第15讲 线段、射线、直线（5大知识点+9大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

第15讲 线段、射线、直线 课程标准 学习目标 线段、射线、直线 1.能初步认识线段、射线、直线的概念 2.了解“两点之间,线段最短”的性质,并能熟练地比较两条线段的长短. 3.能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短. 知识点01 线段、射线、直线及其画法 【即学即练1】 请写出图中以为端点的各条射线． 【答案】以为端点的射线有：射线、、 【分析】本题考查射线的识别，射线的表示方法．解题的关键是要明确：表示射线时，把表示顶点的字母写在前面．据此解答即可． 【详解】解：以为端点的射线共有条：射线、、． 【即学即练2】 如图，A，B，C是同一直线上的三个点．图中有几条射线？在不增加字母的情况下，能表示出的射线共几条？是哪几条？ 【答案】图中有6条射线，在不增加字母的情况下，能表示出的射线共4条，分别是：射线，射线，射线，射线 【分析】本题考查了射线，根据射线的定义即可求解，熟练掌握射线的定义及表示方法是解题的关键． 【详解】解：图中有6条射线，在不增加字母的情况下，能表示出的射线共4条， 分别是：射线、射线、射线、射线． 知识点02 直线的性质 点与直线的位置关系:(1)点在直线上(直线经过这个点);(2)点在直线外(直线不经过这个点). 相交直线:当两条不同的直线只有一个公共点时,称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点. 直线的性质:过两点有且只有一条直线，它可以简单说成两点确定一条直线 【即学即练1】 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？ 【答案】两点确定一条直线． 【分析】根据确定一条直线的方法求解即可． 【详解】根据直线公理：两点确定一条直线， ∴答案为：两点确定一条直线． 【点睛】此题考查了确定一条直线的方法，解题的关键是熟练掌握确定一条直线的方法：两点确定一条直线． 知识点03 线段的比较 线段长短的比较方法:测量法和叠合法. 线段的性质:两点之间的所有连线中,线段最短,简单说成“两点之间,线段最短” 两点之间的距离:连接两点的线段的长度,叫做这两点间的距离. 【即学即练1】 比较折线AB和线段的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 【答案】见解析 【分析】结合所给的图形，一条折线，一条线段，可以采用细线和直尺，采用细线弯折成和折线一样长，然后拉直，用直尺分别量出其长度，然后比较即可． 【详解】解：采用细线和直尺，采用细线弯折成和折线一样长，然后拉直，用直尺分别量出其长度，然后比较． 【点睛】本题考查了长度的测量方法，采用化曲为直的方法进行比较是解题关键． 知识点04 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图. 【即学即练1】 根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短： （1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可； （2）过点B作于C，根据垂线段最短可知点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求． 知识点05 利用线段的中点,求线段的长 线段的中点:若点B在线段AC上,且把线段AC分成相等的两条线段AB和BC,这时点 B叫做线段AC的中点. 【即学即练1】 如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键： （1）中点求出的长，再利用线段的和差关系求解即可； （2）根据中点结合线段的和差关系，得到，即可得出结果； （3）根据，即可得出结果； （4）由（2）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴， ∴； （2）∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴； （4）由（2）知：． 题型01 直线、射线、线段的联系与区别 【典例1】直线、射线、线段是否有长短？ 【答案】见解析 【分析】根据直线、射线、线段的定义分析即可． 【详解】解： 直线和射线不能度量，两者都可以延长，没有长短； 线段有两个端点，大小已确定，有长短． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键． 【变式1】判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 【答案】（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：（1）线段和射线都是直线的一部分，正确； （2）直线和直线是同一条直线，正确； （3）射线的端点是点，射线的端点是点，不是同一条射线，故本小题错误； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确． 综上所述：（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，解题的关键是熟记概念与它们的区别与联系． 【变式2】数学学习过程中，正确掌握几何语言是学好几何知识的必备条件． (1)下列语句中，能正确描述图1的有 （填序号）， ①直线a经过O，B两点； ②直线a，b相交于点O； ③点A在直线b的延长线上； ④经过O，A两点有且只有一条直线b． (2)已知平面上三点A，B，C，如图2，按下列语句画图： ①画射线AB，直线AC； ②连接BC，并延长BC到点D，使． 【答案】(1)①②④ (2)画图见详解． 【分析】利用直线、射线、线段的定义，根据题中的几何语言画出对应的几何图形． 【详解】（1）①正确，点O点B都在直线a上．②正确，直线a，b的交点是点O． ③错误，直线b向两端无限延伸的，点A在直线b上． ④正确，两点确定一条直线． 故：①②④正确． （2）①如图，射线AB，直线AC就是所求的线；②连接BC，并延长BC到点D，使．如图线段BD就是所求的线段． 【点睛】本题考查了直线射线以及线段的知识，解题的关键是掌握三者各自的特点． 题型02 画出直线、射线、线段 【典例1】如图，点C是线段外一点，用没有刻度直尺和圆规画图： (1)画射线； (2)画直线； (3)延长线段到E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画出直线、射线、线段，理解相关定义是解答的关键． （1）根据射线定义画图即可； （2）根据直线定义画图即可； （3）根据线段定义画出线段，再利用圆规截取，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求作： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：如图，点E即为所求作： 【变式1】如图，平面上有射线和点，请用尺规按下列要求作图： （1）连接，并在射线上截取； （2）连接，并延长到E，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段的画法；熟练掌握尺规作图是解题的关键． （1）由题意画出图形即可； （2）由题意画出图形即可． 【详解】（1）连接，并在射线上截； 如图1所示： （2）连接，并延长到E，使． 如图2所示： 【变式2】作图题：已和直线m（如图）． (1)在直线m上任取三点A、B、C，且点C在点A、点B之间． (2)在直线m外任取一点D，作直线，射线，线段． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是点与直线的位置关系，画直线，射线，线段，理解直线，射线，线段的含义是解本题的关键； （1）根据点C在点A、点B之间，再直线上确定A，B，C三点即可； （2）根据直线，射线，线段的含义画图即可． 【详解】（1）解：如图，A，C，B即为所求；   ． （2）如图，直线，射线，线段即为所求；    ． 题型03 点与线的位置关系 【典例1】如图，平面上有三个点A，B，C． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线AB；在射线上取一点D（不与点C重合），使； (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：_______； ②若，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)①点D在直线外；②3 【分析】本题考查了直线、射线、点的作图与位置关系，解题的关键是掌握直线、射线、点的作图与位置关系． （1）按照题意作图即可； （2）①根据点与直线的位置关系解答即可； ②利用线段的和差计算线段长． 【详解】（1）如图，射线，直线；射线上一点D；    （2）①点D与直线的关系：点D在直线外； 故答案为：点D在直线外； ②∵， ∴． 故答案为：3． 【变式1】点A，B，C，D的位置如图所示，按下列语句画出图形：    (1)画直线，直线，它们相交于点； (2)连接，连接，它们相交于点； (3)画射线，射线，它们相交于点； (4)作一点，使点既在直线上又在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）连接、，画出直线，直线，交点记为即可； （2）连接、，交点记为即可； （3）连接、，画出射线，射线，交点记为即可； （4）根据点既在直线上又在直线上，得出点即是直线与的交点即可． 【详解】（1）如下图，连接、，画出直线，直线，交点记为．      （2）如下图，连接、，交点记为．    （3）如下图，连接、，画出射线，射线，交点记为．    （4）如下图，点既在直线上又在直线上，故点即是直线与的交点．    【点睛】本题考查了直线、射线、线段、交点的作图，理解题意作图是解题的关键． 题型04 直线、线段、射线的数量问题 【典例1】如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有______条线段，以A为端点的线段有_____条； ②___________． (2)若D是线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【答案】(1)①6；3，②； (2) 【分析】本题主要考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算； （1）①根据两点确定一条线段进行求解即可；②根据线段的和差关系求解即可； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①图中的线段有共6条线段，其中以A为端点的线段有3条； ②由题意得，； （2）解：∵D是线段的中点，， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有_____条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了作直线、线段、射线，直线、线段、射线的数量问题等知识．熟练掌握作直线、线段、射线，直线、线段、射线的数量问题是解题的关键． （1）根据作直线、线段、射线，作图即可； （2）根据作线段作图即可； （3）根据线段的数量问题作答即可． 【详解】（1）解：如图1，直线，线段，射线即为所作；           图1 （2）解：如图1，线段即为所作； （3）解：由题意知，图中线段有、、、、、，一共6条， 故答案为：6． 题型05 线段的应用 【典例1】如图，A、B、C、D四点在一条直线上，根据图形填空： (1)图中共有线段_______条； (2)若C是的中点，，，求线段的长． 【答案】(1)6； (2)12cm． 【分析】本题考查线段的和差和中点有关的计算，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键． （1）根据线段定义数出线段即可； （2）根据图形，由线段和差和线段中点求解即可． 【详解】（1）解：图中线段有，共6条线段， 故答案为：6； （2）解：∵C是中点， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若． ①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查线段以及线段中点的定义，线段的和差倍数关系等相关知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． （1）根据线段的定义可知图中的线段的条数； （2）①根据线段的和差关系即可得到结论；②根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； （3）根据线段的和差倍关系即可求得线段的长度； 【详解】（1）解：图中有，，，，，， 共有条线段； （2）解：①根据图可得：，， ， ， ② M是AB的中点，N是CD的中点， ，， ， （3）解：，， 是的中点，是的中点 【变式2】观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10条，见解析； (2)共握了105次； (3)共送了210张． 【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案； （2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案； （3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别． 题型06 线段中的有关计算 【典例1】如图，线设，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解： ， ， ∴ ． 【变式1】数学课上，王老师在黑板上写出了一道题让大家回答，题目如下： 在直线上取A，，三点，使得，；如果是线段的中点，那么线段的长度是多少？ 学生小明读完题后，稍微一想就画出了如图所示图形，并进行了解答： 因为，是线段的中点， 所以______， 因为____________，， 所以______cm． (1)请你帮助小明将其解答过程在横线上补充完整． (2)学生小惠看完小明的解答后，对其产生了质疑，她认为小明对此题的考虑不全面，忽略了一种情况．请你把小明忽略的那种情况画出图形，并模仿（1）中的格式进行解答． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段的和差和线段的中点的定义，解题关键是掌握各点之间的位置关系． （1）先计算，再根据线段之间的和差关系进行加减即可； （2）画出图形后利用即可求解． 【详解】（1）解：因为，是线段的中点， 所以 ， 因为 ，， 所以 cm． （2）解：如图所示： 因为，是线段的中点， 所以 ， 因为 ，， 所以 cm． 题型07 与线段有关的动点问题 【典例1】在数轴上，点为原点，点表示的数为，动点在数轴上移动（点在点右侧），总保持（大于且小于），设点表示的数为． (1)如图1，当动点在线段上移动时， ①若，且为中点时，则点表示的数为 ___________； ②若，求多项式的值； (2)当线段在射线上移动时，且，用含的式子表示． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题主要考查了列代数式和数轴，解题的关键是找到等量关系，列出代数式，注意运用分类讨论的数学思想解答（2）题． （1）①运用两点间的距离公式求解；②根据得到，然后整体代入求值； （2）分类讨论：点在线段上和点在线段上两种情况． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 当点位于原点左侧时，，，， 由题意，得：， 解得：； 如图2， 当点位于原点右侧时，由题意，得： ， 解得：； 综上可知，或． 【变式1】探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为； (1)则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到三点的距离之和最小？ (3)结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时的范围是______； ②代数式的最小值是______，此时的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】(1)6，，x, (2)①点A和点B之间；②点B上 (3)①7，②；③ 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离最值问题，掌握数轴上两点之间的距离公式、绝对值的性质是解题的关键． （1）探索材料1（填空）：根据给出的材料填写即可； （2）探索材料2（填空）：分情况讨论点P的位置，使点P到其他点的距离之和最小； （3）结论应用（填空）：根据探索材料2得出的结论填写即可． 【详解】（1）∵ 故答案为： （2）①（i）当点P在点A左边时， （ii）当点P在点A与点B之间时， （iii）当点P在点B右边时， ∴当点P在点A和点B之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A和点B之间 ②（i）当点P在点A左边，， （ii）当点P在点A和点B之间，， （iii）当点P在点B和点C之间， （iv）当点P在点C右边， ∴最小值为，当点P在点B上时，值最小为 ∴当点P在点B上时，才能使P到A，B，C三点的距离之和最小 故答案为：点B上． （3）①由探索材料2得，当时，有最小值，最小值为 ②由探索材料2得，这是在求点x到三个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为 ③由探索材料2得，这是在求点x到四个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为 故答案为：①②③ 【变式2】如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据线段中点的定义进行分类讨论，并列出方程是解决问题的关键． （1）根据线段，C为的中点即可得AC的长； （2）依题意得：，然后分三种情况讨论如下：①当点C为的中点时，②当点P为的中点时，③当点Q为的中点时，再根据每一种情况画出图形，利用线段中点的定义列出方程求出x即可． 【详解】（1）线段，C为的中点， ． （2）存在． 依题意得：， 由（1）可知：， 分三种情况讨论如下： ①当点C为的中点时：则，如图1所示： ，， ， 解得：（不合题意，舍去）； ②当点P为的中点时，则，如图1所示： ， ， ， ， 解得：； ③当Q为的中点时，则，如图2所示： ，， ， 解得：． 综上所述：当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 题型08 两点间的距离 【典例1】追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 【变式1】已知点在线段上，．点在线段上，点在点的左侧，点在点的右侧，，线段在线段上移动．    (1)如图①，当为的中点时，求的长； (2)如图②，当时，求的长． 【答案】(1)24； (2)4． 【分析】本题考查了两点间的距离，熟练掌握各线段之间的和、差及倍数之间的关系是解答关键. （1）根据已知求出的长度，再利用线段和差求解； （2）根据已知求出的长度，进而求出的长度，再利用等式的性质求解． 【详解】（1）解：， ． 为的中点， ． ， ． （2）解：， ． ， ， ． 【变式2】如下图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，．若为上一点，且满足，试说明：是线段的中点． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，由线段的中点定义及线段的和差得，再根据线段中点的定义及表示出，即可说明问题．解题的关键是理解线段的中点定义：一条线段的中点只有一个；某一点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：点必须在这条线段上；它把这条线段分为相等的两条线段． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 由题意及图形知：点在线段上， 即是线段的中点． 题型09 最短路径问题 【典例1】如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称最短路线问题，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．分别做出点关于的对称点，根据两点之间线段最短画图即可． 【详解】解：分别做出点关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点即为所求点． 【变式1】如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 【变式2】 如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置． 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 一、单选题 1．下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 【答案】B 【分析】此题主要考查了线段的性质，直接利用两点之间线段最短分析即可得出答案． 【详解】解：①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，不能用“两点之间线段最短”来解释， ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，可用“两点之间线段最短”来解释． 故选：B． 2．点，，在直线上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比较线段的长短，根据直线上，，的位置，判断即可． 【详解】解：A、由图可知，故A选项正确，不符合题意； B、由图可知，故B选项正确，不符合题意； C、由图可知，故C选项正确，不符合题意； D、由图可知，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 3．下列说法正确的是（　　） A．延长直线 B．延长射线 C．反向延长射线 D．延长线段到点，使 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的概念，注意用两个字母表示射线时，端点的字母放在前边．根据直线、射线、线段的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．延长直线，说法错误，不符合题意； B．延长射线，说法错误，不符合题意； C．反向延长射线，说法正确，符合题意； D．延长线段到点，则，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．如图，图中以为一个端点的线段共有（   ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据线段的定义即可判断．本题主要考查线段的概念，关键是要牢记线段的定义． 【详解】解：以为端点的线段有、、，共三条， 故选：B． 5．已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键． 根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可． 【详解】∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 故选： D． 6．如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质进行求解是解决本题的关键．应用两点的所有连线中，线段最短．进行判定即可得出答案． 【详解】根据题意可得， 从学校到公园有①、②、③、④四条路线，其中线段最短， 最短的路线是③． 故选：C． 7．下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【答案】B 【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案． 【详解】解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意； B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意； C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意； D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 8．如图，已知线段，点在上，，是中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：由M是中点，得 ， 由线段的和差，得 ， 故选：B． 9．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选A． 10．已知如图，点C是线段 的中点，且，若，则线段的长是（　　　） A．8 B．21 C．20 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段中点的定义得到，进而求出，则． 【详解】解：∵线段，点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果两颗棋子连成的直线上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．如图所示，图中“同棋共线”的直线共有 条． 【答案】10 【分析】本题考查了直线，掌握同棋共线是解题的关键． 分两类去数，白棋共线的条数，黑棋共线的条数，相加即可． 【详解】解：∵白棋共线的线有6条，黑棋共线的线有4条， ∴同棋共线的线共有10条． 故答案为：10． 12．如图，图中线段共有 条． 【答案】 【分析】根据线段和直线的性质，熟练掌握线段和直线的性质是解题的关键； 根据图形结合线段的性质求解即可； 【详解】本图中的线段有：，，，，，，共条线段； 故答案为： 13．如图所示，若C为线段的中点，D在线段上，，则的长度是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了两点间的距离．利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．由已知条件知， ，由即可求得结果． 【详解】∵线段，线段， ∴， ∵C为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：1． 14．开学整理教室时，卫生委员总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌就摆在一条线上，整整齐齐，其运用的数学原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】此题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，正确将实际生活知识与数学知识联系是解题关键．利用直线的性质进而分析得出即可． 【详解】其运用的数学原理是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 15．、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 【答案】 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是理解题意． （1）根据题中的连线规则解答即可； （2）根据题意分情况讨论：①若连接，②若连接，③若连接，即可求解． 【详解】解：（1） 、两点之间已有一条线段，、、之间已有两条线段， 、不可以连接， 可与、各连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 还可以与连接一条线段， 、、之间已有两条线段， 不能再与其他点连接， 而与已连接， 也不可再连接， 为最后一个点，也没有可连接的点， 共（种）， 故答案为：； （2）①若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接，、可以连接， 可以连接，，共条； ②若连接，则、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 、、之间已有两条线段， 、不可再连接， 可以连接，共条； ③若连接，则同①还可以连接、，则、不可连接， 可以连接，，共条； 综上所述，最多可以增加条线段， 故答案为：． 16．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键．根据直线的性质：两点确定一条直线即可得． 【详解】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 17．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点经过直线，说明点在直线上和点不经过直线，说明点在直线外是解题的关键．依据点与直线的位置关系进行判断，即可得到正确结论． 【详解】 由图可得，①点B在直线上，正确； ②直线不经过点C，错误； ③直线两两相交，正确； ④点B是直线的交点，正确； 故答案为：①③④． 18．如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 【答案】图形见解析，或 【分析】本题主要考查线段和尺规作图，分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧． 【详解】分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧，如图所示． 点位于点的左侧时，． 点位于点的右侧时，． 故答案为：或 三、解答题 19．如下图，用圆规和直尺作线段AB，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查尺规作图作线段．熟练掌握作线段等于已知线段的方法，是解题的关键． 以为端点，作射线，以为端点，在射线截取线段，再以为端点，在射线截取线段，则：线段，即为所求． 【详解】解：如图所示，线段AB即为所求． 20．（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 【答案】（1）①6；② 6；（2） 【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键． （1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答； （2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴； ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，． (1)利用刻度尺或圆规，在图①数轴上画出原点；                  图① (2)在图②数轴上分别画出表示数和的点，并且比较与的大小．（画图时可作适当的文字说明）                 图② 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，． 【分析】本题考查了整式的加减，数轴等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键． （1）以所在点为原点，到的距离为半径即可在数轴上画出原点； （2）利用尺规作图作出表示的点和表示的点，现根据点和点在数轴上的位置即可比较与的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴，表示的点之间为1个单位长度，先用刻度尺或圆规量出，两点间的距离，再从右侧画出距离1个单位长度的点，这个点就是原点；如图所示： ； （2）解：如图，∵，， ∴作，，则点表示， 作，则点表示， ∴． 22．如下图所示，点P在线段上，，M为的中点，N为的中点．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的和差关系、线段中点的含义等知识点，利用线段的中点与和差关系求解线段的长度是解题的关键． 由线段的中点的定义可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意，得． 所以． 23．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得， ， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 线段、射线、直线 课程标准 学习目标 线段、射线、直线 1.能初步认识线段、射线、直线的概念 2.了解“两点之间,线段最短”的性质,并能熟练地比较两条线段的长短. 3.能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短. 知识点01 线段、射线、直线及其画法 【即学即练1】 请写出图中以为端点的各条射线． 【即学即练2】 如图，A，B，C是同一直线上的三个点．图中有几条射线？在不增加字母的情况下，能表示出的射线共几条？是哪几条？ 知识点02 直线的性质 点与直线的位置关系:(1)点在直线上(直线经过这个点);(2)点在直线外(直线不经过这个点). 相交直线:当两条不同的直线 一个公共点时,称这两条直线 ,这个公共点叫做它们的交点. 直线的性质:过两点有且只有一条直线，它可以简单说成两点 一条直线 【即学即练1】 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？ 知识点03 线段的比较 线段长短的比较方法:测量法和 法. 线段的性质:两点之间的所有连线中,线段最短,简单说成“两点之间,线段最短” 两点之间的距离:连接两点的线段的长度,叫做这两点间的距离. 【即学即练1】 比较折线AB和线段的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 知识点04 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫尺规作图. 【即学即练1】 根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 知识点05 利用线段的中点,求线段的长 线段的中点:若点B在线段AC上,且把线段AC分成相等的两条线段AB和BC,这时点 B叫做线段AC的中点. 【即学即练1】 如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 题型01 直线、射线、线段的联系与区别 【典例1】直线、射线、线段是否有长短？ 【变式1】判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 【变式2】数学学习过程中，正确掌握几何语言是学好几何知识的必备条件． (1)下列语句中，能正确描述图1的有 （填序号）， ①直线a经过O，B两点； ②直线a，b相交于点O； ③点A在直线b的延长线上； ④经过O，A两点有且只有一条直线b． (2)已知平面上三点A，B，C，如图2，按下列语句画图： ①画射线AB，直线AC； ②连接BC，并延长BC到点D，使． 题型02 画出直线、射线、线段 【典例1】如图，点C是线段外一点，用没有刻度直尺和圆规画图： (1)画射线； (2)画直线； (3)延长线段到E，使． 【变式1】如图，平面上有射线和点，请用尺规按下列要求作图： （1）连接，并在射线上截取； （2）连接，并延长到E，使． 【变式2】作图题：已和直线m（如图）． (1)在直线m上任取三点A、B、C，且点C在点A、点B之间． (2)在直线m外任取一点D，作直线，射线，线段． 题型03 点与线的位置关系 【典例1】如图，平面上有三个点A，B，C． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线AB；在射线上取一点D（不与点C重合），使； (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：_______； ②若，则_______． 【变式1】点A，B，C，D的位置如图所示，按下列语句画出图形：    (1)画直线，直线，它们相交于点； (2)连接，连接，它们相交于点； (3)画射线，射线，它们相交于点； (4)作一点，使点既在直线上又在直线上． 题型04 直线、线段、射线的数量问题 【典例1】如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有______条线段，以A为端点的线段有_____条； ②___________． (2)若D是线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【变式1】如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有_____条． 题型05 线段的应用 【典例1】如图，A、B、C、D四点在一条直线上，根据图形填空： (1)图中共有线段_______条； (2)若C是的中点，，，求线段的长． 【变式1】如图，已知、在线段上． (1)图中共有_______条线段； (2)若． ①比较线段的长短： _______ （填：“”、“”或“”）； ②若，，是的中点，是的中点，求的长度． (3)若与长度不相等，是的中点，是的中点，设，．请用含有，的代数式表示的长度．（直接写出结果） 【变式2】观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 题型06 线段中的有关计算 【典例1】如图，线设，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【变式1】数学课上，王老师在黑板上写出了一道题让大家回答，题目如下： 在直线上取A，，三点，使得，；如果是线段的中点，那么线段的长度是多少？ 学生小明读完题后，稍微一想就画出了如图所示图形，并进行了解答： 因为，是线段的中点， 所以______， 因为____________，， 所以______cm． (1)请你帮助小明将其解答过程在横线上补充完整． (2)学生小惠看完小明的解答后，对其产生了质疑，她认为小明对此题的考虑不全面，忽略了一种情况．请你把小明忽略的那种情况画出图形，并模仿（1）中的格式进行解答． 题型07 与线段有关的动点问题 【典例1】在数轴上，点为原点，点表示的数为，动点在数轴上移动（点在点右侧），总保持（大于且小于），设点表示的数为． (1)如图1，当动点在线段上移动时， ①若，且为中点时，则点表示的数为 ___________； ②若，求多项式的值； (2)当线段在射线上移动时，且，用含的式子表示． 【变式1】探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为； (1)则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到三点的距离之和最小？ (3)结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时的范围是______； ②代数式的最小值是______，此时的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【变式2】如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 题型08 两点间的距离 【典例1】追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【变式1】已知点在线段上，．点在线段上，点在点的左侧，点在点的右侧，，线段在线段上移动．    (1)如图①，当为的中点时，求的长； (2)如图②，当时，求的长． 【变式2】如下图，为线段上一点，为的中点，为的中点，其中，．若为上一点，且满足，试说明：是线段的中点． 题型09 最短路径问题 【典例1】如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【变式1】如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【变式2】 如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 一、单选题 1．下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 2．点，，在直线上的位置如图所示，下列结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．延长直线 B．延长射线 C．反向延长射线 D．延长线段到点，使 4．如图，图中以为一个端点的线段共有（   ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5．已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 6．如图所示，从学校到公园有①②③④四条路线可走，其中最短的路线是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 7．下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 8．如图，已知线段，点在上，，是中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 9．小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 10．已知如图，点C是线段 的中点，且，若，则线段的长是（　　　） A．8 B．21 C．20 D．12 二、填空题 11．棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果两颗棋子连成的直线上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．如图所示，图中“同棋共线”的直线共有 条． 12．如图，图中线段共有 条． 13．如图所示，若C为线段的中点，D在线段上，，则的长度是 ． 14．开学整理教室时，卫生委员总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌就摆在一条线上，整整齐齐，其运用的数学原理是 ． 15．、、、、是圆上的个点，在这些点之间连接线段，规则如下： 连线规则 任意两点之间至多有一条线段； 任意三点之间至多有两条线段． 如图．已连接线段，，，． （1）若想增加一条新的线段，共有 种连线方式； （2）至多可以增加 条线段． 16．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 17．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 18．如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 三、解答题 19．如下图，用圆规和直尺作线段AB，使（不写作法，保留作图痕迹）． 20．（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 21．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，． (1)利用刻度尺或圆规，在图①数轴上画出原点；                  图① (2)在图②数轴上分别画出表示数和的点，并且比较与的大小．（画图时可作适当的文字说明）                 图② 22．如下图所示，点P在线段上，，M为的中点，N为的中点．求的长． 23．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 24．如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$