精品解析：陕西省汉中市龙岗学校2024-2025学年高二上学期挑战杯数学试题

陕西省汉中市龙岗学校2024-2025学年高二上学期挑战杯数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数和在复平面内对应的点分别为和，则（ ） A. B. C. D. 3. 某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 二、多选题 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 10. 已知三个内角的对应边分别为，且，则（     ） A. 若，则 B. 若，则在上投影向量的模长为1 C. 若，，则角有两解 D. 若，则 11. 有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是递减数列 三、填空题 12. 已知，且，则的最小值为__________. 13. 在中，，的平分线交于点，若，且，则________，的长为________. 14. 定义为，中的最大值，函数的最小值为，如果函数在R上单调递减，则实数的取值范围为___________． 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为. （1）求的取值范围； （2）若，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 甲、乙进行轮流掷骰子游戏，若出现点数大于得3分，出现点数小于或等于4得1分，两人得分之和大于或等于6分时游戏结束，且规定最后掷骰子的人获胜，经过抽签，甲先掷骰子． （1）求乙掷一次就获胜的概率； （2）求甲获胜的概率． 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界，已知函数， （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合； （3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省汉中市龙岗学校2024-2025学年高二上学期挑战杯数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求出集合，然后利用交集的概念求出答案． 【详解】∵， ∴，即． 故选：C． 2. 已知复数和在复平面内对应的点分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定复数和，然后结合共轭复数的概念及复数的运算即可求解. 【详解】由题意可得：，，， 则. 故选：A. 3. 某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式计算即可. 【详解】设在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球为事件A, 在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，则他也喜欢打排球为事件B, , . 故选：A. 4. 等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前项和公式求出，判断出数列的单调性即可得解. 【详解】设公比为， 由成等差数列，得， 又数列为等比数列，所以得，解得， 所以， 令， 则， 所以数列递增数列， 所以当时，取得最小值1. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式结合二倍角公式，利用齐次式计算可得. 【详解】因为，所以， 则，即， 所以. 故选：B. 6. 已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，结合三角函数的诱导公式可求． 【详解】由题意得，， 所以， 由三角函数的诱导公式可得，， 所以， 故当时，的最小值为 故选：C． 7. 如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】为中点，为矩形中心，可得平面，外接球球心在上，由外接球球心的特征，通过构造直角三角形利用勾股定理求出外接球半径，可求表面积. 【详解】连接，，相交于点， 因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心. 分别取，，的中点M，P，Q， 连接， 则， 且为的中点， 因为，所以， 为矩形，，则有，，， ，，是平面内的两条相交直线， 平面，平面，平面平面， 平面平面， 等腰梯形中，分别为的中点，则有， 所以平面， 则多面体的外接球球心在上， ，平面，平面，则平面， E到平面ABCD的距离为3，则， 当在线段上时，设，则， 在和中，由外接球半径， 有，即，解得， 外接球半径， 该球的表面积. 当在线段的延长线上时，同理可得，此时无解. 故选：D. 8. 在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】C 【解析】 【分析】找到截面与长方体的平面的交线，判断为五边形. 【详解】如图所示，延长、，使，连接、， ∵、、， ∴、， ∵、分别为棱、的中点， ∴， ∴， ∵，又、、三点共线， ∴、、三点共线，∴在截面上， 延长、，使，连接，使， ∴在截面上， 连接、， ∵，且 ∴，∴且=， 又为中点，、、三点共线， ∴、、三点共线， ∴截面为五边形， 故选：C． 二、多选题 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案. 【详解】，，由于， 所以，所以A选项正确，B选项错误. ， 当时，得，所以关于对称，C选项正确， ， 当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确. 故选：ACD 10. 已知三个内角的对应边分别为，且，则（     ） A. 若，则 B. 若，则在上投影向量的模长为1 C. 若，，则角有两解 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,画出图形根据三点共线的向量表达式判断； 对于B，用投影向量的模长公式计算判断； 对于C，画出图形，求出高线，比较大小来判断解的个数； 对于D，用数量积和余弦定理综合考虑即可判断. 【详解】对于A,如图所示， ，根据三点共线的向量表达式得到.故A正确. 对于B，在上投影向量的模长为．故B错误. 对于C，如图所示，求得，则有两组解,故C正确. 对于D，，则为钝角，则，即， 即，故，故D正确． 故选：ACD. 11. 有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是递减数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由全概率公式分析可得，由此分析A，进而对该式变形可得，由数列与概率的关系分析B、C、D，综合可得答案. 【详解】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5， 则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为， 则，又由， 则，故A正确； 对于，变形可得，，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，变形可得， 对于B，，，则，故B错误； 对于C，， 此时，而， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，， 由于，故是递减数列，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 13. 在中，，的平分线交于点，若，且，则________，的长为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由三点共线，利用平面向量的基本定理，得到，过点分别作的平行线，得到四边形为菱形，结合，求得的长. 【详解】由，因为三点共线，可得，解得， 如图所示，过点分别作的平行线，交于点， 则， 因为中，，且的平分线交 于点， 所以四边形为菱形， 又因为，所以， 由， 可得， 所以，即的长为. 故答案为：；. 14. 定义为，中的最大值，函数的最小值为，如果函数在R上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案． 【详解】 由题意，在同一坐标系下画出的图象，可知 ，且 则，因为为减函数， 必有， 解可得：，即m的取值范围为； 故答案为． 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为. （1）求的取值范围； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和性质可得，，由，可得，从而可得的取值范围. （2）利用正弦定理的边角互化可得，由（1）可得，代入上式即可求解. 【详解】（1）由及，得， 所以，所以. 由，得 得，故的取值范围为. （2）若，由正弦定理有，① 由（1）知，则.② 由①②得， 所以， 解得或， 又，所以. 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明如下： 分别为中点， ， 平面，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线性质知，利用线面平行判定定理可证得结论； （2）根据线面垂直的判定可证得平面，利用，由三棱锥体积公式可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形为正方形，， 又，平面，，平面， ， . 【点睛】思路点睛：立体几何中的求解三棱锥体积问题通常采用两种思路来进行求解： （1）体积桥：将三棱锥进行等体积代换，转化为高易求的三棱锥体积的求解问题； （2）割补：将三棱锥切割为几个部分或者补足为某个易求体积的几何体来进行求解. 17. 甲、乙进行轮流掷骰子游戏，若出现点数大于得3分，出现点数小于或等于4得1分，两人得分之和大于或等于6分时游戏结束，且规定最后掷骰子的人获胜，经过抽签，甲先掷骰子． （1）求乙掷一次就获胜的概率； （2）求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，可得投掷骰子一次得3分的概率为，得1分的概率为，进而根据独立事件的概率公式求解即可； （2）甲获胜分三种情况：①甲得3分，乙得1分，甲再得3分；②甲得1分，乙得3分，甲再得3分；③甲得1分，乙得1分，甲得1分，乙得1分，甲再得3分.分别利用独立事件的概率公式求解，进而即可求解. 【小问1详解】 投掷骰子一次得3分的概率为，得1分的概率为； 乙掷一次就获胜表示第一次甲得3分，乙也得3分， 即乙掷一次就获胜的概率为. 【小问2详解】 设甲获胜为事件，根据他们轮流投掷的得分，分三种情况： ①甲得3分，乙得1分，甲再得3分，概率为； ②甲得1分，乙得3分，甲再得3分，概率为； ③甲得1分，乙得1分，甲得1分，乙得1分，甲再得3分，概率为； 所以甲获胜的概率为. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用关系及等比数列的定义求的通项公式； （2）由（1）可得，应用错位相减法求. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，，整理得， 所以是以9为首项，3为公比的等比数列，故. 【小问2详解】 由（1）知，，则①， 所以②， ①-②得：， 故. 19. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界，已知函数， （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合； （3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）a= -1；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据奇偶性的定义求出a的值； （2）先求出函数的单调区间及值域，从而求出函数在区间上的所有上界构成的集合； （3）问题转化为恒成立问题，通过换元法求解即可 . 【详解】（1）函数为奇函数，所以， 即，所以，解得 而当a=1时，不合题意，故a= -1. （2）由（1）知：，易知在上单增， 所以函数在区间上单增，所以 在区间上值域为 所以，故函数在区间上的所有上界构成的集合为. （3）由题意可知：在上恒成立，所以 即，所以在上恒成立， 所以 令 易知在上递减，所以， 在上递增，所以， 所以，即实数的取值范围为 【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或； （2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $