精品解析：广东江门市鹤山市昆仑学校2025-2026学年第二学期期中考试数学试题

鹤山市昆仑学校2025-2026学年度第二学期期中考 高二级数学 2026.5 命题人：黄海霞 审题人：蒋兴 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设等比数列的前项和为．若，，则（ ） A. 18 B. 21 C. 63 D. 64 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 17 4. 在曲线上的点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 24 6. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 0 B. 12 C. 16 D. 96 7. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 252 B. 210 C. 126 D. 120 8. 当，满足，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若，则 D. 曲线的一条切线的倾斜角的取值范围是 10. 在等差数列中，，，前n项和为，则正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生6人，女生4人，则下列说法正确的是（ ） A. 若从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，则有90种不同的选法 B. 若从中选4人参加数学建模比赛，其中男、女生各2人，则有90种不同的选法 C. 若从中选5人参加数学建模比赛，其中学生甲一定要参加，则有252种不同的选法 D. 若从中选5人参加数学建模比赛，其中至少一名女生，共有246种不同的选法 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 由0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成__________个无重复数字的四位数. 13. 的展开式中的系数为，则的值为___________． 14. 已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________. 四、解答题（本大题共5题，第15题13分，第16～17题每题15分，第18～19题每题17分，共77分） 15. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， （1）求； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数最大的项． 16. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数. （1）一个唱歌节目开头，另一个压台； （2）两个唱歌节目不相邻； （3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 17. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）求函数的零点个数． 19. 在数列中，设，， （1）若数列是公比为q的等比数列，求证：，，成等比数列，并求这个数列的公比． （2）推广上述结论，提出新的猜想，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山市昆仑学校2025-2026学年度第二学期期中考 高二级数学 2026.5 命题人：黄海霞 审题人：蒋兴 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设等比数列的前项和为．若，，则（ ） A. 18 B. 21 C. 63 D. 64 【答案】B 【解析】 【详解】当，， 又，. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中，， 则. 4. 在曲线上的点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 所以过点的切线方程为：，即. 5. 小夏计划某日从武汉到兰州游玩，当天的交通工具中，火车共有12个车次，飞机共有2个航班，则乘坐方式的种数共有（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，从武汉到兰州可以乘火车（12种）或飞机（2种），总计种方式． 故选：B 6. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 0 B. 12 C. 16 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】求导后利用极值点处导数为零求出参数，再验证后计算可得. 【详解】因为， 由题意，所以或， 经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此. 故选：A. 7. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 252 B. 210 C. 126 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理可得的展开式中项的系数为，再结合组合数的性质即可得解. 【详解】的展开式的通项为， 则的展开式中项的系数为， 所以的展开式中项的系数为 ． 故选：B． 8. 当，满足，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和取值范围的分析，得到在上恒成立.再分离参数得，，设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由. 设，， 则. 又因为，， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当时，，与1的大小关系不确定，但是要求实数的最小值，所以只要考虑，此时， 所以. 因为，所以，. 设，，则，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以. 所以. 即实数的最小值为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 已知函数，若，则 C. 若，则 D. 曲线的一条切线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：是常数，常函数的导数为0，故A错误。 选项B：由复合函数求导法则得，令，即，故B正确。 选项C：对求导得，故C正确。 选项D：求导得，即切线斜率，结合倾斜角， 得，故D错误。 10. 在等差数列中，，，前n项和为，则正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式求出首项和公差，从而逐项判断. 【详解】根据题意，等差数列中，，， 可得，解得， 由于，A正确； ，B错误； ， 所以，C正确； ，D正确. 11. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生6人，女生4人，则下列说法正确的是（ ） A. 若从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，则有90种不同的选法 B. 若从中选4人参加数学建模比赛，其中男、女生各2人，则有90种不同的选法 C. 若从中选5人参加数学建模比赛，其中学生甲一定要参加，则有252种不同的选法 D. 若从中选5人参加数学建模比赛，其中至少一名女生，共有246种不同的选法 【答案】ABD 【解析】 【详解】总人数有人. A：有序选取，，A正确. B：男生选2人、女生选2人，，B正确. C：甲必选，剩余9人选4人，，C错误. D：个人任意选人有种，人全选男生有种，所以至少一名女生的选择法有种，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 由0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成__________个无重复数字的四位数. 【答案】 300 【解析】 【分析】利用分步计数原理，先确定不能为0的千位数字，再排列剩余三位的无重复数字，即可计算总个数. 【详解】要组成无重复数字的四位数，按数位分步计算： 1. 确定千位：四位数千位不能为0，因此从1，2，3，4，5共5个数字中选1个，有种选法； 2. 确定百位、十位、个位：从选择千位后剩余的5个数字（包含0）中任选3个做无重复排列，有种排法； 根据分步乘法计数原理，符合要求的四位数总个数为. 13. 的展开式中的系数为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式通项公式直接构造方程求解即可. 【详解】展开式通项为：， 令，则；令，则； 展开式中的系数为，解得：. 故答案为：. 14. 已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数是单调递增函数，得恒成立，分离参数，得.通过求的最大值，求得的取值范围，从而得到的最小值. 【详解】函数的定义域为. . 因为函数是单调递增函数， 所以即恒成立， 由得，当且仅当即时等号成立. 所以，所以. 故的最小值是. 四、解答题（本大题共5题，第15题13分，第16～17题每题15分，第18～19题每题17分，共77分） 15. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， （1）求； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【小问1详解】 因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. 【小问2详解】 由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. 【小问3详解】 由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 16. 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数. （1）一个唱歌节目开头，另一个压台； （2）两个唱歌节目不相邻； （3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 【答案】(1)；（2）；（3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论；（2）先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论． 试题解析：（1）种排法.（2）种排法.（3）种排法. 17. 已知数列的首项，前项和为，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【小问1详解】 由，① 当时，，由，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 18. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）求函数的零点个数． 【答案】（1）；（2）；（3）个． 【解析】 【分析】 （1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值； （3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数. 【详解】（1）因为，所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线为； （2）因为，令，得或． 列表如下： a 0 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以，当时，函数有极小值； （3）因为，， 所以由（2）得，当时，，又． 由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为． 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19. 在数列中，设，， （1）若数列是公比为q的等比数列，求证：，，成等比数列，并求这个数列的公比． （2）推广上述结论，提出新的猜想，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析，公比为 （2）猜想：在公比为的等比数列中，设，，，，则当时成等比数列，公比为，；当时，仅在为奇数时上述结论成立.证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，把分别用表示，进而通过间的关系证明结论； （2）利用从特殊到一般的归纳推广，把（1）中3项一组推广到项一组，把3组推广到组，猜想公比为，进而用相同思路证明结论． 【小问1详解】 已知是公比为q的等比数列，则， 则， ， ， ， ， ，，成等比数列，公比为． 【小问2详解】 猜想：在公比为（）的等比数列中， 设，，，， 则成等比数列，公比为，， 数列是公比为q的等比数列，则， ， ， ， 一般地，， 当时，， 当时，， 当时，若时，， 此时为不是等比数列； 若时，，成立； 时，，此时， 成等比数列，公比为，猜想得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $