精品解析：广东省清远市阳山县2024-2025学年上学期期中质检九年级数学试卷

2024−2025学年第一学期期中质检 九年级数学试卷 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分． 每小题给出四个选项中只有一个 是正确的．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键． 根据一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程)解决此题． 【详解】解：A．是一元一次方程，故A不符合题意． B．是二元一次方程，故B不符合题意． C．根据一元二次方程的定义，符合一元二次方程的定义，故C符合题意． D．是分式方程，故D不符合题意． 故选：C． 2. “我的梦，中国梦”这句话六个字中，“梦”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式即可求解. 【详解】∵“梦”在这六个字中出现了两次， 故概率为 故选B. 【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式的运用. 3. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质与菱形的性质．注意熟记菱形与矩形的性质区别是关键． 由菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，即可求得答案． 【详解】解：∵菱形具有的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分； 矩形具有的性质：对角线相等，四个角都是直角，对角线互相平分； ∴菱形具有而矩形不具有的性质是：对角线互相垂直． 故选：A． 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般形式为，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为5，一次项系数为，常数项为1； 故选B 5. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，根据直角三角形斜边上中线的性质可直接求解． 【详解】解：由题意得，点是的中点，， ， 即，两点间的距离为， 故选：C． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，先求出△的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 如图，将正方形一个顶点放在数轴上表示1的位置，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径画圆弧，交数轴原点右侧于点．若这个正方形的面积为2，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形面积公式，数轴上点的表示等．根据题意先计算出正方形边长，再用数轴上表示1的位置加上正方形边长即可得到本题答案． 【详解】解：∵这个正方形的面积为2， ∴正方形边长为：， ∵由题意知：点表示的数为， 故选：D． 8. 如图，、是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，点M，N分别是、的中点．若四边形是菱形，则原四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质以及三角形中位线定理；证出、、、分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形为平行四边形，再由平行四边形是菱形得到，即可得到． 【详解】解：点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ∴，，，， 四边形为平行四边形， ∵平行四边形是菱形； ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴、y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的点F处．若，，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形与折叠，，根据矩形和折叠可得，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∵将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的点F处， ∴，， 设，则， 在中， ， ， 解得， ∴， ∵点在轴负半轴， 点F的坐标为， 故选：D． 10. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（ ） A. 1秒 B. 6秒 C. 8秒 D. 1秒或8秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设经过了秒，的面积等于8，用含的代数式表示和，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． 【详解】解：设经过了秒，的面积等于8，则 ， 解得：，， ∵点Q从点C到点A需要的时间是：（秒）， ∴，不合题意，应舍去， 因此，则当的面积等于8时，经过了1秒. 故答案为：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分． ） 11. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 12. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为______． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意画出树状图求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，树状图如图所示， ， ∴两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为：， 故答案为：． 13. 2024年4月初，“胖东来启动帮扶永辉超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的永辉超市于6月19日当天的营业额达到188万元，假设6月21日的营业额是230万元，设营业额每天的平均增长率为x，那么可列出的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设营业额每天的平均增长率为，依题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设营业额每天的平均增长率为，依题意，得： ， 故答案为：． 14. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键． 由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，，然后根据的面积=长方形面积即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，， ，，，，的面积=四边形面积 ， 四边形是长方形， ， ， 故答案为：． 15. 如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为5和12时，则阴影部分的面积为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据菱形的面积的公式，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵菱形是中心对称图形， ∴由图得：阴影的面积等于菱形面积的一半， ∵菱形的两条对角线的长分别为5和12， ∴菱形的面积为， ∴阴影部分的面积为15， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了利用菱形的性质求面积，正确运用菱形面积公式是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解一元二次方程： ； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方，然后直接开平方解方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程，如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为：． 18. 在△ABC中， （1）作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O：（保留作图痕迹，请标明字母） （2）连接BO并延长至D，使得，连接DA、DC，证明四边形ABCD是矩形． 【答案】 (1)如图，点O为所作： (2)证明：∵线段AC的垂直平分线， ， ， ， ， ∴四边形ABCD为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到AC的中点O； （2）利用直角三角形斜边上的中线得到，然后根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形可证明四边形ABCD是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线），也考查了矩形的判定． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，满分27分） 19. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 【答案】（1）， （2）该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人 （3）恰好抽取一男一女的概率为 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，加权平均数． （1）先由组的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，用组人数所占百分比乘以即可得出的值； （2）先求出组人数所占的比例，再乘以22000即可得解； （3）先求出组的女生人数，再画出树状图，即可求出概率． 【小问1详解】 解：本次抽测了名九年级学生， ， 故答案为：300，108； 【小问2详解】 解：E组人数所占的比例为：， （人）， 故该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人； 【小问3详解】 解：∵抽取5名学生有3名男生， ∴E组的女生人数为：（人）， 画出树状图如下： 由树状图可得，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种， 故恰好抽取一男一女的概率为． 20. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆． （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为6.2万元/辆，售价为6.7万元/辆，则该经销商1至3月份共盈利多少万元？ 【答案】（1）该品牌新能源汽车月均增长率为 （2）该经销商1至3月份共盈利273万元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，掌握利用一元二次方程解决增长率问题是解题的关键． （1）设新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据3月份销售216辆列方程，再解方程即可得到答案； （2）利用1至3月份的总销量乘以每辆车的盈利，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设新能源汽车销售量的月均增长率为， 根据题意得， 解得：，（不合题意、舍去） 答：该品牌新能源汽车月均增长率为； 【小问2详解】 解：2月份销售新能源汽车（辆）， （万元） 答：该经销商1至3月份共盈利273万元． 21. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为等腰直角三角形，，为中线， ∴，， ∴平行四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质． （1）由“”可证，由全等，可得； （2）先根据（1）的结论得到四边形是平行四边形，然后等腰直角三角形的性质得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五．解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【探索探究】 （1）若k，h满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的值． 【答案】（1），3；（2）或；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用、运用完全平方公式进行计算、等腰三角形的定义，构成三角形的条件，一元二次方程解的定义，勾股定理等知识， （1）利用配方法得到，据此可得答案； （2）利用完全平方公式把已知条件式变形为，再根据非负数的性质得到，，据此分腰长为4和腰长为5，根据构成三角形的条件和勾股定理求出底边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）利用配方法得到求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，进而可得的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，3； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当腰长为4时，则底边长为5， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 当腰长为5时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或； （3） ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， 是的一个根， ， ， 四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，． （1）操作发现：如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：． （2）深入探究：如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小贤发现，试说明理由． （3）拓展探究：在（2）的条件下，若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，，分别为，边上的中点， ，， 四边形和四边形都是正方形． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 解：同（1）可得． ，， ， ， ， 又，， ， ． ， ． ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明四边形和四边形都是正方形，进而可证明，得到，结合，即可证明； （2）证明，得到，进而可证明，得到，再结合对顶角即可证明； （3）连接，根据题意可得：，，，再根据勾股定理可得：，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ，， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年第一学期期中质检 九年级数学试卷 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分． 每小题给出四个选项中只有一个 是正确的．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. “我的梦，中国梦”这句话六个字中，“梦”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 3. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 5. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 如图，将正方形一个顶点放在数轴上表示1的位置，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径画圆弧，交数轴原点右侧于点．若这个正方形的面积为2，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，点M，N分别是、的中点．若四边形是菱形，则原四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴、y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的点F处．若，，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（ ） A. 1秒 B. 6秒 C. 8秒 D. 1秒或8秒 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分． ） 11. 一元二次方程的解是__． 12. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为______． 13. 2024年4月初，“胖东来启动帮扶永辉超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的永辉超市于6月19日当天的营业额达到188万元，假设6月21日的营业额是230万元，设营业额每天的平均增长率为x，那么可列出的方程是________． 14. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为______． 15. 如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为5和12时，则阴影部分的面积为_____． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解一元二次方程： ； 17. 已知关于x的一元二次方程，如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围． 18. 在△ABC中， （1）作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O：（保留作图痕迹，请标明字母） （2）连接BO并延长至D，使得，连接DA、DC，证明四边形ABCD是矩形． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，满分27分） 19. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 20. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆． （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为6.2万元/辆，售价为6.7万元/辆，则该经销商1至3月份共盈利多少万元？ 21. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 五．解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【探索探究】 （1）若k，h满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的值． 23. 如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，． （1）操作发现：如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：． （2）深入探究：如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小贤发现，试说明理由． （3）拓展探究：在（2）的条件下，若，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $