精品解析：四川省成都市第四十六中学（四川师范大学附属中学外国语学校）2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

四川师大附中外国语学校2026－2027学年度（上）期中测试题 九年级数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解： A．该方程不是整式方程，故本选项错误； B．当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； C．该方程中x、y的最高次数是2，不是一元二次方程，故本选项错误； D．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2. 下列四条线段不成比例的是（　　） A. a=3，b=6，c=2，d=4 B. a=，b=8，c=5，d=15 C. a=，b=2， c=3，d= D. a=1，b=，c=，d= 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．2×6=3×4，能成比例，本选项不符合题意； B．，能成比例，本选项不符合题意； C．任两组数的积均不相等，故这四条线段不成比例，本选项符合题意； D．，能成比例，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 3. 一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的概念．根据一元二次方程根的概念，将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故选：B． 4. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 两条对角线相等的矩形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该说法错误，不符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，故该说法正确，符合题意； C、矩形的对角线本身相等，对角线相等的矩形仍是矩形，故该说法错误，不符合题意； D、四条边相等的四边形是菱形，故该说法错误，不符合题意； 6. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较短线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，据此设较短线段的长度为，，列出成比例的线段的关系式，利用公式法解一元二次方程，舍去不符合题意的根即可解题． 【详解】解：设较短线段的长度为，则，由题意得， 即 整理得 （舍去）， 即 故选：D． 【点睛】本题考查黄金分割、成比例线段，涉及公式法解一元二次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 8. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可； 【详解】解：设每台冰箱定价元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得： ， 故选：C． 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况得，求出的值即可，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 若，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质，解答即可． 【详解】解：， ． 11. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则_____．   【答案】8 【解析】 【分析】先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 12. 如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 13. 如图，在矩形中，，，分别以A，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线；以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线于点E，连接，；分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知，直线是的垂直平分线，是的平分线，，结合，可利用勾股定理求出的长度，再证，设，在中，利用勾股定理建立方程求解的长度． 【详解】如图，连接， 由作图可知，直线是的垂直平分线，四边形是矩形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 由作图可知是的平分线， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴的长为​． 三、解答题（共6小题，满分48分） 14. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得； 【小问2详解】 解： 或 解得； 【小问3详解】 解：在中，， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解： 或 解得． 15. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求的值． 【答案】（1） 证明：在方程中，， 则 因为任何数的平方都大于等于0，即，所以该方程总有两个实数根． （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知， ， 将代入上式得： ， 解得， 经检验，当时，原方程的分母，所以的值为1． 16. 小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． （1）求旗杆的高度． （2）在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米． （2）利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米． 【小问1详解】 解：已知，， 因此， ∵为公共角，且 ∴． ∴ ∵ 代入已知数值，，： 则， ， ， ． 【小问2详解】 解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又∵， ∴． 设米，则米， ∴ 代入已知数值，： 解方程： 即米． 17. 如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的长． （3）求证∶ ． 【答案】（1） （2） （3） 证明：由菱形性质知， ， ， ， ． ， ， ， 由（2）中知， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． （1）由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而． （2）由，可得，则，，由，可得，，因为，则，再证明，，从而． （3）由菱形性质证明，再证明，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故； 【小问3详解】 略 18. 如图，四边形是正方形，点G在边上，点E在边的延长线上，，射线交对角线于点H，交线段于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长； （3）若，求的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据全等三角形的性质即可证明； （2）通过证明，利用相似三角形的性质证明即可； （3）利用三角形的面积比求得，设，则，设，则进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； 【小问3详解】 解：作，，垂足分别为，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，角平分线的判定和性质，线段比例关系的推导，熟练掌握这些知识点是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据根与系数的关系可得，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 若，则直线一定经过第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据比例的性质得到，分两种情况求出k的取值，再分别判断对应一次函数经过的象限，取公共部分即为直线一定经过的象限 【详解】解：∵ ∴，， 将三式相加，得 移项得 分两种情况讨论： 1．当时，， 解得， 此时直线方程为， ∵x的系数为正，与y轴交点的纵坐标为 ∴该直线经过第一、二、三象限 2．当时， 代入，得（，否则分母为0无意义） 此时直线方程为 ∵x的系数为负，与y轴交点的纵坐标为0 ∴该直线经过第二、四象限 对比两种情况直线经过的象限，可知两条直线共同经过的只有第二象限，即直线一定经过第二象限． 21. 如图，菱形中，，，取菱形四条边的中点并顺次连接形成四边形，取四边形四边的中点顺次连接形成四边形，继续取四边形四边的中点顺次连接形成四边形，依次下去……则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中点四边形的性质菱形的性质和矩形的性质可得每次取中点后的四边形的面积都为之前的，进而即可求出取n次中点后的面积为，再推导出矩形中m与取中点的次数n之间的关系，即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，且，， ∴， ∵分别是菱形四边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，，，， ∵连接菱形各边中点的四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵连接矩形各边中点的四边形是菱形，且E，F，G，H分别是矩形四边的中点， ∴四边形是菱形， ∴对角线长分别为，， ∴， ∴． ∴每次取中点后的四边形的面积都为之前的， ∴取n次中点后的面积为， 由题意可得，取第一次中点时为四边形，取第二次中点时为四边形，取第三次中点时为四边形， ∴四边形是取了次中点， ∴当时，则 解得， ∴四边形是取了4051次中点， ∴四边形的面积为． 22. 如图1，在矩形中，为对角线，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作，垂足为．设点的运动路程为的值为随变化的函数图象如图2所示，图2中点的坐标为，则的值为______． 【答案】 12 【解析】 【分析】设当点运动到时，，此时，根据勾股定理求出，即可得到，的值，代入求解即可； 【详解】解：由图象可知，当点与点重合时，，， ， ， ； 设当点运动到时，，此时， 根据函数图象可知，当运动到时，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ，， 由图可知，点对应点运动到点的位置， ， 当点与点重合，，此时点与点重合， ，， ， ． 23. 如图，在矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处，延长交BC于点G，在线段上取点E，使得，过点E作交BC于点P，连结PF交于点H，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，连接， 证明四边形是平行四边形，利用折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：∵ 矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处， ∴，，，， ，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，， ∴， 连接， 则四边形是平行四边形， ∴H为的中点，， ∴，， 过点H作于点， 则， ∴ ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 2026年9月16日，新中国成立以来第一条国家层面统筹建设的通江达海运河——平陆运河正式全线通航．某航运公司计划2026年经运河运输货物450万吨，预计到2028年将达到648万吨/年． （1）求该航运公司运输货物重量的年均增长率． （2）该公司航运船试运首日，一艘货船驶出运河入海口后，进入开阔海域，以12km/h的速度沿东西方向航道向东航行；一艘海巡船以24km/h的速度向正北方向巡航，执行通航安全保障任务，其监测半径为20km．当货船行至处时，海巡船恰位于处正南方向的处，且．两船同时出发，问经过几小时两船相距20km？并结合方程的根，说明货船在海巡船监测范围内共停留了多长时间． 【答案】（1） （2）经过或两船相距,货船在海巡船监测范围内共停留了． 【解析】 【分析】本题考查了运用一元二次方程解决增长率问题，以及构造图形利用勾股定理解决动点问题，解题的关键是能建立直角三角形模型解决问题． （1）根据增长率列方程即可求解； （2）根据题意建立模型，构造直角三角形，利用勾股定理列方程解决问题． 【小问1详解】 解：设该航运公司运输货物重量的年均增长率为，则 ， 解得：(不合题意，舍去)， 答：该航运公司运输货物重量的年均增长率为． 【小问2详解】 解：根据题意以为原点，正东为轴正方向，正北为轴正方向，则 在 正南方 km 处． 则小时后： 货船：； 海巡船：； 由，，利用勾股定理得： ， 即， 化简得， 解得， 当时，，，  即在东 km，在南 km，km； 当时，，，  即在东 km，到点，km； ∴经过或两船相距,货船在海巡船监测范围内共停留了． 25. 【定义】将一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值为“旋似比”． 【概念初识】（1）如图1，，点B，C，D在一条直线上，其中，，，，线段绕着点C旋似至线段，则旋似角为_____，旋似比是______； 【概念应用】（2）如图2，在中，，线段绕着点A旋似至线段，使得点D落在线段上，且旋似比，求线段绕着点D旋似至线段的旋似角的度数； 【深度思考】（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长至点E，使得，连接并延长交线段于点M，当点M是中点时，求线段绕着点E旋似至线段的旋似比． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，易证，结合，推出，可得旋似比，再根据三角形外角的性质得到，结合，推出，可得旋似角； （2）根据，，易证，推出，进而得到，可得旋似角； （3）由（2）知是直角三角形，根据点M是中点，可得，设，根据，得到，进而求出，利用勾股定理求出，进而求出，再根据等边对等角得到，由，推出，利用对顶角的定义推出，结合，证明，得到． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋似比为， ∵点B，C，D在一条直线上， ∴，， ∴， ∴旋似角为； 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段绕着点D旋似至线段的旋似角为； （3）由（2）知是直角三角形， ∵点M是中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段绕着点E旋似至线段的旋似比为． 26. 在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，以为直角边作，按顺时针排列），其中． （1）当时，求直线的函数表达式； （2）当点落在坐标轴上时，求的面积； （3）点在直线上，当点A，C在第一象限时，是否存在以为直角顶点的与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线的函数表达式为，然后把、两点的坐标代入即可求解； （2）分点在轴及轴上两种情况进行讨论，结合三角形相似，建立等量关系，分别求出两种情况时三角形的面积即可； （3）分当时，当时，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ， 解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当点在轴上时，设点的坐标为； 过作于点，则，，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 解得：，， ，， ； 当点在轴上时，分别过B、C作直线l的垂线，垂足分别为H、G， 同理可证明， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 的面积为或； 【小问3详解】 解：如图所示，当时，设交于E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为，点E的纵坐标为， ∵， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点E为的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得； 如图所示，当时， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， 如图所示，过点B、D分别作直线l的垂线，垂足分别为Q、N， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川师大附中外国语学校2026－2027学年度（上）期中测试题 九年级数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四条线段不成比例的是（　　） A. a=3，b=6，c=2，d=4 B. a=，b=8，c=5，d=15 C. a=，b=2， c=3，d= D. a=1，b=，c=，d= 3. 一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 4. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 两条对角线相等的矩形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 6. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么较短线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_______． 10. 若，则______________． 11. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则_____．   12. 如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 13. 如图，在矩形中，，，分别以A，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线；以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线于点E，连接，；分别以B，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则的长为_____． 三、解答题（共6小题，满分48分） 14. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求的值． 16. 小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． （1）求旗杆的高度． （2）在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 17. 如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的长． （3）求证∶ ． 18. 如图，四边形是正方形，点G在边上，点E在边的延长线上，，射线交对角线于点H，交线段于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长； （3）若，求的值（用含n的式子表示）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 20. 若，则直线一定经过第______象限． 21. 如图，菱形中，，，取菱形四条边的中点并顺次连接形成四边形，取四边形四边的中点顺次连接形成四边形，继续取四边形四边的中点顺次连接形成四边形，依次下去……则四边形的面积为______． 22. 如图1，在矩形中，为对角线，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作，垂足为．设点的运动路程为的值为随变化的函数图象如图2所示，图2中点的坐标为，则的值为______． 23. 如图，在矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处，延长交BC于点G，在线段上取点E，使得，过点E作交BC于点P，连结PF交于点H，若，则__________． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 2026年9月16日，新中国成立以来第一条国家层面统筹建设的通江达海运河——平陆运河正式全线通航．某航运公司计划2026年经运河运输货物450万吨，预计到2028年将达到648万吨/年． （1）求该航运公司运输货物重量的年均增长率． （2）该公司航运船试运首日，一艘货船驶出运河入海口后，进入开阔海域，以12km/h的速度沿东西方向航道向东航行；一艘海巡船以24km/h的速度向正北方向巡航，执行通航安全保障任务，其监测半径为20km．当货船行至处时，海巡船恰位于处正南方向的处，且．两船同时出发，问经过几小时两船相距20km？并结合方程的根，说明货船在海巡船监测范围内共停留了多长时间． 25. 【定义】将一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长的比值为“旋似比”． 【概念初识】（1）如图1，，点B，C，D在一条直线上，其中，，，，线段绕着点C旋似至线段，则旋似角为_____，旋似比是______； 【概念应用】（2）如图2，在中，，线段绕着点A旋似至线段，使得点D落在线段上，且旋似比，求线段绕着点D旋似至线段的旋似角的度数； 【深度思考】（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长至点E，使得，连接并延长交线段于点M，当点M是中点时，求线段绕着点E旋似至线段的旋似比． 26. 在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，以为直角边作，按顺时针排列），其中． （1）当时，求直线的函数表达式； （2）当点落在坐标轴上时，求的面积； （3）点在直线上，当点A，C在第一象限时，是否存在以为直角顶点的与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $