精品解析：2025届河南省周口市川汇区两校高三联考一模数学试题

2025届河南省周口市川汇区两校高三联考一模 数学试题 一、单选题 1. 若复数在复平面内对应的点在直线上，则 A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知向量和的夹角为，且，则（ ） A. -10 B. -7 C. -4 D. -1 3. 若，则等于（ ） A. B. C D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列前项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 64 C. 112 D. 32 6. 已知函数且，则（ ） A. B. C. D. 7. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，则（ ） A B. C. D. 9. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的导函数为和的定义域均为为偶函数，也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（ ）． A. B. C D. 12. 在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知函数，若方程仅有两个不同的实数解，则的取值范围是___________. 14. 如果，，那么=_______． 15. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________． 16. 设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_______. 三、解答题 17. 对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程： ①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零 ②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数 ③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！ 聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握． （1）（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和； （2）（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和． 18. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 19. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足. （1）化简曲线的方程； （2）已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求△OMN面积的最小值. 20. 2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作． （1）写出k关于x的函数关系式； （2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用） 21. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问： （1）若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； （2）当的值为多少时，能使平面？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届河南省周口市川汇区两校高三联考一模 数学试题 一、单选题 1. 若复数在复平面内对应的点在直线上，则 A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：化简复数，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得的值，从而可得结果. 详解：因为复数， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 由复数在复平面内对应的点在直线上， 可得, ,故选B. 2. 已知向量和的夹角为，且，则（ ） A. -10 B. -7 C. -4 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量的数量积公式，代入条件，计算即可. 【详解】＝＝ 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算化简的能力，属基础题. 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对和讨论，利用二倍角公式化简，代入的展开式可得答案. 【详解】因为， 当时，，或， 所以， 所以，或， 这时四个选项全对， 当时 ， 则. 故选：C. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，即得解. 【详解】解：当时，， 则， 所以， 故选：C． 5. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 64 C. 112 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知列出关于的方程组，求解得出的值，即可得出答案. 【详解】设的公比为， 由已知，可得， 解得， 所以. 故选：D． 6. 已知函数且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解. 【详解】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故选：D 7. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据不等式同向正数可乘性可得；但，不妨取，不能推出“”，故“”是“”充分不必要条件．故A正确． 考点：充分必要条件． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由题意知， 可得，可得， 又由. 故选：C. 9. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程. 【详解】，在点处的切线斜率，所求切线方程为：. 故选：C. 10. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合分式不等式、对数不等式的求解可得、，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意且， ， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查了分式不等式、对数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 11. 已知函数的导函数为和的定义域均为为偶函数，也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设，由的奇偶性可得，即，在其等号两边同时求导，变形可得的解析式，由此可得的解析式，据此分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，设， 由于为偶函数，则，即， 等号两边同时求导可得：， 即， 又由为偶函数，变形可得， 故为常数）， 由此分析选项： 对于A，由于不确定，不一定成立，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，设，有， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 则有，故在R上恒成立， 又由，为R上的增函数， 则有，C正确； 对于D，为偶函数，其图象关于轴对称，不能保证成立，D错误． 故选：C． 【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 12. 在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点为，证明，取的中点为，证明，根据二面角的定义证明，根据球的截面性质确定三棱锥外接球的球心位置，解三角形求球的半径，由此可得三棱锥外接球的表面积 【详解】由已知，E是AB的中点， 所以，又，， 所以为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形， 取的中点为，则， 因为，又，，所以 同理可得，又， 所以，取的中点为，连接， 则，所以， 所以为二面角的平面角， 所以， 因为，，， 所以为等边三角形，取的中点为，则， 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面， 因为直角三角形，为斜边， 所以，所以为的外接圆的圆心， 设为三棱锥外接球的球心，则平面， 设，三棱锥外接球的半径为， 则， 若球心和点位于平面的两侧， 延长到点，使得， 因为平面，平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 所以， 所以， 所以，， 所以三棱锥外接球的表面积， 若球心和点位于平面的同侧， 因为平面，平面，所以， 过点作，则四边形为平行四边形， 所以，， 所以， 所以， 所以，舍去 ， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，作出合适的截面图，解三角形确定球的半径. 二、填空题 13. 已知函数，若方程仅有两个不同的实数解，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】二次求导，得到在上单调递减，在上单调递增，画出的图象，设，则，易知不是上述方程的解，则，画出的图象，分当，，，和，五种情况，数形结合得到答案. 【详解】，令， 则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 又，故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，； 且当时，， 画出的图象如下： 设，则， 易知不是上述方程的解，则， 画出的图象， ①当时，，即原方程仅有一解，不符题意； ②当时，，此时存在，使得，符合题意； ③当时，无解，不符题意； ④当时，，此时存在，使得，符合题意； ⑤当时，方程的两个解满足， 此时存在，使得，不符题意. 综上， 故答案为： 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 14. 如果，，那么=_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式结合和角的余弦公式计算作答. 【详解】因，，则， 所以. 故答案为： 15. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根．求出的导数，当 时，直接验证；当时，利用导数研究函数 的单调性可得，要使 有两个不同解，只需要 解得即可． 详解： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根． 当 时， ，则函数 在区间单调递增，因此 在区间上不可能有两个实数根，应舍去． 当 时，令 ，解得 ， 令 ，解得 ，此时函数单调递增； 令 ，解得 ，此时函数单调递减． ∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根， 则，解得． ∴实数 的取值范围是（. 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 16. 设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用an=Sn﹣Sn﹣1构造新数列，即可求解数列{an}的通项公式. 【详解】由Sn=2an+n（n∈N*）， 当n=1时，可得S1=2a1+1，即a1=﹣1． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an+n﹣（2an﹣1+n﹣1）=2an﹣2an﹣1+1 即an=2an﹣1﹣1 可得：（an﹣1）=2（an﹣1﹣1） 可得{an﹣1}是公比为2的等比数列，首项为﹣2． ∴an﹣1=﹣2•2n﹣1． 即an=﹣2n+1． 故答案为 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键. 三、解答题 17. 对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程： ①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零 ②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数 ③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！ 聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握． （1）（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和； （2）（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据错位相减法的解题步骤求解求的前n项和即可； （2）根据裂项法，设，结合已知比较系数求得，再代入，即可求得. 【小问1详解】 因为 所以① 则② 所以①-②得： 所以； 【小问2详解】 因为，设 ， 比较系数得：，得，所以， 所以 18. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； 【小问2详解】 因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 19. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足. （1）化简曲线的方程； （2）已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求△OMN面积的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）移项平方可化简方程，注意变量的范围； （2）设，直线方程是，由垂直得直线方程为，由直线与圆相切得，直线方程是与曲线方程联立，消去后得关于二次方程，由此方程有两个正根据得或，由韦达定理得，计算出弦长，求出原点到直线的距离，计算出三角形面积后，设，换元后应用基本不等式得最小值． 【小问1详解】 ，由得． 所以曲线的方程是； 【小问2详解】 设，直线方程是，则直线方程为，即, 直线与已知圆相切，所以，则， 由得，， 由题意（∵）， ，，∴或， ， 又原点到直线距离为， ∴， 由或得，设， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ∴时，， ∴，即时，． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交中三角形面积最值问题，一般设交点坐标为，直线方程为，由直线满足的其它性质得出关系，直线方程与圆锥曲线方程联立后消元，应用韦达定理得（或），由弦长公式求得弦长，由点到直线距离公式求出三角形的高，从而求得三角形的面积，并化表达式为一元函数，然后利用函数的知识，基本不等式或导数求得最值． 20. 2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作． （1）写出k关于x的函数关系式； （2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用） 【答案】（1），， （2）22 【解析】 【分析】（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得，所以，， （2）根据题意可知 利用基本不等式即可得到结果． 【小问1详解】 由题意得， 所以，， 【小问2详解】 设总损失为元，则 当且仅当，即时，等号成立． 所以，应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小． 21. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问： （1）若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； （2）当的值为多少时，能使平面？ 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据二面角的定义作图分析确定二面角的平面角，计算二面角的平面角可结合直角三角形中的边角关系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值； （2）可先猜测的值，然后证明平面，根据平行六面体法人几何性质结合线面垂直的判定定理证明、或者补形证明、或者利用空间向量的线性运算证明． 【小问1详解】 连接、设和交于，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接． 四边形是菱形， ，又，． 又，， △△，， ，， 又，，平面 平面， 又平面，． 是二面角的平面角． 方法一：∵，可得，， 又． 因为平面，故平面平面， 而平面平面，平面， 故平面，而平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故， ∴． 又，∴， ∴． 方法二：在中，． 由余弦定理知， 又，∴， ∴，即． ∴是中点，． 方法三：∵，， ∴， 即． ∴， ∴， ，． ∴，故． 【小问2详解】 当时，能使平面． 方法一 ：由前知平面，∴． 当时，平行六面体的六个面是全等的菱形． 同的证法可得， 而平面，故平面． 方法二 ：∵，∴． 由题设可知三棱锥是正三棱锥，设与相交于． ∵，且，∴． 又是正三角形的边上的高和中线， ∴点是正三角形的中心． ∴平面，即平面． 方法三 ：如图，沿面补一个全等的平行六面体． ∴．若平面，则平面． ∴．令． 由余弦定理可知，． 又，则， 即． ∴，解得或（舍）． 由此可知当时，平面． 方法四：如图，若平面，则与成的角．过作交的延长线于，则．四边形为平行四边形．设，，则． ∵，∴． ∴，． 在Rt中，，即， ∴，解得或（舍去）． 由此可知当时，平面． 方法五：记，菱形边长为． ∵是菱形，∴． 又，∴平面，得，要使平面，还需． 由， 则， 得，即时成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$