精品解析：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高一数学试卷 命题学校：黄石二中 命题教师：李朝盛王小平 审题学校：蕲春一中 审题教师：周强锋 考试时间：2024年11月11日上午08：00—10：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 中国古代四大发明 B. 所有无理数 C. 2024年高考数学难题 D. 小于的正整数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论. 【详解】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合； 对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合; 对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合； 对于D，小于的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以 . 故选：D 3. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求出m值，再由单调性验证即得. 【详解】因函数是幂函数，则，即，解得或， 当时，函数在上递增，则， 当时，函数在上递减，不符合要求， 实数. 故选：B 4. 已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的定义域以及单调性可得，满足的条件，由此即可解得的范围． 【详解】由题意，函数是定义在上的减函数，因为 得 ，解得， 所以x的取值范围是 . 故选：A. 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】根据题意可得 当且仅当 即时，等号成立，此时最小值为3. 故选：B. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 7. 已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求出不等式的解，再代入判断列式求解. 【详解】函数，设， 不等式为， 即，解得，依题意，无解， 即不等式无解，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，，使，可得，，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可. 【详解】，，使，则， 于是，， 若k为奇数，则，， ，则，解得，或， 当时，，，，，解得， 当时，，，，，解得； 若k为偶数，则，则， ，则，解得，或， 当时，，，，，解得， 当时，，，，，解得， 所以所有大于零的解之和为. 故选：D 【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18'分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有下列四种说法，正确的说法有（ ） A. 奇函数图象不一定过坐标原点 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则“”的充要条件是“” D. 定义在上的函数对任意两个不等实数a，b，总有成立，则在上是增函数 【答案】AD 【解析】 【分析】对A举反例即可；对B，利用全称命题的否定为特称命题即可判断；对C，举反例即可；对D，根据单调性的定义即可判断. 【详解】对于A，奇函数的图象不一定过坐标原点，如是奇函数，它的图象不过原点，所以A正确； 对于B，命题“，”的否定是“”，B错误； 对于C，若，则由不能推出故“”不是的充要条件，故C错误； 对于D，根据题意知，时，，时，， 由单调性的定义知，在R上是增函数，D正确. 故选：AD. 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再给一元二次不等式的求解逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或，得且是方程 的两个根， 则，即， 对于A，，A错误； 对于B，不等式为，而，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，不等式为，即，解得 D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足：，且.当时，.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为上的增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A直接赋值即可；对B，赋值即可；对C，利用奇偶性定义判断即可；对D，根据单调性的判断方法判断即可. 【详解】对于A，由题可知故，故A正确； 对于B，由题可知，故B正确； 对于C，， 故为奇函数，故C正确； 对于D，当时，， 是R上的减函数，故D错误. 故选：ABC. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据每个式子有意义的条件分别求出自变量的取值范围，再求交集即可. 【详解】因为 所以 解得且， 所以函数的定义域为( . 故答案为：. 13. 已知集合，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果. 【详解】依题意可知，由于可知， 此时， 所以，解得或(舍去) 即. 故答案为： 14. 设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设，显然关于对称，则， 另一个交点位于直线上，在中，当时，，即， 因此，所以. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，已知集合，. （1）若，求实数m的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解； （2）由题意得，然后结合集合的包含关系即可求解． 【小问1详解】 由，解得，所以． 因为，且，所以或， 得或， 所以实数的取值范围是或； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 16. 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值. 【答案】等腰三角形腰长为，所用篱笆长度的最小值为. 【解析】 【分析】建立函数模型，利用基本不等式求解. 【详解】设， 上底， 分别过点，作下底的垂线，垂足分别为，， 则 ，，则下底 ， 该等腰梯形的面积 ， 所以， 则 所用篱笆长为 当且仅当 即，时取等号. 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为. 17. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当时，. （1）证明：是偶函数； （2）如果，解不等式. 【答案】（1）证明：因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得，再令，得， 从而，于是有， 所以是偶函数. （2） 【解析】 【分析】（1）令，从而得到，即可证明； （2）通过赋值代换得，再证明其单调性，从而得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，所以， 于是不等式可化为， 由（1）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数， 所以可得， 解得，所以不等式的解集为. 18. 已知函数为上的奇函数，且. （1）求实数的值； （2）试判断函数在区间的单调性，并说明理由； （3）求函数（其中）的值域. 【答案】（1），； （2）函数在区间单调递增，理由：取任意，且， 则 ; 由，可得，； 所以，即可得， 即函数在区间的单调递增； （3）时，其值域为; 当时，值域为 当时，值域为； 当时，值域为 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果； （2）利用单调性定义按照步骤即可证明在区间单调递增； （3）由换元法得出函数的表达式，再由（2）中的结论得出其在上的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果. 【小问1详解】 根据题意可得，即，可得； 再由可得，解得； 当，可得， 经检验此时满足，为奇函数， 所以， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 由(2)得当 时，， 所以，即， 所以函数在上单调递减； 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为上的奇函数，所以函数的减区间为，递增区间为, 当时，, 令，有 ①当时，即，, 此时函数的值域为; ②当时，即时， 可得 此时函数的值域为 ③当时，即时， ， 此时函数的值域为 ④当时， 即， ， 此时函数的值域为， 综上所述，时，其值域为; 当时，值域为 当时，值域为； 当时，值域为 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法得出函数的表达式，再证明得出函数的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果函数的值域. 19. 已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：； （1）当时，设，，写出，并计算； （2）若集合满足，且，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； （3）若，且，任取，求的值. 【答案】（1）， （2）最大值是4．理由如下： 此时或． 若还有第5个元素，则必有和和和之一出现， 其对应的，不符合题意． （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据定义，结合反证法进行求解即可； （3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可． 【小问1详解】 当时，设，， 则，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，， 所以，，，2，3，， 从而， 又， 当 时，； 当时，， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高一数学试卷 命题学校：黄石二中 命题教师：李朝盛王小平 审题学校：蕲春一中 审题教师：周强锋 考试时间：2024年11月11日上午08：00—10：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 中国古代四大发明 B. 所有无理数 C. 2024年高考数学难题 D. 小于的正整数 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 4. 已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18'分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有下列四种说法，正确的说法有（ ） A. 奇函数图象不一定过坐标原点 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则“”的充要条件是“” D. 定义在上的函数对任意两个不等实数a，b，总有成立，则在上是增函数 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 11. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足：，且.当时，.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为上的增函数 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 已知集合，，若，则_________. 14. 设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是_________. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，已知集合，. （1）若，求实数m的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 16. 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值. 17. 函数的定义域为，且满足对于任意，有，当时，. （1）证明：是偶函数； （2）如果，解不等式. 18. 已知函数为上的奇函数，且. （1）求实数的值； （2）试判断函数在区间的单调性，并说明理由； （3）求函数（其中）的值域. 19. 已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：； （1）当时，设，，写出，并计算； （2）若集合满足，且，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； （3）若，且，任取，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $