精品解析：天津市河西区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 解方程结果为（ ） A. B. C. D. 该方程无实数根 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 若二次函数的图象过点，点和点，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，过平行四边形的对角线的中点O的一条直线，交边于点E，F（E，F不与四边形的顶点重合），下列叙述不正确的是（ ） A. 与一定相等 B. 与一定相等 C. 四边形与四边形一定全等 D. 平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 7. 下列两个两位数相乘的运算中，请你利用二次函数的性质判断“积”最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数下列结论正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 9. 某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线可以看作将抛物线（ ） A. 向左平移2个单位得到的 B. 向右平移2个单位得到的 C. 向上平移2个单位得到的 D. 向下平移2个单位得到的 11. 如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线与y轴的交点的坐标为_____． 14. 把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为_____． 15. 一个矩形的面积为，且长是宽的2倍，则这个矩形的周长为_____． 16. 若抛物线与轴只有一个交点，则的值是______． 17. 如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则_______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程 （1） （2） 20. 小强用配方法求解一元二次方程的过程如下： 解：二次项系数化1，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得第三步 即…第四步 直接开平方，得…第五步 即…第六步 请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第 步开始出错了，并加以改正． 21. 如图，和都等边三角形，连接BE，DC． （1）求证： （2）可以看作是经过 得到的（填：平移，轴对称或旋转）；说明得到的具体过程； （3）若．则的长为 ． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏． （1）若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长； （2）若米，求矩形菜园面积的最大值． 23. 某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 （2）填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； （3）请继续完成本题的解答： 24. 在同一平面内，将两个全等等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，与边的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． （1）直接写出的度数； （2）在旋转过程中，试证明始终成立． （提示：由于符合勾股定理的形式，若通过将或进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．） 25. 抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点． （1）当时，求点E和点A的坐标； （2）①若顶点E在直线上时，用含有b的代数式表示c； ②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式； （3）若，，当时，是否存在的最小值，若不存在，说明理由，若存在，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的性质，直接利用关于原点对称的点的坐标特征“横坐标和纵坐标都互为相反数”的性质解答即可，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 【详解】∵关于原点对称的点的坐标特征为：横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点对称的点的坐标为， 故选：B． 2. 下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 3. 解方程的结果为（ ） A. B. C. D. 该方程无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据求抛物线对称轴的公式即可求得． 【详解】解：抛物线中，，， 该抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线对称轴的公式，熟练掌握和运用求抛物线对称轴的公式是解决本题的关键． 5. 若二次函数的图象过点，点和点，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．利用待定系数法求得二次函数的解析式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，点和点， ∴， 解得， 故选：D． 6. 如图，过平行四边形的对角线的中点O的一条直线，交边于点E，F（E，F不与四边形的顶点重合），下列叙述不正确的是（ ） A. 与一定相等 B. 与一定相等 C. 四边形与四边形一定全等 D. 平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，全等四边形的判定等，利用平行四边形的性质及平行线的性质证明，推出，，进而判断选项A，B，再根据全等四边形的判定方法判断选项C，D． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，， 又点O为对角线的中点， ， ， ，， 故选项A叙述正确，不合题意； 与不一定相等，，， 与不一定相等， 故选项B叙述错误，符合题意； ，， ， 四边形与四边形中，，，，，，，， 四边形与四边形一定全等， 故选项C叙述正确，不合题意； 梯形与梯形中，，，，，，，， 梯形与梯形一定全等， 平行四边形被直线分成了两个全等的梯形 故选项D叙述正确，不合题意； 故选B． 7. 下列两个两位数相乘的运算中，请你利用二次函数的性质判断“积”最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法的应用是解本题的关键．设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为，得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为， 根据题意，得： ∵， ∴当时，y有最大值，所以的值最大． 故选C． 8. 已知函数下列结论正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的以及对称轴，得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，即可作答． 详解】解：∵ ∴，对称轴， 即开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 故选：A． 9. 某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：若每次降价的百分率都是x，由题意得 ， 故选：B． 10. 抛物线可以看作是将抛物线（ ） A. 向左平移2个单位得到的 B. 向右平移2个单位得到的 C. 向上平移2个单位得到的 D. 向下平移2个单位得到的 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求出平移前后两个抛物线的顶点坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律判断点的平移方式即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵点是由点向右平移2个单位得到的， ∴抛物线可以看作是将抛物线向右平移2个单位得到的， 故选：B． 11. 如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，旋转角为α， ∴， ∴， 故选：D． 12. 如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积公式列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③． 【详解】解：由题意得：，， ，， ，， 当时，，故①正确； 当的面积为时，，解得：或，即有两个不同的值，都使的面积为，故②正确； ，， 当时，面积有最大值，其最大值，故③错误； 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 抛物线与y轴的交点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．令，可确定抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，得，故抛物线与y轴交于． 故答案为：． 14. 把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵等边三角形两条中线的交点O， ∴， ∴， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故选：C． 15. 一个矩形的面积为，且长是宽的2倍，则这个矩形的周长为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，矩形的周长和面积，先用未知数表示矩形的长和宽，根据面积建立方程，求解即可． 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的长为，根据面积为，得 解得：，（舍去）， ∴矩形的周长为：， 故答案为：30． 16. 若抛物线与轴只有一个交点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解求二次函数与x轴的交点就是求一元二次方程的解． 17. 如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是． 【详解】解：过点作于点F，则， ∵， ∴． 又， ∴. ∴． 设，矩形中，， ， ，，解得， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 ①. ②. 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）直接用开平方法求解即可； （2）先移项，再配方，最后开平方，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 20. 小强用配方法求解一元二次方程的过程如下： 解：二次项系数化1，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得第三步 即…第四步 直接开平方，得…第五步 即…第六步 请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第 步开始出错了，并加以改正． 【答案】五；改正见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，观察可知，第五步开始出现错误，原因是没有讨论的符号，当为非负数时，方程两边同时开方解方程，当为负数是原方程无解，据此求解即可． 【详解】解：观察解题过程可知，第五步开始出现错误，原因是没有讨论的符号： 改正如下： 解：二次项系数化1，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得第三步 即…第四步 当时，直接开平方，得…第五步 即…第六步 当时，原方程无解． 21. 如图，和都是等边三角形，连接BE，DC． （1）求证： （2）可以看作是经过 得到的（填：平移，轴对称或旋转）；说明得到的具体过程； （3）若．则的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2）旋转；将△ABE绕A点顺时针旋转60°可以得到△ADC （3）10 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定和勾股定理，解题关键是熟练运用等边三角形和全等三角形的性质进行推理证明，利用勾股定理求解； （1）根据“边角边”定理证明即可； （2）根据（1）中结论确定旋转中心和旋转角即可； （3）证明再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴可以看作是经过旋转得到的， 将绕A点顺时针旋转可以得到． 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏． （1）若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长； （2）若米，求矩形菜园面积的最大值． 【答案】（1）4米 （2）50平方米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的应用等知识，解题的关键根据旧墙的长度判断函数最值． （1）设，则，根据矩形的面积列方程即可解决问题； （2）根据矩形面积列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 由题意得，， 解得：或， 当时，，不符合题意， 当时，， ∴旧墙的长为4米； 【小问2详解】 解：设，则，设面积为， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 23. 某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 （2）填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； （3）请继续完成本题的解答： 【答案】（1）7，13，21 （2） （3）10个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【小问1详解】 解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 【小问2详解】解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 24. 在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，与边的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． （1）直接写出的度数； （2）在旋转过程中，试证明始终成立． （提示：由于符合勾股定理的形式，若通过将或进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．） 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，旋转变换性质以及勾股定理等知识，根据题意作出旋转后的图形，利用三角形全等是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得,，利用角的和差关系可得结论； （2）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立． 【小问1详解】 解：∵和是等腰直角三角形， ∴,， ∵ ∴； 【小问2详解】 证明：如图，将绕点A顺时针旋转至的位置， 则，旋转角． 连接， 在和中， ∵． ∴， ∴， 又， ∴， 即． 25. 抛物线（b，c常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点． （1）当时，求点E和点A的坐标； （2）①若顶点E在直线上时，用含有b的代数式表示c； ②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式； （3）若，，当时，是否存在的最小值，若不存在，说明理由，若存在，求b的值． 【答案】（1） （2）①；② （3）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意和，可以得到点，在抛物线的图象上，然后即可求得该抛物线的解析式，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得到点A和点E的坐标； （2）①将题目中的函数解析式化为顶点式，再根据题目中顶点E在直线上，即可得到c和b的关系； ②根据①的结果和二次函数的性质，可以求得当点A的位置最高时，抛物线的解析式； （3）点代入解析式得，则有，，点E关于x轴的对称点；设过点A，P的直线为，将点，代入，得到，由“两点之间，线段最短”知当直线过点时，的值最小，把代入，得，即可求b． 【小问1详解】 解：∵抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点，且， ∴点，在抛物线的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴点A的坐标为，点E的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴点E的坐标为， ∵顶点E在直线上， ∴， ∴； ②由①知，， 则点A的坐标为， ∴当时，此时点A的位置最高，函数， 即在①的前提下，当点A的位置最高时，抛物线的解析式是． 【小问3详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E关于x轴的对称点， 设过点A，P的直线为， 将点，代入， ∴， 解得， ∴， ∴当直线过点时，， 由“两点之间，线段最短”知此时的值最小， 把代入，得， ∴， 解得， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $