12.5分式方程的应用测试 同步练习 2023-2024学年冀教版数学八年级上册

分式方程及其应用 一、单选题 1．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．分式方程的两边同时乘以，约去分母，得到的整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的方程是（  ） A． B． C． D． 4．某校组织全体同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每分钟撤离的人数比第一次的多60，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了20分钟，若设第一次平均每分钟撤离人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 6．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B．5 C．2 D．不存在 7．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 9．若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．5 B．7 C．10 D．15 10．方程的解是（    ）． A．1 B． C．2 D．0 11．我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，为“十字分式方程”，其可转化为，则，．若时，关于的“十字分式方程”的两个解分别为，且，则的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 12．若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．7 B．5 C．0 D． 13．甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 14．某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（　　） A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务 B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果延误30天完成了这一任务 C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务 D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务 二．填空题（2*2） 15．若关于x的方程有增根，则 ． 16．若关于的两个方程与有一个解相同，则 ． 三．解答题 17．先化简，再求值：，其中． 18．为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．（8分） (1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？ (2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？ 19.某校在“二十大”胜利闭幕后，组织全校学生参加了“党史在心中”知识竞赛，校团委选择了甲、乙两种马克杯作为奖品，乙马克杯比甲马克杯的单价贵5元，花200元买甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同． （12分） (1)求甲、乙马克杯的单价； (2)若需购进甲、乙马克杯共100个，且乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的，则如何购买才能使得费用最少？ (3)为奖励部分竞赛成绩特别突出的同学，校团委又选择了一种可以定制图案和文字的马克杯，这种马克杯的单价为20元/个，校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元．若甲马克杯数量是乙马克杯的3倍，则最多可购买3种马克杯共多少个？ 20．德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．（8分） (1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 班级： 姓名： 分式方程及其应用（部分解析） 一、选择题 1．B 2．C 3．B 【分析】设，则原方程可化为，去分母即可． 【详解】解：，设，则原方程可化为，则，故B正确． 4．B 5．B 【详解】解：∵，∴，解方程得：； 由于方程有解，则，即；由题意得：，解得：；综合起来，m的取值范围为且；故选：B． 6．B 7．D 8．D 9．A【详解】解：，解不等式①得：， 解不等式②得：，原不等式组的解集为：，原不等式有且只有两个偶数解， ，，解分式方程得：，原分式方程有解， ，是原分式方程的增根，，综上，，且，， 或，，故选：A． 10．A【详解】∵方程左边可变形： ， 方程右边可变形：， ∴方程可化为，即，方程两边同乘，得， 解得，检验：当时，，∴原分式方程的解为．故选：A 11．A 【详解】解：∴， ∴，∴．故选A． 12．A 【详解】解：，去分母，得，解得， ∵分式方程的解为非负整数，∴m＋5＝0，3，6，9，12，…，解得，，1，4，7，…； 解得，∵不等式组至少有3个整数解，得到，∴，，1，4，7．（因分式方程中故舍去）．故m可取的整数值为，1，4，7，∴其和为7．故选A． 13．B 14．C 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米， ∵所列分式方程为，∴为实际工作时间，为原计划工作时间， ∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果延误30天完成了这一任务． 15．或4 【详解】方程两边同时乘以，得，即， 为增根，当时，，解得，当时，，解得， 所以或4 16．4 【详解】解：解方程得x1＝2，x2＝−1，∵x＋1≠0，∴x≠−1， 把x＝2代入中得：，解得：a＝4，故答案为4． 17．， 【详解】解：原式 当时，原式， 故答案是： ． 18．(1)100米 (2)90米 【详解】（1）解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米， 则有 解得 ∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米． （2）∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同 ∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米) 乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米) 解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，即1.2y米 则有 解得 经检验，是原方程的解，符合题意 ∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米． 19．(1)甲马克杯的单价为5元，乙马克杯的单价为10元 (2)购买甲马克杯75个，乙马克杯25个才能使得费用最少 (3)最多可购买3种马克杯共309个 【分析】（1）设甲马克杯的单价为元，则乙马克杯的单价为元，根据花200元买甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲马克杯个，则购买乙马克杯个，根据乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的，列出一元一次不等式，解得，再设费用为元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论； （3）设购买乙马克杯个，定制图案和文字的马克杯个，则购买甲马克杯个，根据校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元．列出二元一次方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲马克杯的单价为元，则乙马克杯的单价为元， 由题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲马克杯的单价为5元，乙马克杯的单价为10元； （2）解：设购买甲马克杯个，则购买乙马克杯个， 由题意得，解得， 设费用为元，由题意得， ，随的增大而减小，当时，有最小值，此时，， 答：购买甲马克杯75个，乙马克杯25个才能使得费用最少； （3）解：设购买乙马克杯个，定制图案和文字的马克杯个，则购买甲马克杯个， 由题意得，整理得， ，，且是4的倍数，的最大值为76，此时，， （个），答：最多可购买3种马克杯共309个． 20．(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务． (2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则，解得：， 经检验是原方程的解且符合题意；答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务． （2）由题意可得：，∴，∴，∵，， ∴，解得：，∵都为正整数，∴为3的倍数， ∴或或，∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式， 方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元）， 方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元）， 方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元）， ∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 第 1 页 共 2 页 衡水志臻中学清河校区 教研组 学科网（北京）股份有限公司 $$