曼哈顿距离提优讲义 -2024-2025学年高一数学湘教版2019必修第二册

一、曼哈顿距离 曼哈顿距离: "曼哈顿距离" 是十九世纪的赫尔显.闵可夫斯基所创词汇。定义如下: 在直角坐标平面上任意两 点 与 的折线距离 (或直角距离) 几何意义: 在以 为中心的正方形对角线平行于备坐标轴)上, 点 与点 的曼哈顿距离为正方形对角线的一半。正方形越大，曼哈顿距离越大。 二、点到直线的曼哈顿距离公式及推导 点到直线曼哈顿距离公式： 设点 为直线 外一定点， 为直线 上的动点， 则称点 与点 傧哈顿距离的最小值为点 到直线 1 的曼哈顿距离，公式为: 证明:当 时，则有 在点 处取得最小值. 当 时，同理可得 综上 类似可得两条平行直线的曼哈顿距离公式： 设点 为直线 上的一动点， 点 为直线 上的动点，则 证明: 设 ，则 . 由以上结论可得 三、典题精讲 【2024河北背部分学校高三摸底考试T8】 "是哈顿距离" 是十九世纪的赫尔显闵可夫斯基所创词汇，定义如下: 在直角坐标平面上任意两 点 的曼哈顿距离为: .已知点 在圆 ，点 在直线 ,则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 解法1：直接代公式 解: 设 ， 则点 到直线 的实哈顿距离最小值可由公式得 所以 解法2：隐形曼哈顿正方形 由曼哈顿距离的几何性质可知:固定圆 上的点 ， 则到点 的是哈顿距离为 的点 的轨迹是图中的红色正方形， 同时应注意到，此时的 两点曼哈顿距离为 ,红色正方形的边长为 ， 【2025届中学生标准能力测试T14】 函数 , 则 的最小值为 解析: 令 表示在 上找一点 与 的曼哈顿距离 如图 在 处切线恰好为斜率为 1 , 即 处最小 【答案】 2 【广州三校2024-2025学年高二上学期期中联考T19】 常用测量距离的方式有3种．设，定义欧几里得距离，定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，求之间的欧几里得距离和余弦距离； (2)若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值； (3)若，求的取值范围. 【分析】（1）根据题意结合距离的定义运算求解即可； （2）根据距离定义整理可得，分、和三种情况，结合函数单调性求最值即可； （3）整理可得，令，分析可知与有交点，结合图象可得的取值范围，即可得结果. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为， 所以. （2）因为点在函数的图象上且， 即，且点的坐标为， 故， 当时，则， 因为函数在上单调递减， 所以，当且仅当时取等号； 当时，则， 且，则，代入可得； 当时，则， 因为函数在上单调递增， 所以， 当且仅当时取等号． 综上可知，的最小值为2． （3）因为， 则， 令，则， 即与有交点， 可知半圆与直线有交点， 如图，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况. 由圆心到直线的距离，解得， 由图知此时，即； 又由，代入点，解得，. 由图知，要使两者有交点，需使， 此时， 又因为，则；所以的取值范围是. 【24-25高二上·北京通州·期中】 如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【知识点】直线方程的实际应用、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、立体几何新定义 【分析】利用正方体的特征结合阿波罗尼斯圆确定M轨迹，根据新定义确定P点轨迹，在平面中利用数形结合的思想及点与圆的位置关系计算即可. 【详解】根据正方体的特征易知平面，平面， 平面，所以， 又，则， 如图建立平面直角坐标系，设， 则，整理得， 即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径； 因为，则P轨迹为以为中心， 一条对角线长4且在纵轴上的正方形， 如上图所示，，易得， 过圆心作的垂线，可知垂线方程为 易得上的垂足，显然在线段上， 而上的垂足，显然H距N远， 则圆心到的距离为， 圆心到H的距离. 故选：A 【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离问题的处理策略关键在于作出正方形框图，即得出P的轨迹为正方形，此外利用阿氏圆的定义确定M轨迹，再数形结合即可. 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$