湖北省武汉市武昌区部分学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024-2025九年级上学期数学学科训练题 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 下列各题中均有四个备选答案,其中有且只有一个正确,请在答题卡上将正确答案的代号涂黑 1. 下列方程是一元二次方程的是 A.-3-0 B.n+h+e-o C. 3-2r-3-2) D.-2-4-0 2. 数学世界奇妙无穷,其中曲线是微分几何的研究对象之一,下列数学曲线是中心对称图形的是 ##去1_■_1- C B D 3.一元二次方程-3x+5}-6化为一般形式a+h+c-0(az0)后,a,b,c的值可以是 A.a-5.b-3.c=6 B. a=-5.b-3,c-6 Ca-3.b-5.c6 D.a-3,b-5.c-6 4. 下列点中,一定在抛物线y=m2+2ax+3上的是 A.(2.3) B.(-③) C.(3.0 D. 以上都不在 5. 若x.是一元二次方程-+3x-5-0的两根,则x.+x,的值是 B.3 A.3 C.5 D.5 6.对于二次函数一(【r一1,下列结论错误的是 A. 开口向上 B. 函数图象与x轴没有公共点 C. 当r>2时,)随的增大而增大 D. 函数有最小值 7. 如图,在△ABC中。AB-AC。乙BAC一100”。在同一平面内,将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB。C 的位置,连接BB.。若BBAC,则乙CAC.的度数是 A.100 B.200 6. 30{ D. 40 7题图 8题围 8.如图,有一张长12cm,宽9em的矩形纸片,在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折 叠成一个无盖的长方体纸盒,若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是70cm,求剪去的小正方形的边长 设剪去的小正方形的边长是xcm,根据题意,可列方程为 A.1289-4x9r=70 B.12x9-4-70 C.(12-9-x)-70 D.(12-2r)(9-2)=70 9. 古希错毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为 nn+)11 -n,记第n个k边形数为N(n.k)(3),以下列出了部分k边形中第n个数的表达式: 2 五边形数V(n,5) 1 2 六边形数N(n.6)-2n-n. 据此可推测N(n.k)的表达式,由此计算N(8.22)等于多少 6.568 B.1136 A: 2272 D. 28 10.无论k为何值,直线y=k-2k十2与拢物线y=ax-2ax-3a总有公共点,则a的取值范围是 B.2-2 C.a5-2a□0 D. -或a<o A.0 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 11.若点A(m,2),B(-1,n)关于原点对称,则m-其” 12.一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡56张,则这个小组共有_人. 13. 把抛物线v-#向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为 14. 在平面直角坐标系中,将点A(3.\3)绕点0顺时针旋转150。得到点A,则点4的坐标为 15. 已知点(m,n)在抛物线y=ar{+2av+c上,下列结论:①若a=c,则挑物线与x轴只有一个公共点:② 范围是-1<ns3,则a的值是+:④若点(n.p)在直线y--π+c-2a上,当-2<m<-1时。p>n,则抛 物线开口向上,其中正确结论 .(填序号) 16. 如图,等题AABC中,乙BAC-120”。AB-AC,D是AB上一点,AD-2。BD-4.E是边BC上的动点。 若点绕点D逆时针旋转30”的对应点是F,连CF,则CF的最小值是__. 三.解答题(本大题共8小题,共72分) 17.解方程:(每小题4分,共8分) (1:2-4-5-0. (2)a-1-0(用公式法). 18.(本小题满分8分) 在平面直角坐标系中,已知二次函数的解析式为y一an{→ar+c.请观察表格完成下面题目 (1)抛物线的对称轴是直线: (②)若-1<x<5,则的取值围是 (3)若y4. 则r的取值范围是 19.(本小题满分8分) 已知关千的一元二次方程一+3=B (求证:无论为何值,此方程总有两个实根 (2)若直角三角形的斜过为4,另两边恰好是这个方程的两根,求的值 20(本小题满分8分) 如图,在△ABC中,AC-6.在同一干面内,将△4BC绕点C看时针旋转至△AC的位置 乙rCr-72,且rCrAA. (1)fC- (2)R转角的大小. 21.(本小题满分8分) 如图,在平面直角坐标系中,A4BC的三个顶点坐标分别为A(2.1),B(7.1).C(6.3),格点D在AB 上,请用无刻度的直尺,按要求完成下列画图,并回答相关问题. (1)将AABC绕点A逆时针旋转90*得到A4EF,点D随之转,画出A4EF,并写出点D的对应点D 的幅 (2)画A4EF的角平分线FG: (3)在AF上取点M,使乙4M-45: (4)我格点P。使PG-AG,直接写出点P的坐标 0 22.(本小题满分10分) 如图,铅球运动员训练推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是 r=++L6 u& 0 (1)第一次推铅球时,铅球运行到水平面离为3m时,铅球行进的最大高度为2.5m,求铅球推出的水平跑 20 (3)该铅球运动员第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同,推出的水平距离超过第一次,但不 足10米,直接写出的取值范围 23.(本小题满分10分) 在等边△ABC中。D为BA延长线上一点,F为BC上一点,过B作BE//AC,连接DE,EF,且 乙DB-60。 面短 图 1如图1,若&E一2.BD一5,求BF的长. (2)如图2,若F为CB延长线上一点,试现究BD,BE。BF的关系,并说明理由 (3)如图3,若F为BC延长线上一点,且4D:BE:AC-1:2:3.请直接写出CF:BE的值 24.(本小题满分12分) 如图1,物线y”-”+2r+3与x轴交于A,B两点,与,轴交于C点 图1 图2 (1)直接写出A.B,C点的坐标: (2)点D是直线BC下方撕物线上一点,点E位于第四象限,若由B,C.D.E四点组成的平行四边形面积 为30.求E点标: (3)如图2所示。过4作两条直线分别交抛物线干第一象限点P,O.交y轴干M,N.OM·OVa,当n为 定值时,直线PQ是否必定经过某一定点?若经过,请你求出该定点坐标(用含r的式子表示):若不经过, 请说由。 1 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1-5：A C A B A 6-10：B B D C C 10. ：答案：C 解析：∵y＝kx－2k＋2＝k(x－2)＋2， ∴直线y＝kx－2k＋2过定点(2，2)， 而抛物线y＝ax2－2ax－3a的对称轴为直线x＝1，如图，当a＞0时， 而直线y＝kx－2k＋2与抛物线y＝ax2－2ax－3a总有公共点， ∴4a－4a－3a≤2， 解得：a≥ 2 3 − ，此时a＞0： 当a＜0时，如图， 而直线y＝kx－2k＋2与抛物线y＝ax2－2ax－3a总有公其点， ∴4a－4a－3a≥2， 解得：a≤ 2 3 − ， 综上：a＞0或a≤ 2 3 − . 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11 ．3 12 ．8 13．y=﹣ ( x+1) 2 +3 14 ． (- 3 ,-3) 15 . ①②④（填对一个给 1 分，填错不给分） 16 ．3 3 -2 . 16 ．【答案】3 3 －2 【解析】解：过D作DM⊥BC，垂足为M，过F作FN⊥AB，垂足为N，如图1所示： O y x y xO 2 通过计算可得：∠1＝∠2，∠DME＝∠FND＝90°，DE＝DF，则可以得到△DME≌△FND ∴DM＝FN＝2，即点E在BC上运动的过程中FN的长度始终都等于DM的长度． 如图2，过点D作DM⊥BC，垂足为M，点E在BC边上的运动过程中，点F在平行于AB且距离为2的直线的 上的一部分运动. 当F点落在CN上时，此时CF的长度最小．当CN⊥AB时，CN的值最小。 在△ACN中，∵∠BAC＝120°，∴∠CAN＝60°，又∵AB＝AC＝6，∴CN＝3 3 ∴CF＝CN-NF= 3 3 －2. 三、解答题（共 72 分） 17．（共 8 分）(1)解：移项，得： x²-4x =5 配方， 得 x²-4x+4 =5+4 （x-2）²=9 ……2 分 由此可得：x-2 =±3 x 1= 5 x2= -1 ……4分 (2) 解： ∵ a =1 ，b=-1，c= -1 ∴ Δ = b2-4ac=1+4=5 … …1分 ∴方程有两个不相等的实数根 … …3 分 ∴x1= x2= … … 4 分 18.（1）直线 x=1 … …2分 (2)−5 ≤ y <11； … …5 分 (3) x ≤−2 或x ≥ 4 … …8分 19.（1） ∵x2 − (k + 3)x + 3k = 0 ∴Δ = （k+3）2-12k … …2分 =（k-3）2≥ 0 … …3分 ∴无论k 为何值，此方程总有 2 个实根； … …4分 （2）当4 为斜边时，x1+x2=k+3,x1•x2=3k … …5分 ∵x12+x22=16 ∴（x1+x2）2 -2 x1x2=16 ∴（k+3）2 – 6k=16 ∴k2 = 7 … …7分 (1) (2) 2 1 A B C D E F M N N M F E D CB A 3 又∵边长k > 0 ， ∴ k =√7， … …8分 20. （1）1）∵△ABC绕点C顺时针旋转至 A B C △ 的位置， ∴ ABC A B C △ ≌△ ∴ 6AC A C= = ； … …3分 （2）∵将绕点△ABC 顺时针旋转至 A B C △ 的位置， ∴旋转角为 ACA ， ∵B C A A ∥ ， ∴ 72CA A B CA   = = ， … …5分 ∵ AC A C= ， ∴ 72CAA CA A  =  = ， … …7分 ∴ 180 72 2 36ACA = −  = ． ∴旋转角为36°． … … 8分 21. 解：（1）如图所示，△AEF即为所求，D’(2，4)，… …2分 （2）如图所示，则FG即为所求角平分线；… …4分 （3）如图所示，点M即为所求的点；… …6分 （4）如图所示，P1(4，7)，P2(0，7)；… …8分(一个答案1分) 22． （1）解：设y = a (x − 3)2 + 2.5， 即y = ax2 − 6ax + 9a + 2.5 ， ∵ 9a + 2.5 = 1.6 ， ∴ a =−0.1， … …1分 ∴ y = −0.1(x − 3)2 + 2.5， 令y = 0 ，则−0.1(x − 3)2 + 2.5 = 0， 解得：x1 = 8 ，x2 = −2 （舍去）， ∴铅球推出的水平距离8 米； … …3分 （2）解：设抛物线的解析式为 x2 + bx +1.6 ，把 代入得： 解得：b = 0.2 ， … …5分 ∴推出铅球行进的最大高度为 米； … …7分 M A B C D x y O E F D' G P2 P1 G D' F E O y x D C BA 4 （3）解：抛物线的解析式为 x2 + bx +1.6 ， 当过 (10，0) 时， − ×102 +10b +1.6 = 0 ，解得： ， ∵推出的水平距离超过第一次，但不足 10 米， … …10分 23. （1）解：在FB的延长线上取点M，使BM=BE，连接ME， ∵三角形 ABC是等边三角形， ∴∠C=60 ， ∵ //BE AC ， ∴∠EBM=60 ， ∴△EBM是等边三角形， ∴∠M=∠BEM=60，ME=BE， ∵∠DEF=60 ， ∴∠DEF+∠BEF=∠BEM+∠BEF， ∴∠DEB=∠FEM， ∵∠MBE=∠ABC=60， ∴∠EBD=∠M=60， ∴ EMF EBD△ ≌△ （ASA）， … …2分 ∴MF=DB， ∵MF=MB+BF， ∴BD=BE+BF， ∵BE=2，BD=5， ∴BF=5-2=3； … …3分 （2）BE=BD+BF． 理由：在 BF的延长线上取点 M，使 BM=BE，连接 ME， ∵ //AC BE， ∴∠C=∠EBM=60°， ∵BM=BE， ∴ BEM△ 为等边三角形， ∴ME=BE，∠M=∠MEB=60°， ∴∠M=∠EBD， ∵∠DEF=60°， ∴∠MEF=∠BED， ∴ EMF EBD△ ≌△ （ASA）， ∴MF=BD， ∵BM=MF+BF， ∴BE=BD+BF； … …7分 （3）在 BC上取点 M，使 BM=BE，连接 ME， 同理可证 EMF EBD△ ≌△ （ASA）， ∴MF=BD， 设 AD=x，BE=2x，AC=3x， ∴BD=AB+AD=3x+x=4x， ∴BF=BM+MF=2x+4x=6x， 5 ∴CF=BF-BC=6x-3x=3x， ∴CF：BE=3x：2x=3：2． … …10分 24.【解】（1）对于 2 2 3y x x= − + + ，当 0x = 时， 3y = ， 当 2 2 3 0y x x= − + + = 时， 1x = − 或 3， 即点 A、B、C 的坐标分别为： ( )1,0− 、 ( )3,0 、 ( )0,3 ； ……3 分 （2）由点B、C的坐标得，设BC：y＝kx＋b，代入B，C坐标可得k＝－1，b＝3，直线BC的表达式为：y=- x+3，BC=3 2 ，设D(m， 2 2 3m m− + + ）……4分 ①当BC 是边时，如图: 依题意得， 15BDCS = ，在x轴上取点P，使得 15BPCS = ，可求得BP＝10，P（－7，0）或（13，0） 过P作BC的平行线交抛物线于D，则 15BDC BPCS S = = 设PD：y＝－x＋p，代入P（－7，0）得p＝－7，联 立 2 7 2 3 y x y x x = − −  = − + + 得：x 2 －3x－10＝0，x＝－2或5， 代入可得D坐标为（－2，－5）或（5，－12） ……5分 同理，代入P(13，0）得p＝13，联立得 2 13 2 3 y x y x x = − +  = − + + ：x 2 －3x＋10＝0，此方程无解。 当D坐标为（－2，－5）时，由平移性质可得E点坐标为（1，－8）或（－5，－2） 当D坐标为（5，－12）时，由平移性质可得E点坐标为（2，－9）或（8，－15） ∵E点位于第四象限，满足条件E点坐标为（1，－8），（2，－9）或（8，－15） ……6分 ②当BC 是对角线时 ∵点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点，点 E位于直线 BC上方，∴点 E 在第一象限，这与条件不符，故此 情况不成立。 综上，点E 的坐标为：（1，－8），（2，－9）或（8，－15） ……7 分 （3）经过定点，理由： 设点 P、Q 的坐标分别为： ( )2, 2 3a a a− + + 、 ( )2, 2 3b b b− + + ， 由点 A、P 坐标得，直线 AP 的表达式为： ( )( )3 1y a x= − − + ， ……8 分 当 0x = 时， 3y a OM= − = ， 同理可得： 3ON b= − ， 则 ( )( )3 3a b n− − = ， 即 ( )3 9 0ab a b n− + + − = ， ……9 分 设直线 PQ的表达式为： y kx t= + ， 联立 PQ和二次函数表达式并整理得： ( )2 2 3 0x k x t+ − + − = ， ……10 分 6 则 2a b k+ = − ，ab=t-3 则 ( )3 3 2 9 0t k n− − − + − = ， 即 3t n k= − ， 则 PQ的表达式为： ( )3 3y kx k n k x n= − + = − + ， ……11 分 则直线 PQ过点 ( )3 n, ． ……12 分