精品解析：山西省长治市2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

2024-2025学年第一学期阶段评估（三） 九年级数学（华东版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 等于（　　） A. 3 B. C. D. 2. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（ ） A. B. C. D. 5. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割（黄金比例为），如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 7. 如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ） A. B. C. D. 8. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( ) A. B. C. D. 9. 下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ） 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米，， A. B. C. D. 10. 如图，中，D、E分别是、的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式能合并，则________． 12. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设正方形空地原来的边长为，则可列方程为________． 13. 如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面_________． 14. 如图是路灯维护工程车，如图是其工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，米，当，时，则工作篮底部到支撑平台的距离是______米． 15. 如图，在矩形中，，点H在上，且，连接，过点B作于点F，交于点E，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 计算： （1） （2） 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． （1）判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． （2）请选择合适的方法求解此方程． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 19. 阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）若，求的值． 20. 如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） （1）求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； （2）求棚顶边缘点E到地面的距离． 21. 阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 22. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 23. 把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点． （1）如图1，当射线经过点B，即点Q与点B重合时，易证．此时， ； （2）将三角板由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中，问的值是否改变？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段评估（三） 九年级数学（华东版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 等于（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，一般地，如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． 根据算术平方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2. 点关于原点的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【详解】根据中心对称的性质，得点关于原点的对称点的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的情况，根据平方数为非负数得到一元二次方程没有实数根，正确理解平方数的意义是解题的关键 【详解】解：∵， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：D 4. 一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的应用，用长方形的面积除以一边的长即可求得另一边的长，解题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则． 【详解】解：由题意得：， 故选：． 5. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割（黄金比例为），如图，P为 的黄金分割点（），如果 的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知，由此可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：∵P为 的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出x2-2px+p2=7，求出x2-2px+4=11-p2，再根据题意得出-2p=-6，a=11-p2，最后求出答案即可． 【详解】设印刷不清的数字是a， （x-p）2=7， x2-2px+p2=7， ∴x2-2px=7-p2， ∴x2-2px+4=11-p2， ∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式， ∴-2p=-6，a=11-p2， ∴p=3，a=11-32=2， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p=-6是解此题的关键． 7. 如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度 为60cm，桌面平放时高度 为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ∴， ∵， ∴桌沿（点A）处到地面的高度． 故选：A． 8. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意得，， 故选：B． 9. 下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ） 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米，， A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先表示出，，再根据即可列等式，问题随之得解． 【详解】在中，， 即， 在中，， 即， ∵米，，， ∴， 即：， 则有：， 故选：B． 10. 如图，中，D、E分别是、的中点，平分，交 于点F，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键. 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而得到，根据等角对等边可得，然后根据线段中点的定义解答即可. 【详解】 D、E分别是、的中点， 是的中位线， ， ， 平分， ， ， ， D是的中点， ， ． 故选：B 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若与最简二次根式能合并，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．把化为最简根式，然后根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：， 则由题意得，， 解得：， 故答案为：2． 12. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设正方形空地原来的边长为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】剩余空地的长为，宽为，根据长方形面积公式，可得关于的一元二次方程． 【详解】解：根据题意可知剩余空地的长为，宽为，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实际问题与一元二次方程，用含有未知数的代数式将等量关系表示出来是解题的关键． 13. 如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交 于点G，交 于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交 于点G，交 于点F， 由题意得：，，， ， ，分别为 ， 边上的高， ， ， 相似三角形对应边的高之比等于相似比， ，即， 解得， 故答案为：． 14. 如图是路灯维护工程车，如图是其工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，米，当，时，则工作篮底部到支撑平台的距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，过点作于点 ，交于点，分别在和中利用特殊角的三角函数值求出、的长，即可得出工作篮底部到支撑平台的距离．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点 ，交于点， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵米， ∴， ∴， ∴米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 即工作篮底部到支撑平台的距离是米， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点H在 上，且，连接，过点B作于点F，交于点E，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据矩形的性质和直角三角形的性质可知，得，求得，根据相似三角形的判断和性质可得，进而求解即可． 【详解】解：延长，交于M， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先算二次根式乘除和化简二次根式，再合并； （2）先算绝对值和特殊角的三角函数值，化简二次根式，再合并． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． （1）判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． （2）请选择合适的方法求解此方程． 【答案】（1）两位同学均错 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【小问1详解】 两位同学的解题过程都不正确． 【小问2详解】 ， ， 或， 所以，． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，， 为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 【答案】（1） 即为所求； （2） 点F即为所求作． 【解析】 【分析】（1）在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，， ，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作； （2）在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求． 本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，， ， 则， ∵， ∴， 故即为所求； 【小问2详解】 如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F， 则， ∵， ∴， 故点F即为所求作． 19. 阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ，即， ， ． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化的方式是解题关键． （1）利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将代数式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， 20. 如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） （1）求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； （2）求棚顶边缘点E到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可； （2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答． 【小问1详解】 解：过点E作于点G，过点D作于点H， ， ， ， 答：站牌边缘，点D与棚顶边缘点E的水平距离为． 【小问2详解】 解：过点C作于点P，于点K， ， ， ， ， ， ， 答：棚顶边缘点E到地面的距离为． 21. 阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据两角分别对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似证明，据此即可解答； 任务二：（3）根据射影定理得，，，即可证明． 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似； （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ； （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ． 22. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由： 设小长方形的宽为，长，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为， 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，合理将实际问题转化成方程（组）是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，列出方程求解即可； （2）设小长方形的宽为，长，列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长． 【小问2详解】 略 23. 把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线 与射线 相交于点，射线与线段相交于点． （1）如图1，当射线经过点B，即点Q与点B重合时，易证．此时， ； （2）将三角板由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中，问的值是否改变？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用） 【答案】（1）8．（2）的值不会改变．（3））当时，； 当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质等综合应用．此题难度较大，注意数形结合思想与函数思想的应用． （1）可通过证来求解． （2）不会改变，关键是还是证，已知了一组角，关键是证（1）中的，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么，，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变． （3）本题分类两种情况进行讨论：①当时②当时． 【详解】解：（1）（1），， ． ． ， ，斜边中点为， ， ； 故答案为：8； （2）的值不会改变，理由如下： 将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为 在与中， ， ； ∴的值不会改变； （3）当时，如图2，过点D作于M，于N， O是斜边的中点， ， 则， ， ， 当时，如图3，过点D作于G，DG=2 则， ， ， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $