6.4数学建模案例(二) 曼哈顿距离 （教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版 必修第二册 6.4数学建模案例(二) 曼哈顿距离 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第6章数学建模 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 深入理解曼哈顿距离的概念、特性及其在实际场景中的应用。 掌握以曼哈顿距离为基础的数学模型的建立方法，明确模型中各变量的含义和相互关系。  熟练运用解不等式、函数图象等方法求解曼哈顿距离模型，确定最优解。 难点 3 曼哈顿距离的定义和几何意义。 模型的建立和求解方法。 模型的验证和实际应用。 理解曼哈顿距离的定义和实际背景。 掌握数学建模的基本步骤，包括问题描述、模型建立、模型求解和模型检验。 能够应用曼哈顿距离解决实际问题。 （一）创设情境，引入新课 一、问题背景 在解析几何里最常用的一种计算方法，即已知平面两点， ， ，但是计算起来比较复杂，要平方，加和，再开方， 而人们在空间几何中度量距离很多场合其实是可以做一些简化的，曼哈顿距离就是由1 9世纪著名的德国犹太数学家赫尔曼·闵可夫斯基发明的距离简化计算所得到. 在平面内两点， 之间的曼哈顿距离为 . （一）创设情境，引入新课 展示城市街道的地图图片， 观察街道布局特点。 提出问题：“在这样的城市街道中，从一个地点到另一个地点， 如果只能沿着街道行走 （直角拐弯）， 如何计算行走的距离呢？ 这和我们学过的直线距离计算方法一样吗？” （一）创设情境，引入新课 曼哈顿距离也叫出租车距离，出租车司机计算从一个位置到另一个位置的距离， 通常直接用街区的两个坐标分别相减，再相加，这个结果就是他即将开车通过的街区数量，而完全没有必要用两点间的距离公式来求解. 曼哈顿距离中的距离计算公式比欧氏距离的计算公式看起来简洁很多，只需要把两个点坐标的横坐标相减取绝对值，纵坐标相减取绝对值，再加和. 从曼哈顿距离的概念来说，只能上、下、左、右四个方向进行移动，而且两点之间的曼哈顿距离是两点之间的最短距离（在只能向上、下、左、右四个方向进行移动的前提下）.为什么呢？假设从一点到达另一点（只能向上、下、左、右四个方向进行移动，下同），要使路程最短，就只能每一步都有用（使之与另一点的南北距离或东 西距离缩短）. 1. 曼哈顿距离的定义讲解 新课讲授 （二）新课讲授，知识构建 2. 曼哈顿距离的特性介绍 新课讲授 （二）新课讲授，知识构建 3. 数学模型的建立与求解 新课讲授 （二）新课讲授，知识构建 3. 数学模型的建立与求解 新课讲授 （二）新课讲授，知识构建 2. 小组合作探究 新课讲授 典例分析 3. 小组汇报交流： 新课讲授 典例分析 学以致用 问题研究一：确定垃圾集中回收站的位置 垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效 益，某街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点 ， ，，，， 为垃圾回收点.请确定一个格点（除回收点外）为 垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短. 12 学以致用 [解析] 设格点的坐标为，则， ， 根据含绝对值三角不等式 可知横轴方向的距离和 ，此时的最小值是14，等号成立的条件是所以当时， 的最小值是14，纵轴方向的距离和 ， 13 学以致用 此时的最小值是9，等号成立的条件是即或 ， 当时，此时格点的位置是，是垃圾回收点，舍去，所以 ，此时格点坐 标是 . 14 学以致用 问题研究二：曼哈顿距离的应用 对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离 是在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”， 也叫“出租车距离”.对于在平面直角坐标系中的点和 ，两点间的“曼 哈顿距离” . 15 学以致用 （1）如图，若为坐标原点，，两点的坐标分别为和，求 ， ， ； 16 学以致用 （2）若点满足，试在图中画出点 的轨迹，并求该轨迹所围成的图形的面积； （3）已知函数，，试在的图象上找一点，使得 最小， 并求出此时点 的坐标. [解析] （1）由题意得 ， ， . 17 学以致用 （2）设点的坐标为，因为点满足 ， 所以，点 的轨迹为如图所示的正方形（说明：画出图形即可，不用说明 理由）， 该轨迹所围成的图形的面积 . 18 学以致用 （3）设点的坐标为，则， 因为 ，所以 . 设，任取，，且 ， 则 ， 因为，，且，所以，， ， 所以，所以在 上是减函数， 所以当，即点的坐标为时，，即 最小，最小值 为4. 19 （四）课堂小结，巩固提升 （五）课堂检测，反馈评价 21 （六）布置作业，拓展延伸 22 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 在黑板上画出直角坐标系，结合城市街道场景， 详细讲解曼哈顿距离的定义。 设平面上两点 ， ， 则从 到 的曼哈顿距离 。 强调曼哈顿距离是水平方向和垂直方向距离之和， 通过多个具体坐标点的例子，让学生计算两点间的曼哈顿距离， 加深对定义的理解。 讲解曼哈顿距离满足的 三角不等式 ， 通过在坐标系中取不同的三点， 进行距离计算和比较， 直观展示该不等式的成立。 思考曼哈顿距离在实际场景中的应用， 如导航软件在城市道路中的路径规划、 快递配送路线计算等， 体会其实际价值。 以某地三个新建居民区位置分别为 ， ， ， 计划在 轴上方区域（包含 轴）建文化中心为例， 详细讲解数学模型的建立过程。 设文化中心位置为 （ ）， 则点 到三个居民区的曼哈顿距离 。 在黑板上逐步分析水平方向距离 和垂直方向距离 的最小值求解方法。 利用绝对值不等式性质， 讲解当 时， 取得最小值24； 当 时， 取得最小值20，所以文化中心建在 时， 到三个居民区的曼哈顿距离最小，为O为圆心、半径为1的圆的内部是保护区， 人们不能进入，重新确定文化中心的位置，使其到三个居民区的曼哈顿距离最小。 同时，思考生活中还有哪些问题可以用曼哈顿距离的数学模型来解决。” 各小组成员分工合作，讨论如何在模型中添加限制条件， 尝试运用解不等式或绘制函数图象的方法求解。 讨论生活中的实际问题时，鼓励学生从不同领域思考， 如物流配送中仓库与配送点的选址、学校布局规划等。 教师巡视各小组，观察讨论进展，适时给予指导和帮助， 引导学生深入思考问题，鼓励学生提出不同的思路和方法。 邀请各小组派代表上台汇报讨论结果。 汇报内容包括重新确定文化中心位置的求解过程、答案，以及生活中发现的可应用曼哈顿距离模型的问题。 其他小组成员认真倾听，提出疑问和建议，进行互动交流。 教师对各小组的汇报进行点评，肯定优点，指出不足， 进一步完善学生的解题思路和对曼哈顿距离应用的理解。 回顾本节课所学内容，包括曼哈顿距离的定义、性质、数学模型的建立与求解方法， 以及在实际生活中的应用。 请学生主动站起来分享自己本节课的收获和体会。 1.曼哈顿距离定义 2.问题解析； 3.模型建立与求解； 4.模型的进一步推广。 1. 布置检测练习：发放课堂检测练习卷，题目如下：      已知 ， ，求 到 的曼哈顿距离。      平面上有三点 ， ， ，求 到 、 两点曼哈顿距离之和的表达式，并尝试分析当 、 取何值时，距离之和最小。      某城市有三个快递站点 ， ， ，现要在该城市设置一个快递分拣中心 ，使得 到三个站点的曼哈顿距离之和最小。假设 的坐标为 ，请建立数学模型并求解 的位置（不考虑其他限制条件）。 2. 学生独立完成：学生在规定时间内独立完成检测练习，教师巡视，观察学生的解题情况，了解学生对知识的掌握程度。 3. 讲解与评价：对检测练习进行讲解，详细分析每道题目的解题思路和方法。根据学生的答题情况进行评价，对存在的问题进行针对性指导，强化学生对曼哈顿距离及数学建模知识的理解和应用能力。 1.P252 问题研究二. 2.预习 6.3数学建模案例（三）:人数估计 $$