精品解析：吉林省长春市第五十二中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

长春市第五十二中学八上期中测试数学试题 2024.10 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 实数，0，，（相邻两个2之间依次多一个0），其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若，则的值是（ ） A. 12 B. 12或4 C. 12或 D. 或4 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 若，则 D. 等边三角形的三个内角都相等 5. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 6. 如果等腰三角形有一个内角为，则其底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 19 D. 26 8. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：．比如，则．若，则的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 比较大小：____________ 10. 若是一个完全平方式，则的值是__________． 11. 引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知，则_____． 12. 如图，，点D在的垂直平分线上，点E在的垂直平分线上，则的度数是____________ 13. 无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm． 14. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中错误的序号为____________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. （1）计算： ①； ② （2）分解因式： ①； ② 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．（要求用无刻度直尺画图，不需要写画法） （1）在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10； （2）在图2中，画一个顶点都在格点上的，使它的三边长分别，并计算边上的高为_______（直接写出计算结果） 18. 如图，AB＝AD．AC＝AE，∠BAD＝∠CAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AC＝9，AD＝12，BE＝15，请你判断△ABE的形状并说明理由． 19. 将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，包装盒的高为15厘米，设包装盒底面的长为x厘米 （1）用x表示包装盒底面的宽； （2）用x表示包装盒的表面积，并化简. （3）如果包装盒底面的长为10厘米，求包装盒的体积. 20. 沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向130km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD＝50km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 21. 把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 已知：如图，，试说明． 解：，（已知） ．（_________________） ， _________．（等式性质）即____________． 在与中 ，（____________） ____________．（_________________） ．（同位角相等，两直线平行） 22. 【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为_________； 【类比探究】 （2）若，则的值为_________； 【拓展应用】 （3）如图②，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域（阴影部分）内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 23. 在中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． （1）如图1，若是的角平分线，求证：； （2）如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段和的数量关系是什么，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，把过沿翻折至处，若，直接写出的面积． 24. 如图，在中，，是边的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线运动．设E的运动时间为． （1）_________（用含t的代数式表示），的大小是_______度； （2）当点E在边上运动时，连结，试判断的形状并说明理由，直接写出此时（用含有t的代数式表示） （3）连结，当是等腰三角形时，直接写出t的值和此时对应的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第五十二中学八上期中测试数学试题 2024.10 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 实数，0，，（相邻两个2之间依次多一个0），其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：是有理数，也是有理数，其余3个是无理数； 故选：C． 2. 若，则的值是（ ） A. 12 B. 12或4 C. 12或 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根与立方根，求代数式的值，根据平方根与立方根的概念求出a与b的值是解题的关键；由可求得，再代入求值即可． 【详解】解：∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值是12或4； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，单项式乘单项式，掌握相关的法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，积的乘方法则，单项式乘单项式的法则，逐项计算后判定即可． 【详解】解：A． ，错误，不符合题意； B． 不能合并，错误，不符合题意； C． ，正确，符合题意； D． ，错误，不符合题意； 故选：C 4. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 若，则 D. 等边三角形的三个内角都相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理． 分别写出四个命题的逆命题，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A选项错误； B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“角对应相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误； C、“若，则”的逆命题为“若，则”，此逆命题为假命题，所以C选项错误； D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以D选项正确． 故选：D. 5. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意． 故选：B． 6. 如果等腰三角形有一个内角为，则其底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：当顶角为70°时，则底角的度数是：(180°-70°)÷2=55°， 当底角为70°时，则底角的度数是70°， 故选C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答． 7. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 19 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：C． 8. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：．比如，则．若，则的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新运算，有理数的乘方，把握新运算的法则并得出规律是解题的关键；计算出，则由此规律可计算，则可计算出结果． 【详解】解：，，……，，则， ∴； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 比较大小：____________ 【答案】> 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较． 直接利用，进而比较得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：> 10. 若是一个完全平方式，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而确定系数m的值． 根据完全平方公式的结构，将与对比，确定首尾项分别对应和求出a和b的值，再通过中间项系数与的关系计算注意完全平方公式有“和”与“差”两种形式，故m有两个值． 【详解】若是一个完全平方式， 根据完全平方公式 式子中对应则对应则， 中间项对应即， 化简得 因此，即m ． 故答案为：． 11. 引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据平方差公式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为2． 【点睛】本题考查了新定义运算及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键. 12. 如图，，点D在的垂直平分线上，点E在的垂直平分线上，则的度数是____________ 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和，掌握这些知识是解题的关键；由线段垂直平分线的性质得，则有，而，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上，点E在的垂直平分线上， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 杯子内的筷子长度为：＝15， 则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）． 故答案为5． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键． 14. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中错误的序号为____________． 【答案】④ 【解析】 【分析】由旋转性质得，则可判定①正确；由旋转性质得，则可判定②正确；由等边三角形的性质得，则的周长为，则可判定③正确；由及知，，则，故可判定④错误． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，； 由旋转性质得，， ∴是等边三角形； 故①正确； ∵， ∴， ∴； 故②正确； ∵是等边三角形； ∴，， ∴的周长为， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误． 综上，错误的是④； 故答案为：④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定，旋转的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. （1）计算： ①； ② （2）分解因式： ①； ② 【答案】（1）①6；②；（2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，多项式除以单项式，因式分解等知识，掌握相关概念与运算法则，正确运算是解题的关键． （1）①分别计算乘方、算术平方根及立方根，再计算除法，最后计算加法即可； ②按照多项式除以单项式的法则进行，最后合并同类项即可； （2）①提取公因式后，再用完全平方公式分解即可； ②提取公因式25后，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1）①； ； ② ． （2）①； ； ② ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，及求代数式的值；正确运算是关键；分别用多项式乘多项式法则及完全平方公式展开，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫格点，分别按下列要求画图．（要求用无刻度直尺画图，不需要写画法） （1）在图1中，画一个顶点都在格点上的正方形，使它的面积是10； （2）在图2中，画一个顶点都在格点上的，使它的三边长分别，并计算边上的高为_______（直接写出计算结果） 【答案】（1） 所画的正方形如下， （2） 所画的如图所示； 高为1 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，算术平方根，利用网格求三角形面积，画正方形与三角形，掌握网格与勾股定理是解题的关键． （1）所画正方形面积为10，则要求其边长为，为此作边长为的正方形即可； （2）按要求画图即可，割补法求出的面积，再利用面积相等即可求解． 【小问1详解】 解：，则其面积为10； 【小问2详解】 解：∵， 而，其中h是边上的高， ∴； 故答案为：1． 18. 如图，AB＝AD．AC＝AE，∠BAD＝∠CAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AC＝9，AD＝12，BE＝15，请你判断△ABE的形状并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）解：结论△ABE是直角三角形． 理由：∵AB＝AD＝12，AE＝AC＝9，BE＝15， ∴AB2+AE2＝122+92＝225，BE2＝225， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴∠BAE＝90°， ∴△BAE是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由边角边关系可证明两三角形全等，（2）由边长可用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形. 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法和勾股定理，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 19. 将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，包装盒的高为15厘米，设包装盒底面的长为x厘米 （1）用x表示包装盒底面的宽； （2）用x表示包装盒的表面积，并化简. （3）如果包装盒底面的长为10厘米，求包装盒的体积. 【答案】（1）包装盒底面宽为(15-x)cm（2）包装盒的面积为(-2x2+30x+450)cm²（3）包装盒的体积为750 cm³ 【解析】 【分析】（1）包装盒底面的长为x厘米，由展开图可知，（长+宽）×2=30，由此即可用x表示包装盒底面的宽；（2）包装盒的表面积为展开侧面大矩形的面积加上上下两个底面的面积，由此解答即可；（3）包装盒底面的长为10cm，由（1）求得包装盒底面的宽为5cm，再由长方体的体积公式计算即可. 【详解】（1）包装盒底面的宽为： =15-x（cm）； （2）包装盒的表面积为：2×[x（15-x）]+15×30=-2x2+30x+450（cm2）； （3）包装盒底面的长为10cm，包装盒的宽为： 15-10=5cm， ∴包装盒的体积为：10×5×15=750（cm3）． 【点睛】本题考查了利用长方体的展开图求长方体的表面积，根据展开图正确找出包装盒底面的长和宽的关系是解题的关键； 20. 沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向130km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD＝50km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】台风中心经过8小时从B移动到D点；游人6小时内撤离才可脱离危险． 【解析】 【分析】首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算； 根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到点D开始受影响的距离，再根据时间＝路程÷速度计算． 【详解】解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD＝＝120km， 则台风中心经过120÷15＝8小时从B移动到D点； 如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵BE＝BD﹣DE＝120﹣30＝90km，∴游人在＝6小时内撤离才可脱离危险． 【点睛】本题是勾股定理的实际应用题，正确理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键. 21. 把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 已知：如图，，试说明． 解：，（已知） ．（_________________） ， _________．（等式性质）即____________． 在与中 ，（____________） ____________．（_________________） ．（同位角相等，两直线平行） 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；；；；全等三角形的对应角相等． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，读懂推理过程是关键；根据推理过程，再结合图形即可完成． 【详解】解：， ．（两直线平行，同位角相等） ， ，（等式性质）即． 在与中， ， ， ．（全等三角形的对应角相等） ．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；；；；全等三角形的对应角相等． 22. 【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为_________； 【类比探究】 （2）若，则的值为_________； 【拓展应用】 （3）如图②，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域（阴影部分）内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【答案】（1）；（2）88；（3）种草区域面积为11． 【解析】 【分析】本题考查了图形面积与完全平方公式，完全平方公式的变形应用． （1）根据图形知，等号左边正方形面积等于右边两个正方形面积和加上两个相同长方形面积，即可完成； （2）由完全平方公式变形即可求解； （3）设，则，，由完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：（1）由图形知，； 故答案为：； （2）∵， ∴； 故答案为：88． （3）设， ∵种花区域的面积为，， ∴， 即； ∵， ∴； ∴． 即种草区域面积为11． 23. 在中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． （1）如图1，若是的角平分线，求证：； （2）如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段和的数量关系是什么，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，把过沿翻折至处，若，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （2） 解：； 理由如下： ∵是的外角平分线，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （3）18 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质定理得，则可证明，从而有，则可得结论成立； （2）由角平分线的性质定理得，证明，从而有，则可得； （3）由（2）知，可证明，则，，由勾股定理求得；设，，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；由对称及知，，由面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； 设，则， 在中，， 即， 解得：； 由对称知，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理，折叠的性质等知识点，主要考查了学生运用性质进行推理的能力，运用这些性质与定理是解题的关键． 24. 如图，在中，，是边的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线运动．设E的运动时间为． （1）_________（用含t的代数式表示），的大小是_______度； （2）当点E在边上运动时，连结，试判断的形状并说明理由，直接写出此时（用含有t的代数式表示） （3）连结，当是等腰三角形时，直接写出t的值和此时对应的长度． 【答案】（1）t，45； （2）是等腰直角三角形， （3）当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识． （1）由题意可得．再根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； （2）证明，则，，得到，则是等腰直角三角形，由勾股定理得到，即可得到； （3）分四种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 由题意：． ∵，是边的高线， ∴． 故答案为：t，45． 【小问2详解】 如图， ∵，是边的高线， ∴，． ∵， ∴． ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 则 【小问3详解】 在中， ∵ ∴， ∵是边的高线， ∴． ①当点E在边上时， 若， ∴， ∴． ∴； ②当点E在边上时， 若， 由（2）可知， ∴， 解得， ∴， ∴； ③当点E在边上时， 若， 由（2）可知， ∴， 解得（此时，点C和点E重合，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ④当点E在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴当点E在线段的延长线上时，只有时，是等腰三角形， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上可知，是等腰三角形时，当时，；当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $