精品解析：陕西省咸阳市三原县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年度第一学期期中综合素质测试九年级数学试题（卷） 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间90分钟． 2．领到试卷和答题卡后，在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项正确涂满，其它各题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答． 5．考试结束时，将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形、菱形、正方形都具有性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 3. 如图，中，点是边的中点，交对角线于点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有（ ）个白球 A 6 B. 5 C. 7 D. 3 6. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，于点H．若，，则的长度为（　　） A B. C. D. 4 7. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，对角线与相交于点，轴，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 某产品经过两次连续涨价，销售单价由原来的150元上升到216元，若该产品平均每次涨价的百分率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C D. 9. 如图，顺次连接四边形各边中点E、F、G、H，要使四边形为矩形，则对角线应满足的条件是（ ） A. B. C. 且 D. 与互相平分 10. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，使的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若，则_____． 12. 如图，在矩形中，若，，，则的长为________． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 14. 如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是_____． 15. 设、是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图所示，四边形是长方形，把沿折叠到，与交于点E，若，则的长为________． 17. 多项式的最大值是_____，此时_____． 18. 如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接、，、分别是、的中点，连接，若，，则的最小值是______． 三、解答题（共66分） 19 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 20. 尺规作图并按要求完成： 已知，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．做射线，交于点．连接，则是的______． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）已知，求四边形的面积． 21. 国庆假期，小西和同学小婷去大唐不夜城玩，漂亮的团扇吸引了她们的注意力，团扇上不止有唯美的图案，更有古诗，她们喜欢的四把团扇上印的古诗分别是李白的《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》、《渡荆门送别》杜甫的《春望》以及崔颢的《黄鹤楼》．因为都非常美，她们想通过随机抽选的方法来确定买哪个，具体方案如下：她们把四首古诗分别写在四张卡片的正面，记为A，B，C，D（这四张卡片的背面都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀． （1）从中随机抽取一张，抽得的卡片所代表的古诗是《春望》或《黄鹤楼》的概率是______． （2）若小西从这四张卡片中随机抽取一张，不放回，小婷再从剩余的三张中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片所代表的古诗均为李白所写的概率． 22. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，四边形的面积是，连接，求的长． 23. 某水果店经销一种进口水果，其进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，市场调查发现，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克． （1）当售价为50元时，每天销售这种水果__________千克，每天获得利润_________元． （2）若要使每天的利润为9750元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种水果应降价多少元？ 24. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期期中综合素质测试九年级数学试题（卷） 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间90分钟． 2．领到试卷和答题卡后，在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项正确涂满，其它各题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答． 5．考试结束时，将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是一元二次方程； B． 是一元二次方程； C．的未知数在分母上，不是整式方程，故不是一元二次方程； D．整理后是，不是一元二次方程． 故选B． 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角． 利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意； B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意； C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意； D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，中，点是边的中点，交对角线于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先由平行四边形得出，再证明，结合点是边的中点，得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 故选：A． 4 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：D． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 5. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有（ ）个白球 A. 6 B. 5 C. 7 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 用球的总个数乘以摸到红球的频率求出红球的个数，进而可求出白球的个数． 【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个）， 白球的数量为（个）， 故选D． 6. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，于点H．若，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理得，再由，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 7. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，对角线与相交于点，轴，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，先求出，再证明为等边三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选：D． 8. 某产品经过两次连续涨价，销售单价由原来的150元上升到216元，若该产品平均每次涨价的百分率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列出方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：若该产品平均每次涨价的百分率为，根据题意，， 故选：B． 9. 如图，顺次连接四边形各边中点E、F、G、H，要使四边形为矩形，则对角线应满足的条件是（ ） A. B. C. 且 D. 与互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得． 【详解】解：∵E、F、G、H分别为的中点， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， 要使平行四边形矩形，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 10. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，使的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，正方形的性质及等边三角形的性质，根据正方形的面积求出其边长，由于是等边三角形，所以，由正方形的性质可知点即为点关于的对称点，当与重合时，最小，即最小为的长，则可求的最小值，进而可得结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵正方形的面积为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴关于对称， ∴， ∴， 当与重合时，最小，最小为的长， ∴的和最小值为， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意可设，，，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，若，，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据矩形的性质得，，即可得出，并根据勾股定理求出，再根据，得出，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，代入数值得出答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，，求解即可，也考查了一元二次方程的定义． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且， 故答案为：且． 14. 如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长即可． 【详解】解：∵分别是的高，M为的中点，， ∴在中，，在中，， 又∵， ∴的周长． 故答案为：16． 15. 设、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 16. 如图所示，四边形是长方形，把沿折叠到，与交于点E，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形性质得AB＝DC＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∠B＝90°，再根据折叠性质得∠DAC＝∠D′AC，而∠DAC＝∠ACB，则∠D′AC＝∠ACB，所以AE＝EC，设BE＝x，则EC＝4﹣x，AE＝4﹣x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理可计算出BE． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝DC＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∠B＝90°． ∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E， ∴∠DAC＝∠D′AC， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠D′AC＝∠ACB， ∴AE＝EC． 设BE＝x，则EC＝4﹣x，AE＝4﹣x， 在Rt△ABE中，∵AB2+BE2＝AE2， ∴32+x2＝（4﹣x）2，解得x＝， 即BE的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理，解题关键是设未知数，表示线段长，利用勾股定理列方程． 17. 多项式的最大值是_____，此时_____． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法求解代数式的最值，把原代数式化为，从而可得答案. 【详解】解： ； ∴当时，多项式的最大值是． 故答案为：，2 18. 如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接、，、分别是、的中点，连接，若，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接，由菱形的性质可得，由三角形中位线定理可得，当时，最小，也最小，则，再由等腰直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，也最小，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将常数项移至方程右边，然后在方程加上，方程左边配成完全平方，然后利用直接开平方法求解即可； （2）将方程化为一般形式，然后确定、、，求出的值，再代入即可； （3）将方程化为，方程左边利用平方差分解因式，将原方程化为两个一元一次方程进行求解即可； （4）将原方程化，方程左边分解因式，将原方程化为两个一元一次方程进行求解即可； 解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法，配方法，公式法以及因式分解法． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 ， ， 此时、、， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 ， ， ，即， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 ， ， ， ， ， ， ， ∴或， ∴，． 20. 尺规作图并按要求完成： 已知，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．做射线，交于点．连接，则是的______． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）已知，求四边形的面积． 【答案】角平分线；（1）菱形，见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，菱形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，菱形的判断与性质是解决本题的关键． 根据作图可知是的平分线； （1）根据作图的过程可知是的平分线，根据平行四边形的性质可得，根据作图可知，得，证明四边形是平行四边形，进而可得四边形是菱形； （2）连接交于点，利用菱形的性质结合勾股定理求得菱形的对角线的长，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据作图可知是的平分线， 故答案为：平分线； （1）四边形是菱形，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴， ∴， ∴， 根据作图可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 21. 国庆假期，小西和同学小婷去大唐不夜城玩，漂亮的团扇吸引了她们的注意力，团扇上不止有唯美的图案，更有古诗，她们喜欢的四把团扇上印的古诗分别是李白的《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》、《渡荆门送别》杜甫的《春望》以及崔颢的《黄鹤楼》．因为都非常美，她们想通过随机抽选的方法来确定买哪个，具体方案如下：她们把四首古诗分别写在四张卡片的正面，记为A，B，C，D（这四张卡片的背面都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀． （1）从中随机抽取一张，抽得的卡片所代表的古诗是《春望》或《黄鹤楼》的概率是______． （2）若小西从这四张卡片中随机抽取一张，不放回，小婷再从剩余的三张中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片所代表的古诗均为李白所写的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，列表法或树状图法求解概率． （1）根据概率公式求解即可； （2）采用列表法列举即可作答． 【小问1详解】 ， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 小西 小婷 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上所代表的古诗均为李白所写的结果数有2种， 两张卡片上所代表的古诗是李白所写的概率为． 22. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，四边形的面积是，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质勾股定理． （1）由菱形的性质得，证明可证四边形是平行四边形，进而可证四边形是矩形； （2）连接，由四边形的面积是求出，由勾股定理得，进而可得． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形 即 即 四边形是平行四边形 是矩形 【小问2详解】 解：连接 四边形是矩形 在菱形中，， ∴． 23. 某水果店经销一种进口水果，其进价为每千克40元，按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，市场调查发现，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克． （1）当售价为50元时，每天销售这种水果__________千克，每天获得利润_________元． （2）若要使每天的利润为9750元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种水果应降价多少元？ 【答案】（1）， （2）每千克这种水果应降价7元 【解析】 【分析】（1）售价为50元时先求出销量，再求出利润即可； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”列方程求解可得． 【小问1详解】 解：当售价为50元时，销量（千克），每天获得利润（元）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设降价元，则销量为千克 由题意得： 整理得 解得： ∵要尽快减少库存 ∴， 即每千克这种水果应降价7元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到相等关系，并据此列出方程是解题的关键． 24. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论； (2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案； (3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE． 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 又∵ PB=PB， ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE； (2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°； (3)AP＝CE 理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP， 在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠DEP， ∴∠DCP=∠DEP， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$