精品解析：四川省广元市川师大万达中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

四川省广元市川师大万达中学高一年级2024-2025学年度期中考试 数学试题 一.单项选择题（每题5分共40分，在每个小题的四个选项中，只有一个正确的选项） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知“命题使得成立”为真命题，则实数满足（ ） A. [0，1) B. (-∞，1) C. [1，+∞) D. (-∞，1] 3. 已知函数（），则该函数的（ ）． A. 最小值为3 B. 最大值为3 C. 没有最小值 D. 最大值为 4. 已知集合，则= A. B. C. D. 5. 若不等式 的解集为，则不等式的解集是 A. B. C. D. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C D. 二.多选选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. D. 函数的值域为 11. 已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（ ） A. 当时，恒有 B. 若当时，的最小值为，则m的取值范围为 C. 不存在实数k，使函数有5个不相等的零点 D. 若关于x方程所有实数根之和为0，则 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题：，的否定：______． 13. 已知在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围__________. 14. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 四.解答题（本题有5个题目，共77分解答题应该写出必要文字说明，证明过程或者演算过程） 15. 设全集为，集合，． （1）分别求； （2）已知，若，求实数的取值构成的集合． 16 已知a＞0，b＞0，a+b＝3． （1）求的最小值； （2）证明： 17. 已知函数是幂函数. (1)求函数的解析式; (2)判断函数的奇偶性,并证明你的结论; (3)判断函数在上的单调性,并证明你的结论. 18. 已知函数. （1）求，的值； （2）求证：定值； （3）求的值． 19. 定义在上函数对任意，都有（为常数）． （1）当时，证明为奇函数； （2）设，且是上的增函数，已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省广元市川师大万达中学高一年级2024-2025学年度期中考试 数学试题 一.单项选择题（每题5分共40分，在每个小题的四个选项中，只有一个正确的选项） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，不等式，解得或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选A． 考点：充分不必要条件的判定． 2. 已知“命题使得成立”为真命题，则实数满足（ ） A. [0，1) B. (-∞，1) C. [1，+∞) D. (-∞，1] 【答案】B 【解析】 【分析】讨论=0或≠0，当=0时，解得，成立；当≠0时，只需或即可. 【详解】若=0时，不等式等价为，解得，结论成立. 当≠0时，令，要使成立， 则满足或，解得或，综上， 故选：B. 【点睛】本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 3. 已知函数（），则该函数的（ ）． A. 最小值为3 B. 最大值为3 C. 没有最小值 D. 最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】先由基本不等式得到，再转化得到（），最后判断选项即可. 【详解】解：因为，所以，， 由基本不等式：， 当且仅当即时，取等号. 所以，即，所以（）， 当且仅当即时，取等号. 故该函数的最大值为：，无最小值. 故选：CD 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题. 4. 已知集合，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，，则 ．故选C． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 5. 若不等式 的解集为，则不等式的解集是 A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】设y＝ax2+bx+c，ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），得到开口向下，﹣2和3为函数与x轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a与b、c的关系，化简不等式cx2+bx+a＞0，求出解集即可． 【详解】∵不等式ax2+bx+c＜0 的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）， ∴，即， ∴不等式cx2+bx+a＞0变形得：x2x+1＜0，即﹣6x2﹣x+1＜0， 整理得：6x2+x﹣1＞0，即（3x﹣1）（2x+1）＞0， 解得：x或x， 则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）． 故选D． 【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域的定义求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以定义域为， 故选:C. 7. 下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论． 【详解】四个选项中函数的定义域都是实数集，AC选项中函数的定义域是， D选项迥函数定义域是，定义域不相同，不是同一函数， B选项定义域是，根据绝对值的定义知对应法则也相同，是同一函数． 故选：B． 8. 设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案. 【详解】 是定义在上奇函数,且当时, 当,有, 即 在上是单调递增函数,且满足 不等式在恒成立, ,恒成立 对恒成立 解得: 则实数的取值范围是:. 故选:A. 【点睛】本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 二.多选选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 的最大值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即最小值是2，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值是1，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值是，故D正确， 故选:ABD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. D. 函数的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义即可判断A；求出即可判断B；结合B选项即可判断C；分离常数，再结合反比例函数的性质即可判断D. 【详解】对于A，由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又，所以函数是偶函数，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由B选项可得， 所以，故C正确； 对于D，， 由且，得且， 所以，所以， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（ ） A. 当时，恒有 B. 若当时，的最小值为，则m的取值范围为 C. 不存在实数k，使函数有5个不相等的零点 D. 若关于x的方程所有实数根之和为0，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D． 【详解】当时，且为R上的奇函数， 作函数f（x）的图象如图： 对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确； 对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确； 对于C，联立，得， △＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此时,可知最多有3个不同的交点， ∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确； 对于D，由 可得或， ∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0， ∴函数的根与根关于原点对称，则， 但x＞0时，方程有2个根，分别为，两根之和为， 若关于x的两个方程与所有根的和为0， 若的根为，此时，此时仅有一解，符合题意 ，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题. 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题：，的否定：______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是特称命题，可得答案. 【详解】因为特称命题“”的否定是全称命题“ ”， 故，的否定：，. 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，要求掌握特称命题的否定是全称命题，属于基础题. 13. 已知在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域和单调性结合不等式可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由于函数在定义域上是减函数，且， 可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与定义域求解函数不等式，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由可知为单调递增函数,故利用分段函数的单调性需要满足的关系式进行列式求解. 【详解】由可知为单调递增函数,故中 有与均为增函数,且在处的值小于.可得 故答案为 【点睛】分段函数单调递增,需满足在各自区间上单调递增,且在分段处的函数值也满足单调性. 四.解答题（本题有5个题目，共77分解答题应该写出必要文字说明，证明过程或者演算过程） 15. 设全集为，集合，． （1）分别求； （2）已知，若，求实数的取值构成的集合． 【答案】（1），或或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可求解， （2）由集合间的关系，列不等式即可求解. 【小问1详解】 因为集合，． 所以 又或， 或或 【小问2详解】 因为， 当集合为空集时，由于恒成立，故不成立； 当集合不为空集时，，解得：， 故实数的取值构成的集合是：． 16. 已知a＞0，b＞0，a+b＝3． （1）求的最小值； （2）证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由所给等式得，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用即可逐步证明. 【详解】（1），，且， ，当且仅当即时等号成立， 的最小值为. （2）因为a＞0，b＞0，所以要证，需证， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题. 17. 已知函数是幂函数. (1)求函数的解析式; (2)判断函数的奇偶性,并证明你的结论; (3)判断函数在上的单调性,并证明你的结论. 【答案】(1);(2)函数为偶函数;(3)在上单调递减,证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据幂函数定义即可得的值，可得函数的解析式； （2）利用奇偶性定义即可知函数的奇偶性； （3）利用函数单调性定义即可证明函数在上的单调性. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 则， 解得， 故． （2）函数为偶函数． 证明如下：由（1）知，其定义域为关于原点对称， 因为对于定义域内的任意，都有 ， 故函数为偶函数． （3）在上单调递减． 证明如下：上任取，，不妨设， 则 ， 且， ， 在上单调递减. 【点睛】本题主要考查的是幂函数，函数的奇偶性、单调性，主要是它们定义的应用，考查学生的计算能力，是基础题. 18. 已知函数. （1）求，的值； （2）求证：是定值； （3）求的值． 【答案】（1）1；1；（2）证明见解析；（3）2011. 【解析】 【分析】 （1）由函数的解析式，代入自变量即可求解. （2）根据解析式化简整理即可证明. （3）由(2)知，即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， ; (2)证明：∵，∴，∴， (3)由(2)知， ∴ ∴＝2011. 【点睛】关键点点睛：函数值得求和，分组求和法，关键求出，借助，考查了计算运算能力，属于基础题. 19. 定义在上的函数对任意，都有（为常数）． （1）当时，证明为奇函数； （2）设，且是上的增函数，已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由时，函数对任意，都有，可令，求出，再令，得到函数的奇偶性； （2）先令，得到，再由函数的单调性得到恒成立，再分和求得的范围，得到答案. 【详解】（1）根据题意，函数满足， 当时，令，由， 得，即， 令，，则， 又，则有，即对任意成立， ∴是奇函数． （2）根据题意，∵，∴， ∴． 又是上的增函数，∴，即， 分2种情况讨论： ①当时，不等式显然成立；此时不等式的解集为； ②当时，则有，解得， 综上可得，实数的取值范围是． 【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性的判断，抽象函数单调性的应用，二次不等式恒成立的问题，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$