精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024－2025学年度上学期阶段质量检测八年卷 一、单选题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的函数关系表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 若，则 B. 在常规情况下，将水加热到时水会沸腾 C. 投掷一枚硬币，落地后正面朝上 D. 长为、、的三条线段能围成一个三角形 6. 下列叙述中，正确的是 A. 直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 B. 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C. 在中，，， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 D. 在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 7. 若关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（ ） A. B. C. D. 2 8. 在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象经过（a，m+2），（b，m），则代数式的值是（　　） A. B. ﹣ C. 2 D. ﹣3 二、填空题 9. 计算：＝_____________． 10. 若、是一元二次方程的两个实数根，则与的积________． 11. 如图，在中，中线相交于点，如果的面积是4，那么四边形的面积是_________ 12. 一辆新车购买价为58万元，前三年每年的年折旧率均为x，如果该车在购买满两年后的价值为37.12万元，求年折旧率x的值．那么可以列出关于x的方程是______． 13. 已知AB∥y轴，点A的坐标为(3，2)，且AB＝3，则点B的坐标为_______． 14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C．若四边形ABCD的面积等于3，则k的值为　 ___． 三、解答题 15. 用合适的方法解方程： （1）（2t+3）2＝3（2t+3） （2）（2x﹣1）2＝9（x﹣2）2 （3）2x2＝5x﹣1 （4）x2+4x﹣5＝0 16. 暑假期间，小明和小张计划外出游玩，准备通过抽卡片的方式每人从下面四个景点A：石阡佛顶山；B：莲华古风景区；C：楼上古寨；D：贵州三昧禅院中各随机选择一个． （1）小明选择去石阡佛顶山的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小张去同一景区的概率． 17. 某校兴趣小组同学为测量鼓楼高度，在鼓楼正对面C处，用高度为1米的测角仪观测鼓楼的最高处A的仰角为再向前走了1米到E处，观测最高处A的仰角为请你根据以上信息，求出鼓楼的高度．（结果保留一位小数） 参考数据： 18. 图①、图②均是由48个小正方形组成的的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形，如图①，即为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中作，使是格点三角形且与相似． （2）在图②中作，使与相等，要求点F为格点且不与点C重合． 19. 为转变教育管理方式并为学校教育教学提供参考，某区240名学生参加2019年国家义务教育质量检测，在测试中随机抽取若干名学生的音乐成绩进行分析： 某区音乐成绩分布表 成绩 频数 频率 合计 （1）频数分布表中：，，，. （2）根据题意，补全频数分布直方图； （3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，估计该区优秀学生大约有人. 20. 如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点； （2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线与轴交于点，与轴交于点，与交于点． （1）求出直线的函数表达式； （2）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①当点在点的上方，且满足时，请求出点与点的坐标； ②当点在点的下方时，轴上是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论． （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程． （3）如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________． 23. 类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　 　 ； （2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）． （3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 24. 如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． （1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； （2）这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期阶段质量检测八年卷 一、单选题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此判断即可． 【详解】A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟记二次项，一次项，常数项的概念，并加以应用．根据一元二次方程 ()中，为一次项系数，即可得出结果． 【详解】解：一元二次方程中，二次项为，一次项为，常数项为， ∴一次项系数是； 故选：D． 3. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质解答即可． 【详解】解：由，可得：2y＝5（x﹣2y）， 解得：5x＝12y， 所以的值为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键． 4. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的函数关系表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律，“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 得到的抛物线的函数关系表达式为即， 故选：C． 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 若，则 B. 在常规情况下，将水加热到时水会沸腾 C. 投掷一枚硬币，落地后正面朝上 D. 长为、、的三条线段能围成一个三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查必然事件的定义，掌握必然事件的定义是解题的关键．根据必然事件的定义求解即可 【详解】解：因为，当时，，所以A．若，则是不确定事件； 因为在常规情况下，水的沸点是，所以B．在常规情况下，将水加热到时水会沸腾，是必然事件； 因为投掷一枚硬币，会出现正面朝上或反面朝上，所以C．投掷一枚硬币，落地后正面朝上，是不确定事件； 因为，所以D．长为、、的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件，故选B． 6. 下列叙述中，正确的是 A. 直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 B. 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C. 在中，，， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 D. 在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理解答，并且注意直角三角形的三边及对应角的关系． 【详解】解：A、因为直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，故错误； B、命题为勾股定理的逆定理，故正确； C、因为△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠C=90°，故错误； D、因为△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90°，则c2+a2=b2，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用． 7. 若关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程得，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8. 在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象经过（a，m+2），（b，m），则代数式的值是（　　） A. B. ﹣ C. 2 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，从而得到，进一步得到a﹣b＝﹣2ab，代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过两点 ∴ ∴， ∴＝2， ∴a﹣b＝﹣2ab， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． 二、填空题 9. 计算：＝_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 10. 若、是一元二次方程的两个实数根，则与的积________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，方程的两个根为、，则，． 11. 如图，在中，中线相交于点，如果的面积是4，那么四边形的面积是_________ 【答案】8 【解析】 【分析】如图所示，连接DE，先推出DE是△ABC的中位线，得到，DE∥AB，即可证明△ABO∽△DEO，△CDE∽△CBA，得到，从而推出，即可得到，再由，即可得到，由，得到，则． 【详解】解：如图所示，连接DE， ∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线， ∴D、E分别是BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，DE∥AB， ∴△ABO∽△DEO，△CDE∽△CBA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 12. 一辆新车购买价为58万元，前三年每年的年折旧率均为x，如果该车在购买满两年后的价值为37.12万元，求年折旧率x的值．那么可以列出关于x的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，前三年每年的年折旧率均为x，则第二年的折旧价为，第三年的折旧价为，据此即可列出方程． 【详解】一辆新车购买价为58万元，前三年每年的年折旧率均为x， 第二年的折旧价为，第三年的折旧价为， 如果该车在购买满两年后的价值为37.12万元，则， 那么可以列出关于x的方程是. 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． 13. 已知AB∥y轴，点A的坐标为(3，2)，且AB＝3，则点B的坐标为_______． 【答案】（3，-1）或（3，5） 【解析】 【分析】把A点向上（或向下）平移3个单位得到B点． 【详解】解：∵AB∥y轴， ∴点B的横坐标与A点的横坐标相同， ∵AB=3， ∴把A点向上（或向下）平移3个单位得到B点， 而点A的坐标为（3，2）， ∴B点坐标为（3，-1）或（3，5）． 故答案为：（3，-1）或（3，5）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质：与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同． 14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C．若四边形ABCD的面积等于3，则k的值为　 ___． 【答案】5 【解析】 【分析】设A（a，b），则ab=2，根据题意可证得四边形ABCD是矩形，且B（，b），根据坐标与图形性质和矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：设A（a，b）， ∵点A在双曲线上， ∴ab=2， ∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C， ∴四边形ABCD是矩形，且B（，b）， ∴AB= ，AD=b， ∵四边形ABCD的面积等于3， ∴AB·AD=， ∴k﹣ab=3，又ab=2， ∴k=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、矩形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解决问题． 三、解答题 15. 用合适的方法解方程： （1）（2t+3）2＝3（2t+3） （2）（2x﹣1）2＝9（x﹣2）2 （3）2x2＝5x﹣1 （4）x2+4x﹣5＝0 【答案】（1）t1＝﹣，t2＝0；（2）x1＝，x2＝5；（3）；（4）x1＝1，x2＝﹣5 【解析】 【分析】（1）等号的左右两边都有（2t+3），可移项然后用因式分解法解此方程. （2）等号的左右两边都有平方，可移项然后用因式分解法解此方程. （3）此题可采用公式法解，先化成一般形式，代入公式即可. （4）此题可采用十字相乘法或者是配方法即可. 【详解】（1）（2t+3）2＝3（2t+3） （2t+3）2﹣3（2t+3）＝0 （2t+3）（2t+3﹣3）＝0 ∴2t+3＝0或2t＝0 ∴t1＝﹣，t2＝0． （2）（2x﹣1）2＝9（x﹣2）2 （2x﹣1）2﹣9（x﹣2）2＝0 （2x﹣1+3x﹣6）（2x﹣1﹣3x+6）＝0 5x﹣7＝0或﹣x+5＝0 ∴x1＝，x2＝5． （3）2x2＝5x﹣1 2x2﹣5x+1＝0 x＝ ∴x1＝，x2＝． （4）x2+4x﹣5＝0 （x﹣1）（x+5）＝0 x1＝1，x2＝﹣5． 或者x2+4x+4＝9 （x+2）2＝±3 ∴x+2＝3或x+2＝﹣3 ∴x1＝1，x2＝﹣5． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解决此题的关键. 16. 暑假期间，小明和小张计划外出游玩，准备通过抽卡片的方式每人从下面四个景点A：石阡佛顶山；B：莲华古风景区；C：楼上古寨；D：贵州三昧禅院中各随机选择一个． （1）小明选择去石阡佛顶山的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小张去同一景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明选择去石阡佛顶山的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 画出树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中小明和小张去同一景区的情况有4种， ∴． 17. 某校兴趣小组同学为测量鼓楼高度，在鼓楼正对面C处，用高度为1米的测角仪观测鼓楼的最高处A的仰角为再向前走了1米到E处，观测最高处A的仰角为请你根据以上信息，求出鼓楼的高度．（结果保留一位小数） 参考数据： 【答案】14.3米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作，进而求出，然后在中，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点F作于点G， 根据题意得：点D、F、G三点共线，，，，. ∵，， ∴中，， ∴． 设，则，， 在中，， 解得：， ∴． 答：鼓楼的高度AB约为14.3米． 18. 图①、图②均是由48个小正方形组成的的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形，如图①，即为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中作，使是格点三角形且与相似． （2）在图②中作，使与相等，要求点F为格点且不与点C重合． 【答案】（1） 如图1中，即为所求； （2） 如图2中，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角的性质，取格点D，E，即可求解； （2）取格点F，使，可证明点B，A，C，F四点共圆，即可求解． 【小问1详解】 理由：根据题意得：，， ∴， ∴； 【小问2详解】 理由： 由（1）得：， ∴， ∴， 连接， 根据题意得： ，， ∴， ∴， ∴点B，A，C，F四点共圆， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图的设计与应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质，圆周角定理是解题的关键． 19. 为转变教育管理方式并为学校教育教学提供参考，某区240名学生参加2019年国家义务教育质量检测，在测试中随机抽取若干名学生的音乐成绩进行分析： 某区音乐成绩分布表 成绩 频数 频率 合计 （1）频数分布表中：，，，. （2）根据题意，补全频数分布直方图； （3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，估计该区优秀学生大约有人. 【答案】（1） ，，，;（2）如图所示见解析；（3）72. 【解析】 【分析】（1）根据的频数和频率求出抽取学生的总人数d，然后即可求出a，c，d； （2）根据（1）中所求数据补全统计图即可； （3）用该区学生总人数乘以90及90分以上所占百分比即可得出. 【详解】（1）d=3÷0.1=30（人）， b=1-0.1-0.4-0.3=0.2， ， . （2）如图所示: （3）估计该区优秀学生大约有240×0.3=72（人）. 【点睛】本题考查了频率分布表、频数分布直方图以及样本估计总体，能够根据图中数据获取有用信息是解题关键. 20. 如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点； （2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高． 【答案】解：（1）如图1，点P就是所求作的点． （2）如图2，CD为AB边上的高． 【解析】 【详解】试题分析：（1）图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图，作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”，设AC与圆的交点为E, 连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D, 连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点． （2）由（1），我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，直线与轴交于点，与轴交于点，与交于点． （1）求出直线的函数表达式； （2）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点、， ①当点在点的上方，且满足时，请求出点与点的坐标； ②当点在点的下方时，轴上是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，；②存在点，使是以为腰的等腰直角三角形，点坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图形及性质，熟练掌握一次函数的图形和性质是解题的关键． （1）求出点的坐标再根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）①，，根据列出关于的一元一次方程求解即可； ②当时，，此时，当时，，此时，分这两种情况分别计算即可． 【小问1详解】 解：将点代入， ， ， 设直线的解析式为， 直线过点，， ， 解得， 直线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①设，， 点在点的上方， ， ， ， 解得， ，； ②存在点，使是以为腰的等腰直角三角形，理由如下： 点在点的下方时， ， 当时，，此时， ， ， ； 当时，，此时， ， ， ； 综上所述：点坐标为或． 22. 小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论． （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程． （3）如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________． 【答案】（1） 如图，连接，， ∵是劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （2） 证明：如图，在上截取＝，连接、、、，    ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵＝， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得． （2）如图，在上截取＝，连接、、、，由是的中点，得，进而证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的三线合一即可得证； （3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴由（）得， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为∶． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理及其推论，等边三角形得性质，勾股定理，弧、弦、弦心距之间得关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，掌握并熟练运用等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 23. 类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：　 　 ； （2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含a，b的代数式表示）． （3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） ①证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 【解析】 【分析】（1）证，得，，利用线段的和差即可得解； （2）证明，得，，从而即可得解； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证； ②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ①略 ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 24. 如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． （1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； （2）这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 【答案】（1）； （2）这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求扇形的面积． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）令，求出图象与轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出的值； 【小问1详解】 解：以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线顶点， 设抛物线对应的函数解析式为， 由抛物线经过点，可得， 解得， ； 【小问2详解】 解：令，则 解得，， ， 喷灌面积， 答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $