6.4 数学建模案例（二）：曼哈顿距离（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

教学设计 6.4 数学建模案例（二）：曼哈顿距离的教学设计 一、基本信息 课题 6.4 数学建模案例（二）：曼哈顿距离 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学抽象：理解曼哈顿距离的定义，区分欧氏距离与曼哈顿距离的几何意义，体会不同距离度量的适用场景. 2. 逻辑推理：能推导曼哈顿距离的坐标公式，探究并验证曼哈顿距离的基本性质. 3. 数学运算：熟练运用坐标公式计算两点间的曼哈顿距离，解决网格路径长度、最短路线规划等基础问题. 4. 数学建模：经历 “实际问题分析→数学抽象→模型建立→模型求解→模型检验→模型应用” 的完整数学建模过程，提升建模能力. 5. 直观想象：能在平面直角坐标系中直观表示曼哈顿距离的几何图形，理解其 “网格行走” 的本质特征. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 曼哈顿距离的定义与坐标计算公式. 2. 数学建模的基本步骤与核心思想. 3. 曼哈顿距离在网格状实际场景中的简单应用. （二）教学难点 1. 理解曼哈顿距离的几何意义，区分其与欧氏距离的本质差异. 2. 将实际生活中的网格路径问题抽象为曼哈顿距离数学模型. 3. 利用曼哈顿距离的性质解决最短路径、最优选址等拓展问题. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 问题驱动法、数学建模法、小组合作探究法、数形结合法 （二）教具准备 多媒体课件（展示城市网格地图、曼哈顿距离动态演示）、方格纸、直尺、本地城市街区示意图、磁吸式坐标点教具 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 提问：平面直角坐标系中，两点，之间的欧氏距离公式是什么？ · 学生回答：，其几何意义是两点间的直线距离. 2. 情境引入 · 展示纽约曼哈顿街区、北京长安街沿线等网格状城市地图，提出问题：在城市中，我们从一个地点到另一个地点，通常不能直接走直线，只能沿着街道（平行于 x 轴、y 轴的道路）行走，此时的最短距离还能用欧氏距离计算吗？ · 举例：从坐标到，沿街道行走的最短路径长度是多少？引导学生计算得出，引出 “曼哈顿距离” 的概念，板书课题. · 设计意图：从学生熟悉的城市出行场景切入，制造认知冲突，激发学生探究新距离度量的兴趣，自然过渡到本节课的建模主题. （二）新知探究与建模过程（25 分钟） 1. 数学抽象：曼哈顿距离的定义 · 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义它们的曼哈顿距离为： · 补充说明：曼哈顿距离也叫 “出租车距离”“街区距离”，其几何意义是在网格状道路中，从点到点沿坐标轴方向行走的最短路径长度. · 对比辨析：在方格纸上分别画出两点间的欧氏距离和曼哈顿距离，让学生直观感受两者的区别：欧氏距离是 “直线距离”，曼哈顿距离是 “折线距离”. 2. 小组探究：曼哈顿距离的性质 · 布置任务：类比欧氏距离的性质，以 4 人小组为单位，探究曼哈顿距离具有哪些基本性质，并给出证明. · 学生展示后，教师总结核心性质： i. 非负性：，当且仅当与重合时，等号成立； ii. 对称性：； iii. 三角不等式：，当且仅当点在到的某条曼哈顿最短路径上时，等号成立. 3. 梳理数学建模的基本步骤 · 结合本节课的案例，引导学生总结数学建模的完整流程： 实际问题分析→抽象出数学问题→建立数学模型→求解数学模型→检验模型合理性→模型应用与拓展 · 强调：曼哈顿距离模型的核心是将 “网格道路行走问题” 抽象为 “坐标绝对值之和的计算问题”. （三）例题讲解与模型应用（10 分钟） 例 1（基础运算） 已知平面直角坐标系中三点，，，求，，，并验证三角不等式. · 解： · 验证：，满足，三角不等式成立. · 设计意图：巩固曼哈顿距离的坐标计算公式，加深对其性质的理解. 例 2（实际建模应用） 某小区的道路呈标准网格状，每个网格的边长为 100 米.物业要在小区内设置一个快递驿站，服务于三栋居民楼，坐标分别为，，（单位：网格）.若要求驿站到三栋楼的曼哈顿距离之和最小，求驿站的最佳坐标及最小距离和. · 思路：将实际选址问题转化为求函数的最小值问题，分别对和求最小值. · 解： 分离变量得 当时，取得最小值； 当时，取得最小值. 因此，驿站最佳坐标为，最小距离和为个网格，即米. · 设计意图：让学生体验完整的建模过程，体会数学模型在解决实际问题中的价值. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 填空：已知点，，则 . 2. 解答：在网格城市中，从点到点的曼哈顿最短路径共有多少条？ 3. 判断：对于平面内任意两点，曼哈顿距离一定大于等于欧氏距离.（ ） （五）课后小结（2 分钟） 1. 一个核心定义：曼哈顿距离. 2. 一组关键对比：欧氏距离（直线距离）与曼哈顿距离（网格折线距离）的几何意义和适用场景. 3. 一套完整流程：数学建模的六个基本步骤. 4. 一种重要思想：数学建模思想，将实际问题转化为数学问题求解. 六、板书设计 6.4 数学建模案例（二）：曼哈顿距离 一、定义与公式 对于两点， 曼哈顿距离： 欧氏距离： 二、基本性质 1. 非负性 2. 对称性 3. 三角不等式 三、数学建模步骤 实际问题→抽象→建模→求解→检验→应用 四、例题解答区 （此处预留空间用于现场推导例 2） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $