精品解析：广西壮族自治区柳州市柳城县中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

柳城县中学23级高二上学期期中数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的一般方程为，则半径是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得出圆的半径. 【详解】因为圆的一般方程为 所以圆的标准方程为， 所以圆的半径为3, 故选：B 2. 等差数列中，若，，则公差（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由，得 故选：A 3. 中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可. 【详解】由题设知在等差数列中，，. 所以，，解得， 故选：A 4. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当时，根据斜率的乘积等于可得；当时，根据求出，再根据必要不充分条件的概念可得答案. 【详解】当时，，，，所以； 当时，可得，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的几何意义进行求解. 【详解】因为，，， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：A. 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 8. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 【答案】B 【解析】 【分析】求得动圆的圆心所满足的几何条件，由双曲线的定义可求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为， 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心为，半径 由题意可得，消去可得， 所以动圆的圆心是双曲线靠近的一支曲线. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量 C. 若是直线l的方向向量，则 也是直线l的方向向量 D. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,关于平面对称的点轴的坐标不改变,轴的坐标相反,据此求解;对于B,直线的方向向量和平面的法向量不能为零向量;对于C,当时,,不能作为直线l的方向向量;对于D,在轴所在直线上且垂直于坐标平面,据此判断即可. 【详解】对于A,关于平面对称的点轴的坐标不改变,轴的坐标相反， 所以点关于平面对称的点的坐标是,故A正确； 对于B,直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量,故B正确； 对于C,当时,,不能作为直线l的方向向量,故C错误； 对于D,在轴所在直线上且垂直于坐标平面, 所以是坐标平面的一个法向量,故D正确. 故选：ABD. 10. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】易得，，再由，判断. 【详解】解：因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，即， ，即， 故选：AC 11. 如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（ ） A. 当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B. 当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C. 当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D. 当时，直线l与椭圆C有公共点 【答案】ABCD 【解析】 【分析】将直线与椭圆的公共点的个数问题，转化为联立方程组成方程组的解的个数问题，消元后得到一元二次方程，结合，，分别判断即可. 【详解】对于A，由方程组消去y，得①， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．故A正确； 对于B，由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线与椭圆有且只有一个公共点．故B正确； 对于C，由，得，或．此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．故C正确； 对于D，由选项A与选项B可知，D正确. 故选：ABCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式即得． 【详解】因为，所以数列是等差数列，公差，又， 所以． 故答案为：． 13. 如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，______. 【答案】4 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程并作出，过M作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答. 【详解】抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图： 则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，， 由抛物线定义知，，而， 则，解得， 所以. 故答案为：4. 14. 如图，三棱锥中， ，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点，利用三角形中位线平移得到，把异面直线所成角转化为内角；先由等腰三角形性质算出三条线段长度，再用余弦定理求出夹角余弦． 【详解】如图，连结，取中点，连结， 则可知为异面直线所成角（或其补角）， 易得，， ， 所以， 所以异面直线所成角的余弦值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由数列中与的关系即可求解； （2）首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当，，解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 16. （1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ （2）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状. 【答案】（1）点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,理由如下： 如图,连接. AI 因为为的垂直平分线,所以, 所以为定值, 又因为点在圆外,所以, 根据双曲线定义,点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线. （2）当时,表示轴;当时,表示轴; 时,方程表示以原点为圆心的单位圆; 或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆. 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线,得,进而为定值,根据双曲线的定义即可判断； （2）根据题意,分类讨论求解即可得答案. 【详解】（1）点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,理由略； （2）对于方程, 当时,方程为,即,表示轴; 当时,方程为,即,表示轴; 当且时,方程为, 若,即时,方程为圆,表示以原点为圆心的单位圆; 若,即或时,方程表示双曲线; 若且时,即且时,方程表示椭圆; 综上,当时,表示轴;当时,表示轴; 时,方程表示以原点为圆心的单位圆; 或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆; 17. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1） 直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【解析】 【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 18. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳城县中学23级高二上学期期中数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的一般方程为，则半径是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 2. 等差数列中，若，，则公差（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量 C. 若是直线l的方向向量，则 也是直线l的方向向量 D. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 10. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（ ） A. 当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B. 当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C. 当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D. 当时，直线l与椭圆C有公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，，则_________. 13. 如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，______. 14. 如图，三棱锥中， ，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 16. （1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ （2）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状. 17. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 18. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $