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转得到（点A的对应点为点C），延长交于点F，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若． ①求的长； ②求的长． 【答案】（1） 解：四边形是正方形．理由： 由旋转，可知， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）①6；② 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，最后结合矩形的判定求证即可； （2）①由正方形的性质可得，设，根据勾股定理列方程即可求出的长； ②过点D作于点H，根据正方形的性质可证，可得，根据勾股定理可求出，再根据勾股定理求的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①四边形是正方形， ， 由（1）得四边形是正方形，， ， 设，则， 在中，，即， 解得（不合题意，舍去）， 的长为6； ②如图，过点D作于点H，则， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $