精品解析：江西省上饶市广信中学2025届高三上学期十一月检测数学试题

江西省上饶市广信中学2024-2025学年高三上学期十一月检测数学卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性以及单调性结合函数值，画出函数图象草图即可解不等式. 【详解】根据题意可知，由可得， 再根据函数奇偶性和单调性画出函数图象示意图如下： 对于不等式， 当时，即时，，由图可知； 当时，即时，，由图可知； 因此不等式的解集为. 故选：D 2. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，写出事件包含的情况，得到，A错误；B选项，写出事件包含的情况，结合A选项，得到，B错误；C选项，写出事件包含的情况，故，C错误；D选项，写出事件和包含的情况，得到，D正确. 【详解】A选项，事件包含的情况有， 事件：至少有一颗点数为6包含的情况有 ， 故，事件与事件不为互斥事件，A错误； B选项，事件包含的情况有 ， 故，事件与事件不为互斥事件，B错误； C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有种情况， 故， 事件包含的情况为，故， 故，故事件与事件不相互独立，C错误； D选项，事件包含的情况有 ， ，共18种情况， 故， 事件包含的情况有：， 故， 因为，所以事件与事件相互独立，D正确. 故选：D 3. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的位置特征，不妨令，，又，故，解得，在函数图象上，代入计算，求出，从而求出. 【详解】不妨设（当时，所求得的解析式是等价的），令，解得或， 是与曲线的两个相邻的交点， 且在单调递增区间上，在单调递减区间上，在左边， 不妨设，， 两式相减得， 又，故，所以，解得， 故， 又图象可知，在函数图象上， 故，解得， 所以. 故选：C 4. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出线面角，解直角三角形求得线面角的最小值. 【详解】设是的中点，连接， 由于，所以平面，平面，， 且是直线与平面所成角. 设正方体的边长为，则， 所以. 故选：D 5. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 6. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D. 对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来2倍，则变为原来的2倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质，可得判定A正确；根据决定系数和相关系数的性质，可得判定B正确，C正确；根据方差的性质，可判定D错误. 【详解】对于A中，若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中，所以A正确； 对于B中，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越大，说明模型拟合的效果越好，所以B正确； 对于C中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强， 所以如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强，所以C正确； 对于D，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的4倍，所以D正确. 故选：D． 7. 已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是递减的等差数列 B. 数列的首项为正数 C. 的最大值是20 D. 是中的项 【答案】D 【解析】 【分析】由定义得数列为等差数列，利用已知求出首项和公差，对AB选项进行判断；结合数列中各项的符号求的最大值判断C选项；由通项判断D选项. 【详解】，即，则是公差为的等差数列， 所以是递减的等差数列，A选项正确； 等差数列公差，由，有，解得， 所以数列的首项为正数，B选项正确； ， 时，；时；时，， 所以的最大值为，C选项正确； 由可知，中的项都是偶数，不是中的项，D选项错误. 故选：D. 8. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围． 【详解】， 时，，当时，，递减，时，，递增， 时，，时，，是极小值， 时，，在上是增函数， 时，，时，，且， 作出函数的大致图象，如图， 由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解， 方程有四解， 则方程有两解且， 记， 则，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，解题方法是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，即利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解，这对于把作为一个整体，方程是关于这个整体的二次方程可适用． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 函数的定义域为，若满足，则函数是偶函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 不等式的解集是 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，的单调递减区间为；B选项，举出反例；C选项，利用抽象函数定义域求解方法得到，求出，得到答案；D选项，分式不等式化为一元二次不等式，求出解集. 【详解】A选项，的单调递减区间为，不能用并集符号连接，A错误； B选项，不妨设，满足定义域为，，但不是偶函数，B错误； C选项，由题意得，解得，故的定义域为，C正确； D选项，，等价于且， 解得，不等式的解集是，D正确. 故选：CD 10. 已知两个复数与，下列结论错误的是（ ） A. 若，则与互为共轭复数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】举反例即可求解AB，利用复数的几何意义即可求解CD. 【详解】A选项：若，，与并不互为共轨复数；A错误； B选项：虚数不能比较大小；必如，，，但无法比较大小，B错误， C选项：由于，故C错误； D选项：设在复平面对应的点为，由 可知点的集合是以为圆心，1为半径的圆． 表示点到的距离，所以最大值为,D正确， 故选：ABC 11. 如图，在正方体中，，以为单面正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.已知是直线的方向向量，则下列命题是真命题的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 是平面的一个法向量 C. 若平面，则 D. 若平面，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，求得即可判断；对于B，求得平面的一个法向量即可判断；对于C，由已知可得，求解可判断；对于D，由已知得，求解可判断. 【详解】在正方体中，， 对于A，，所以， 所以不是直线的一个方向向量，故A错误； 对于B，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，故B正确； 对于C，若平面，则，解得，故C正确； 对于D，若平面，则，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个命题： ①三棱锥的体积为；②；③的面积为定值；④四棱锥是正四棱锥. 其中所有正确命题的序号是________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用锥体的体积公式判断①；利用线面垂直的判定定理判断②；利用平行线的传递性及三角形面积公式判断③；利用正棱锥的定义判断④. 【详解】对于①，三棱锥体积为， 因此三棱锥体积的最大值为，①错误； 对于②，连接，则，又平面，平面， 则，而，平面，则平面， 又平面，因此，②正确； 对于③，设，连接，则，， 即和到的距离相等且不变，因此的面积为定值，③正确； 对于④，由，知平面，又为正方形，为其中心， 因此四棱锥正四棱锥，④正确. 故答案为：②③④ 13. 已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A、B两点，若，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】解法1：设，，由线段的定比分点公式得到，再设直线AB方程为，直曲联立得到韦达定理，再解出即可； 解法2：由椭圆的第二定义设直线的倾斜角为，，得到，再由同角的三角函数关系求出即可； 【详解】 解法1：设，， ∵，∴由定比分点坐标公式可得， ∵，设，，，∴， ① 设直线AB方程为， 代入①中消去x，可得， ， ∴，，，， 解得，． 解法2：设直线的倾斜角为，，所以， 由椭圆的第二定义可得， 即，， 又， 所以． 故答案为：. 14. 设函数，若关于x的方程有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数数求函数的单调区间和零点，可得的大致图象，令，由关于x的方程有5个不相等的实数根，则与的图象有5个交点，且关于t的方程有两个解，不妨设为，，，分两种情况讨论：①若，那么②若，，即可求解实数m的取值范围. 【详解】解：令，， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 而， 由零点存在定理可得：存在， 当时， 又，故可大致画出的图象，如下图所示： 令，由关于x的方程有5个不相等的实数根， 则与的图象有5个交点， 且关于t的方程有两个解，不妨设为，， ①若，那么才能满足条件. 由是方程的解，所以， 解得，此时与的图象只有4个交点，不满足条件. ②若，，此时与的图象有5个交点， 关于t的方程要满足，， 则，解得 综上所述，实数m的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知的定义域为，且满足，． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质求解参数即可. （2）先判断单调性，再利用定义法证明即可. 【小问1详解】 因为的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数， 因为在处有定义，所以， 得到，解得，此时， 因为，所以，解得， 故解析式， 【小问2详解】 在上单调递增，理由如下， 任取，且使， 而， ， 因，所以，， 由已知得，所以，故， 故，即， 最后得到在上单调递增. 16. 已知函数，其中. （1）求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 【答案】（1）最小正周期为，最大值为2； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期，整体法得到，从而得到时，取得最大值2； （2）在（1）基础上，由求出，由余弦定理得到，由三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期为， 时，，故当，即时， 取的最大值，最大值为2； 【小问2详解】 ，故， 因为，所以，故，解得， 又，， 由余弦定理得，即，解得，负值舍去， 故. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且.D是AB的中点，点E在线段AC上且，线段CD与线段BE交于点M（如下图） （1）求角A大小： （2）若，求的值； （3）若点G是的重心，求线段GM的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），结合面积公式和余弦定理，化简得到，求出，； （2）由三点共线得到，，从而得到方程组，求出，得到答案； （3）法一：由重心定义得到，进而求出，根据三角形面积公式得到， 两边平方，结合基本不等式求出； 法二：由（2）得，故，M为CD中点，，由三角形面积公式得到，在中，有余弦定理和基本不等式得到，故. 【小问1详解】 因为， 所以. 所以， 所以，故， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 由题意，， 由D、M、C三点共线得，即， 故， 所以， 同理由B、M、E三点共线可得， ∴， ∴ 【小问3详解】 法一；由重心定义得， ∴， ∴， ∴ ，当且仅当时，等号成立， ∴， 当且仅当时取等号. ∴线段GM的最小值为； 法二：由（2）得，， 故，故M为CD中点， 又重心G为CD三等分点，故， ∵， ∴在中，， 当且仅当时取等号，故， ∴. 即线段GM的最小值为. 18. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设是双曲线与圆在第一象限的交点，且为双曲线的焦点，求的面积. （3）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，再将点代入双曲线方程可得解； （2）联立双曲线与圆可得点坐标，进而可得三角形面积； （3）由已知可得直线方程，联立直线与双曲线，结合韦达定理与弦长公式可得解. 【小问1详解】 由已知双曲线的实轴长为，即得， 所以双曲线方程为， 又双曲线过点，则， 解得， 则双曲线方程； 【小问2详解】 联立双曲线与圆的方程， 即，解得， 由点在第一象限，则， 又， 所以； 【小问3详解】 由已知直线，即， 联立直线与双曲线，即， 得，， 且，， 则弦长. 19. 已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. （1）求和的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求的通项公式，由等比数列基本量的运算即可求解的通项公式； （2）用裂项相消法求奇数项的和，由错位相减法求偶数项的和，即可求解. 【小问1详解】 数列的前项和，当时，， 当时，， 因为也适合上式， 所以， 设数列的公比为，因为， 所以，解得， 又，所以； 【小问2详解】 由题意得， 设数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以， 两式相减得， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市广信中学2024-2025学年高三上学期十一月检测数学卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 3. 已知函数，如图，是直线与曲线两个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D. 对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来2倍，则变为原来的2倍 7. 已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是递减等差数列 B. 数列的首项为正数 C. 的最大值是20 D. 是中的项 8. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 函数的定义域为，若满足，则函数是偶函数 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 不等式的解集是 10. 已知两个复数与，下列结论错误的是（ ） A. 若，则与互为共轭复数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 11. 如图，在正方体中，，以为单面正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.已知是直线的方向向量，则下列命题是真命题的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 是平面的一个法向量 C. 若平面，则 D. 若平面，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个命题： ①三棱锥的体积为；②；③的面积为定值；④四棱锥是正四棱锥. 其中所有正确命题的序号是________. 13. 已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A、B两点，若，则__________________． 14. 设函数，若关于x的方程有5个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知的定义域为，且满足，． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明． 16. 已知函数，其中. （1）求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且.D是AB的中点，点E在线段AC上且，线段CD与线段BE交于点M（如下图） （1）求角A的大小： （2）若，求的值； （3）若点G是的重心，求线段GM的最小值. 18. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设是双曲线与圆在第一象限的交点，且为双曲线的焦点，求的面积. （3）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 19. 已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. （1）求和通项公式； （2）设，数列前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $