山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中 高二数学试题 2024.11 (选择性必修一检测) 说明：本试卷满分150分，分为第|卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分， 第1卷为第1页至第2页，第川卷为第3页至第4页。试题答案请用2B铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。 第1卷（共58分） 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。每小题只有，个选项符合题意） 1.己知空间向量ā=(1,2,0)，b=(0,-1,),c=(2,3,m),若a,b,c共面，则实数m=() A.1 B.2 C.3 D.4 2.“m=-1”是“直线：mx+(2m+3)y+1=0与直线42：x+my+3=0平行”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.给出下列说法，其中不正确的是() A.若a/仍，则ā，与空间中其它任何向量在都不能构成空间的一个基底向量 B.若2PM=PA+PB,则点M是线段AB的中点 C.若OA=OB+20元-OD,则A,B,C,D四点共面 D.若平面a,B的法向量分别为元=(2,1，-1)，乃=(-l,41),且a1B，则t=3 4.若三条直线4：4x+y=3,42:x+y=0,:x-my=2不能围成三角形，则实数m的取值最 多有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.实数x,y满足x2+y2=2x-2y,则|x-y+3|的最小值为() A.-2 B.7 C.3+2 D.3 高二期中数学试题第1页共6页 CS扫描全能王 】亿人都在用的目播AP时 6若直线1：a-y-2=0与曲线C:√4-(y-)2=x-1有两个不同的交点，则实数k的 取值范围是()】 A.k>-3+2V6 B.-3+2V6 <k≤5 3 C.-3-26<k<-3+26 D.-3+26<k51 3 3 3 7.在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心， 历=风P西=uP丽，示=P元，A,Ae(0,l,若PG交平面DBF于 点M,且PM=}PG,则元+u的最小值为() A.2 B. 2-3 C.1. D. 8已知椭圆c:女 京=1(>b>0)的左、右焦点分别为R,B,点P在c上且位于第- 象限，圆O与线段FP的延长线，线段PF以及x轴均相切，△PF的内切圆为圆O2, 若圆0与圆O2外切，且圆O与圆O2的面积之比为4，则C的离心率为() A B.② D.3 2 二多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9.下列说法正确的是() A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B.圆0：x2+y2=4与直线mx+y-m-1=0必有两个交点 C.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为+兰=1 a b D.设A(-2,2),B(L,),若直线l:x+y+1=0与线段AB有交点，则实数a的取值 高二期中数学试题 第2页共6页 C③扫描全能王 门亿人都在用的归播APe 范围是（一0，-2Ur吃+o) 10.已知椭圆E: 三+发=1(a>b>0)的离心率为，长轴长为6，F,F分别是椭圆的 x2 右焦点，A(1,)是一个定点，P是椭圆E上的动点，则下列说法正确的是() A.焦距为2 B.椭圆E的标准方程为父+上=】 5 C.AF2 D.P4+PF的最大值为6+√2 11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两 种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称 作阿基米德体，如图，这是一个棱数24，棱长为2√2的半正 多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成 是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正 确的有() A.AG⊥平面BCDG B.A,F,CD四点共面 C.点B到平面ACD的距离为 3 D若E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AP所成角的余弦值范围为日， 第川卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分） 12.已知直线1的倾斜角8∈ 则直线的斜率的取值范围为 13.如图，已知点A(8,0),B(0,-4),从点P(3,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是 高二期中数学试题 第3页共6页 CS扫描全能王 3亿人那在用的目猫AP白 14.杭州第19届亚运会的主会场一一杭州奥体中心体有场，又称“大莲花”（如图1所 示).会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔 画如图2所示。·同学初学筒笔画，先画了一个精圆与圆弧的线稿，如图3所示，若椭 图E的方程为号茶 +卡=a>b>0叭下顶点为A0》: O为坐标原点，P为圆C上任 意一点，满足PO=2PA,则点C的坐标为 若Q为椭圆上一动点，当2C取 最大值时，点Q恰好有两个，则a的取值范围为 图1 图2 图3 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知两直线L:x+y+2=0和12：3x-2y+1=0的交点为P, (1)直线1过点P且与直线x+3y+1=0平行，求直线I的一般式方程： (2)圆C过点(1,0)且与l相切于点P,求圆C的一般方程. 6.《15分)已知椭圆C方×上 +长=1a>6>0)的底心率为号，且过点印马。 (1)求椭圆C的方程： (2)若斜率为二的直线1与椭圆C交于M,N两点，且点M在第一象限，点A,B分别为椭 圆C的右顶点和上顶点，求四边形AMBN面积S的最大值， 高二期中数学试题第4页共6页 CS扫描全能王 】亿人那在用的目播AP时 17.(15分)在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=C,AB=2AD=2CD=4,P为 3 AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图I).将△ACD沿AC折起到△ACD'位置，使得 D'O⊥OP(如图2). D D P B B 图1 图2 (I)求证：平面D'AC⊥平面ABC: ②线段PD上是否存在点Q,使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为6？嗜存在，求 8 出 的值；若不存在，请说明理由. PD 18.(17分)已知直线1：x+√3y+4=0,半径为2的圆C与1相切，圆心C在x轴上且 在直线1的右上方. (1)求圆C的方程； (2)直线y=-2与圆C交于不同的M,N两点，且∠MCN=120°，求直线y=c-2 的斜率； (3)过点M(0,1)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方)，问在y轴正半轴上是否存 在定点N,使得y轴平分∠AWB？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由 高二期中数学试题 第5页共6页 CS扫描全能王 门亿人都在用的归播APP 19.(17分)已知点A,B是平面内不同的两点，若点P满足 PA =1(1>0,且2≠1)， PB 则点P的轨迹是以有序点对(A,B)为“稻点”的入-阿波罗尼斯圆若点Q满足 2A|QB=H(μ>O),则点Q的轨迹是以(A,B)为“稳点”的~卡西尼卵形线.已知 在平面直角坐标系中，A(-2,0),B(a,b)(a≠-2) ()若以(A,B)为“稳点"的2-阿波罗尼斯圆的方程为x2+y2-12x+4=0,求a,b,入的 值 (2)在(1)的条件下，若点2在以(A,B)为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求|O2引(O 为原点)的取值范围： (3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若b=0,入=√2，求证：不存 在实数a,4,使得以(AB)为“稳点”的V2一阿波罗尼斯圆与μ一卡西尼卵形线都关 于同一个点对称 高二期中数学试题 第6页共6页 CS扫描全能王 】亿人都在用的归播AP时山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中 高二数学试题参考答案 2024.11 选择题 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 11 A B c B D D C C BD BCD ABD 填空题 12.(-0,-3)U1,+m).1345.14.(0,-,>牙 解答题 15【答案】0++4=0@+产+写-手0. 【详解】(1)直线1与直线x+3y+1=0平行，故设直线I为x+3y+C,=0, …1分 联立方程组 x+y+2=0 r=-1 3x-2y+1=0解得 y=-1 ∴直线l:x+y+2=0和12：3x-2y+1=0的交点P(-1,-1). …3分 又直线1过点P,则-1-3+C=0,解得C=4, 即直线1的方程为x+3y+4=0. …5分 (2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 4:x+y+2=0的斜率为-1，故直线CP的斜率为1， (-1-a)2+(-1-b2=r2 由趣意可得 0-a)2+(0-b)2=r2 …8分 b11 a+1 解得{6= 6 …11分 25 r2 18 故所求圆的方程为 化为式+ 3 =0 …13分 16.【答案】)4+少=1(222 【详解】(1)由椭圆C:女+广 若+后=1的离心率为5，得厅-办 2 ,解得a=2b,…2分 Γ2 由椭酒C过点0月.得子+1，联立样得u=26=山， …4分 所以稀圆C的方程为兰+y产=1 …5分 (2)由题意可设：=支+， 点在第一象限，.-1<<1， …6分 设(1，)，(2,2)，点，到直线的距离分别为1,2， ,消可得2+2+22-2=0， (=+ .1+2=-2,12=22-2, …8分 l1=1+21+2-412=942-422-②=52-7，…10分 :(20),(0,1),直线的一般式方程：-2+2=0， 1=242 2-2 ,2=5 “1+2= 4 …12分 =△+&=(1+)=×52-7×言=22-7， …14分 当=0时，有最大值为22 …15分 【答案】0证明见解折@存在·号 【详解】(1)证明：，在梯形ABCD中，AB/1CD, B=2AD=2CD=4,∠BAD=号P为AB的中点， .CD//PB,CD=PB,BC=DP, …1分 ∴·△ADP是正三角形，四边形DPBC为菱形， .AC⊥BC,AC⊥DP, …3分 ,AC⊥DO,D'O⊥OP, 又，ACOOP=O,AC,OPC平面ABC, DO⊥平面ABC, …5分 :DOc平面DAC, .平面DAC⊥平面ABC …6分 (2)存在， PO 1 PD3,理由如下： …8分 ,DO⊥平面BAC,OP⊥AC, .OA,OP,OD两两互相垂直， 如图，以点O为坐标原点，OA,OP,OD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系 D P 则C(-50.0,(-√5,2,0，D'(00,1),P(0,1,0), BD=(5,-2,c而=(5.0,1 设平面CBD的一个法向量为i=(x,”,z),则 BD'=0 ,即 V5x-2y+z=0 令x=1,则y=0,z=-V5, 元-CD=0 3x+z=0 …元=（儿0，-5） …11分 设P0=APD(0≤2≤1) cP=(51,0,PD=(0-1,) C0=C乎+P@=Cp+P而5,1-2， …12分 c@月 设CQ与平面BCD所成角为0，则sin0=cosCO,= 5-)6 C@2W22-22+48 即322-71+2=0,0≤1s1,解得元=号 线段Pm上存在点Q,且号-有使得c0与平面8CD所成角的正张值为 …15分 8 18.【答案】(1)x2+y=4(2)k=±√3(3)N(0,4) 【详解】1)设圆心C(a,0(a>4),则la+4=2, …2分 2 解得a=0或a=-8(舍)，故圆C的方程为x2+y2=4. …4分 (2)由题意可知圆心C到直线y=c-2的距离为2sin30=1, …6分 则有 =1,解得k=±5. …8分 Vk2+1 (3)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=x+1(k≠0)，N(0,1)1>0),A(x,),B(x,2), 由 +=4得2+1)x2+2-3=0, [y=kx+1 …10分 -2k -3 六+3++司 …12分 若y轴平分∠ANB,则kw=-kw,即4+凸=0，即+1-4+l-L=0, 即25+0-06+5)=0，即二6k+0-0X-2=0,即-4k+H=0, …14分 k2+1k2+1 当1=4时，上式恒成立，即N(0,4): …15分 当直线AB的斜率不存在或斜率为0时，易知N(0,4)满足题意： 综上，当点N的坐标为(O,4)时，y轴平分∠ANB. …17分 19.【答案】(1)=2，=0，=√2(2)[1,3】(3)证明见解析 【详解】(1)因为以(，)为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为2+2一12+4=0，设(，)是该圆上任意 一点，则2+2=12-4 …1分 所以片==#=2)， 2+2+4+4 16 …3分 因为对卡为常数2， 所以2-4+2=0，=0，且≠-2， …5分 所以=2，=0，=语=2 …6分 (2)解：由(1)知(-20)，(2,0)，设(，)， 由1111=5，得√+2)2+2.V-2)2+7=5, 所以(2+2+4)2=25+162， …7分 2=V25+167-2-4≥0， 整理得4-82-9≤0，即(2+1)(2-9)≤0， 所以0≤2≤9， …9分 1|=√2+z=√W25+16z-4, …10分 由0≤2≤9，得1≤|1≤3， 即1的取值范围是[1,3]. …12分 (3)证明：若=0，则以(，)为“稳点”的2一阿波罗尼斯圆的方程为(+2)2+2=2[(-)2+]，整理 得2+2-(4+4)+22-4=0， 该圆关于点(2+2,0)对称. …15分 由点(-2,0)，(0)关于点(2,0)对称及1111=， 可得一卡西尼卵形线关于点（气是，0）对称， 令2+2=子，解得=-2，与+=-2矛盾， 所以不存在实数，，使得以(，)为稳点的V2—阿波罗尼斯圆与一卡西尼卵形线都关于同一个点对称 …17分