湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

衡阳县一中2025届高三上学期期中考试 数 学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，则表示的点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知命题：，；：，.均为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，且与垂直，则与的夹角为（   ） A．60° B．30° C．135° D．45° 5．椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（   ） A． B． C． D． 7．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（    ） A．1 B． C． D． 8．已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为1，则（    ）    A． B．点在C上 C．C在第一象限点的纵坐标的可以为 D．当点在C上时， 10．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（    ） A．，使 B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面所成的角恒为45° D．，都存在过且与平面平行的平面 11．设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则当取得最小值时， D．若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12．已知，则的最小值为 ． 13．已知某三棱台的高为，上、下底面分别为边长为和的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ． 14．已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知数列和等比数列，，若的最大项和最小项分别是中的和的值． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； (2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值. 19．（17分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有三个不相等的零点，且在点处切线的斜率为，求的取值范围及的值. 数 学（答案） 1．【答案】D 【解析】由，可得，解得， ，又， 所以， 故选：D． 2．【答案】A 【解析】， 所以，所以表示的点所在象限是第一象限， 故选：A 3．【答案】D 【解析】恒成立， 当时，，满足要求， 当时，需满足，解得， 故为真命题，需满足， ，，则，解得， 故为真命题，需满足， 综上，的取值范围为 故选：D 4．【答案】D 【解析】由题设， 所以，而， 所以. 故选：D 5．【答案】B 【解析】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， 所以，所以， 代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部，所以， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：B． 6．【答案】B 【解析】设样本空间为，则， 设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A， 则， 所以. 故选：B. 7．【答案】B 【解析】设沙漏下半部分的圆锥的容积为，沙子堆成的圆台体积为， 该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为．由题意可知，即， 则，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为． 故选：B 8．【答案】B 【解析】因为 ， 令，则，令，得到， 所以或，令，得到或，令，得到或， 又在上有且仅有两个零点，所以在上有且仅有两个零点， 所以，得到， 故选：B. 9．【答案】ABC 【解析】对于A，因为在曲线上，所以到的距离为，而，所以有，故，故A正确， 对于B，因为曲线的方程为，代入知满足方程；故B正确， 对于C，由，将代入方程满足，故在曲线上，故C正确， 对于D，曲线的方程为，可化为， 即，因为，故D错误， 故选：ABC． 10．【答案】AD 【解析】因为四边形正方形，故， 而平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. 设，则，其中， 由题设可得， ， 对于A，当即时，，故A正确； 对于B， ， 故，当且仅当即时等号成立，故，故B错误； 对于C，由B的分析可得， 而平面的法向量为且， 故，此值不是常数， 故直线与平面所成的角不恒为定值，故C错误； 对于D，由B的分析可得，故为共面向量， 而平面，故平面，故D正确； 故选：AD 11．【答案】AB 【解析】因为数列为正项等比数列，则， 对于选项A：因为 ， 所以，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 若取得最小值，则， 即，解得，故C错误； 对于选项D：例如， 则，， 可得， 因为，则，可得，即， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 12．【答案】 【解析】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 13．【答案】 【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台，如图， 上底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 下底面正外接圆的半径是，为正外接圆圆心， 由正三棱台的性质知，其外接球的球心在直线上，令该球半径为， 于是，或，解得， 所以球的表面积是． 故答案为： 14．【答案】 【解析】函数在，上单调递减，在上单调递增，，， 画出的图象，如图， 令，由，得，，， 由，得，即，由，得， 于是，由对勾函数性质知，在上递增，则， 所以的范围是． 故答案为： 15．【解析】（1）由题意，， 结合函数的单调性， 可知， 所以数列中的最大项为，最小项为， 所以，即， 所以等比数列的公比，所以 （2）， ， ， 两式相减得： ， 故. 16．【解析】（1）∵平面平面，且平面平面， 且，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又，且，平面， ∴平面； （2）取中点为，连接， 又∵，∴．则， ∵，∴，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设为平面的一个法向量， 则由，得，令，则． 设与平面的夹角为， 则； （3）假设在棱上存在点点，使得平面. 设，， 由（2）知，，，，则，， ， 由（2）知平面的一个法向量． 若平面，则， 解得，又平面， 故在棱上存在点点，使得平面，此时. 17．【解析】（1）喜欢食堂就餐的人数为，则不喜欢的人数为人， 则不喜欢食堂就餐的女生为人，因为男女生人数比为1∶1， 则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为人， 喜欢堂食就餐的男生为人， 则列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设:假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立， 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关. （2）记事件：小林同学星期二选择了①号套餐， 事件：小林同学星期四选择了②号套餐, 由全概率公式可得 18．【解析】（1）由题意得解得， 故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 由，得， 则. ， 解得或 当时，直线经过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为. （3）直线，均不与轴垂直，所以，则且， 所以 为定值. 19．【解析】（1）当时，，， 切点为，切线斜率， 故切线方程为， 即切线方程为. （2）， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在，上单调递增. （3）由（2）知，有三个零点，则，且， 即，解得， 当时，，且， 所以在上有唯一一个零点， 同理，， 所以在上有唯一一个零点， 又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知的取值范围为， 由有三个不相等的零点， 不妨设，其中， 则， 则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$