精品解析：广东省佛山市南海区大沥镇2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省佛山市南海区大沥镇九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( ) A. B. C. D. 3. 学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，D是边上一点，能使的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2-6x+8=0的一个根，则此三角形的周长是（　　） A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14 9. 如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若四边形是矩形，则四边形是正方形 10. 如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．连接．给出以下结论：①；②；③④．⑤其中，正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则的值为__________． 12. 一个盒中有8枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中有 _______枚白棋子． 13. 在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570，问道路应为多宽______． 14. 是关于x的一元二次方程的解，则.__________． 15. 如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为______． 三．解答题（一）（共3大题，每题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 已知线段． （1）用尺规作图的方法求作一个菱形，使为菱形的一条对角线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若菱形的对角线、相交于点，，，求菱形的面积． 18. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由． 四、解答题（二）（共3大题，每题9分，共27分） 19. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 山西某大学新建了一个校史馆，其中一个矩形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个矩形展柜（图中展柜1），计划新建矩形展柜2．李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算的长度． 课题 校史馆展柜设计 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明 机器人从出口正中心（即的中点）通过时，机器人的边缘距离点H和点E的安全距离都为 计算结果 …… 22. 如图，在直角三角形中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，与直线相交于点D．设P点运动时间为t，的面积为S． （1）填空： ； ； （2）当点P运动几秒时，和面积相等？ （3）作于点E，当点P，Q运动时，线段的长度是否改变？若不变，请直接写出线段的长度；若改变，请说明理由． 23. 综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时， ；②当点E与点A重合时， ． 【深入探究】 （2）当点E在上，点F在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若点F与点C重合，点E在边上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省佛山市南海区大沥镇九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键熟练掌握因式分解法解方程． 【详解】解： ， 或， ∴，， 故选：． 2. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 3. 学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件发生的概率，先列出所有的可能性，再找出满足题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：用A、B分别表示铅球、跳高，列表得 小明 小刚 运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，共有4种等可能情况，其中两人恰好都选择铅球项目是1种情况， 则两人恰好都选择铅球项目的概率是． 故选：C． 4. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°， AC⊥BD，可求∠ABD=65°，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD， ∴∠ABD=65°， ∵DH⊥AB，BO=DO， ∴HO=DO， ∴∠DHO=∠BDH=90°－∠ABD=25°． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 6. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 7. 如图，D是边上一点，能使的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法“两边对应成比例，其两边夹角相等，两三角形相似”逐一判断即可． 【详解】解：由题意得， 当时，不能证明，故A选项不符合题意； 当时，不能证明，故B选项不符合题意； 当时，则，能证明，故C选项符合题意； 当，即时，不能证明，故D选项不符合题意； 故选C． 8. 一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2-6x+8=0的一个根，则此三角形的周长是（　　） A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14 【答案】B 【解析】 【分析】先求出方程的解，再得出三角形的三边长，最后求出周长即可． 【详解】解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2， 当三角形的三边为5，2，2时，2+2+＜5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当三角形的三边为5，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为5+4+4＝13. 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 9. 如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故选：D. 10. 如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．连接．给出以下结论：①；②；③④．⑤其中，正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，证出，由证明，得出，①正确；证明四边形是矩形，得出，②错误；过点E作交延长线于H，同理可证明，得到，进而得到，则，③正确；证出，得出对应边成比例，得出，④正确；证明，，再利用勾股定理即可知⑤正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴，故②错误； 如图所示，过点E作交延长线于H， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴，故⑤正确 ∴正确的是①③④⑤，共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则的值为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，由已知条件，将所求表达式拆分为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵， ∴， 代入得：． 故答案为：． 12. 一个盒中有8枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中有 _______枚白棋子． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了用频率估算概率，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率．首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，从而得到事件的概率，然后根据概率计算出白棋子的个数即可． 【详解】解：共取了300次，其中有100次取到黑棋子， 摸到黑色棋子的概率约为， 摸到白色棋子的概率约为， 共有10可黑色棋子， 设有个白色棋子，则， 解得：， 经检验，是方程的解， 故答案为：16． 13. 在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570，问道路应为多宽______． 【答案】m 【解析】 【分析】本题中，试验地的面积＝矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可． 【详解】解：设道路为x米宽， 由题意得：， 整理得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，但是，因此不合题意舍去． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 14. 是关于x的一元二次方程的解，则.__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程得：，所以， 所以 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 15. 如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解，且当时，最小，即最小是解题关键． 三．解答题（一）（共3大题，每题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 17. 已知线段． （1）用尺规作图的方法求作一个菱形，使为菱形的一条对角线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若菱形的对角线、相交于点，，，求菱形的面积． 【答案】（1） 四边形即为所求： ； （2） 【解析】 【分析】（）如图，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交线段的垂直平分线于点，连接，则四边形即为所求； （）根据菱形的面积公式计算即可求解； 本题菱形的画法，菱形的性质和面积，掌握菱形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴菱形的面积． 18. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由． 【答案】 BE=CF；理由如下：在矩形ABCD中，OB=OC， ∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F， ∴∠BEO=∠CFO=90°， 在△OBE和△OCF中， ∴△OBE≌△OCF（AAS）， ∴BE=CF． 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OC，然后利用“角角边”证明△OBE和△OCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明两边相等，通常利用证明这两边所在的三角形全等，这是常用的方法也是基本方法． 四、解答题（二）（共3大题，每题9分，共27分） 19. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 21. 山西某大学新建了一个校史馆，其中一个矩形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个矩形展柜（图中展柜1），计划新建矩形展柜2．李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算的长度． 课题 校史馆展柜设计 调查方式 走访调研、实地察看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明 机器人从出口正中心（即的中点）通过时，机器人的边缘距离点H和点E的安全距离都为 计算结果 …… 【答案】cm 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，延长交于点P，连接．可推出四边形为矩形；在中，求出，即可求解； 【详解】解：如图，延长交于点P，连接． 四边形与四边形为矩形， ． ， 四边形为矩形， ，，， ． 由题意知，． 在中，． 四边形为矩形， ， ， ． 22. 如图，在直角三角形中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，与直线相交于点D．设P点运动时间为t，的面积为S． （1）填空： ； ； （2）当点P运动几秒时，和面积相等？ （3）作于点E，当点P，Q运动时，线段的长度是否改变？若不变，请直接写出线段的长度；若改变，请说明理由． 【答案】（1）t，或 （2） （3）当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于 【解析】 【分析】（1）依题意分两种情况：①当时，点P在线端上，此时，；②当时，点在的延长线上，此时，，综上所述即可得出答案； （2）根据，，得当和面积相等，则 ，分两种情况进行讨论：①当时，则，②当时，则，由此得出的值即可； （3）依题意得，，过点Q作交的延长线于M，连接，，分两种情况讨论如下：①当时，点P在线段上，先证明，得，，则，，再证明，得；②当时，点在的延长线上，同理可得，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，运动时间为t，， ∴有以下两种情况： ①当时，点P在线端上，此时，； ②当时，点P在的延长线上，此时，， 综上所述：，或， 故答案为：t，或； 【小问2详解】 ，， ∴当和面积相等，则， ∴有以下两种情况： ①当时，则， 整理得：， ∵该方程根的判别式：， ∴该方程无解， 即此时不存在和面积相等； ②当时，则， 整理得：， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴当点P运动秒时，和面积相等； 【小问3详解】 当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于，理由如下： ∵在直角三角形中，， ∴， 由勾股定理得：， 过点Q作交的延长线于M，连接，， 则， 分两种情况讨论如下： ①当时，点P在线段上，如图1所示： 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ②当时，点P在的延长线上，如图2所示： 同理：，， ∴，，， ∴， ∴， 综上所述：当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 23. 综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点P落在矩形的边上（如图①）． ①当点P与点A重合时， ；②当点E与点A重合时， ． 【深入探究】 （2）当点E在上，点F在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． 【拓展延伸】 （3）若点F与点C重合，点E在边上，射线与射线交于点M（如图③）．在各种不同的折叠位置中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①3；②4 （2）①证明：如图，与交于点O， ∵是的中垂线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形， ② （3）存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或 【解析】 【分析】（1）①由题意可得E为的中点，F为的中点，即可求解； ②由折叠的性质可得，即可求解； （2）①与交于点O，根据垂直平分线的性质可得，，再根据矩形的性质和平行线的性质可得，证得，从而证得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论； ②当时，设菱形的边长为x，则，，利用勾股定理列方程得，求出x的值，再利用勾股定理求值即可； （3）分两种情况：M在上，M在的延长线上，根据全等三角形的判定与性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①当点P与点A重合时，E为的中点，F为的中点， ∴， 故答案为：3； ②当点E与点A重合时，如图， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）①略 ②解：当时，设菱形的边长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分情况讨论： ①如图③，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； ②如图④， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 设， 则，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程、垂直平分线的性质及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $