精品解析：河南省漯河市第三初级中学2024-2025学年上学期九年级数学期中考试卷

2024-2025九年级上第二次数学教学评估 总分120分 时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共10题，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，则a的值是（　　） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 0或﹣1 4. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ） A. 11 B. 12 C. 22 D. 33 5. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 函数的图象如图所示，则选项中函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知⊙O的半径为3 cm，点P是直线上一点，OP长为5 cm，则直线与⊙O的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能 9. 如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共5题，满分15分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则k的值可以是______．（写出一个即可） 12. 如果正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为__________． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm． 14. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于 _____． 15. 如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是_____． 三、解答题（共8题，满分75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 19. 如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为，水面宽． （1）请你建立合适的平面直角坐标系，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式． （2）已知一艘船（可近似看成长方体）在此航行时露出水面的高度为，若这艘船的宽度为，当水位线比正常水位线高出时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由． 20. 如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，弦于点F，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的差称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． （1）①点的“坐标差”为 　　； ②抛物线的“特征值”为 　　； （2）某二次函数的“特征值”为1，点与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等． ①直接写出　　；（用含c的式子表示） ②求b的值． 23. 如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转． （1）观察猜想 在图1中，当点D在BC上，点E在AC上时，AE与AM的数量关系是________，∠MAE=________； （2）探究证明 将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展应用 若CD=BC，将△CDE由图1位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），当ME=CD时，请直接写出α的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025九年级上第二次数学教学评估 总分120分 时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共10题，满分30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A选项：绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故B符合题意； C选项：绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故C不符合题意； D选项：绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故D不符合题意； 故选：B． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意； B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C中方程是一元二次方程，符合题意； D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 3. 关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，则a的值是（　　） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 0或﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+a＝0，解得a1＝0，a2＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值． 【详解】解：把x＝0代入ax2﹣5x+a2+a＝0得a2+a＝0，解得a1＝0，a2＝﹣1， 而a≠0， 所以a＝﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ） A. 11 B. 12 C. 22 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解． 【详解】解：设参加会议有x人，依题意得， ， 整理，得， 解得，，(舍去) 则参加这次会议的有12人． 故选：B． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为． 5. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由可得，再由可得出． 【详解】解：∵在中， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数的图象的对称轴为y轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再由当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为y轴， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 7. 函数的图象如图所示，则选项中函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．先根据函数的图象判断出，再根据二次函数的图象特点逐一判断选项即可． 【详解】解：∵函数的开口向下，与轴的交点位于正半轴，且对称轴位于轴的右侧， ， ， ∴函数的开口向下，对称轴为直线，与轴的交点位于负半轴， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 8. 已知⊙O的半径为3 cm，点P是直线上一点，OP长为5 cm，则直线与⊙O的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系： 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5. 此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能. 故答案为相切，相交或相离. 【点睛】考查直线和圆的位置关系，需要求出圆心到直线的距离，与半径进行比较即可得出结论. 9. 如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：作于H， ∵直径于H， ∴， ∵，分别切于C，B， ∴，直径， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出的长． 10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即 抛物线与直线有两个交点， ， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 二、填空题（每小题3分，共5题，满分15分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则k的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，据此即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴ 解得：， ∴的值可以是0（答案不唯一）． 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 12. 如果正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质、解直角三角形，关键在于作辅助线构建直角三角形． 过点作，则，在中，即可解答； 【详解】解：如图，过点作，则． ∵是的内心，是等边三角形， ∴， 在中，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm． 【答案】42 【解析】 【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE， ∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°， ∴BD=BC=12cm，△BCD为等边三角形， ∴CD=BC=BD=12cm， 在Rt△ACB中，AB===13， △ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm）， 故答案为：42． 14. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得、是方程的两个根，则有，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可． 【详解】解：点和在二次函数的图象上， 、是方程的两个根， ， 将代入， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键． 15. 如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：A(4，0)，B(0,-3)，作CD ， ,即 ，则 ，则△PAB面积的最大值是 . 三、解答题（共8题，满分75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）运用配方法求解； （2）先化成一般式，再运用公式法或配方法求解． 【小问1详解】 ， ， ∴或． ∴或 【小问2详解】 ， ， ， ∴或． ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：依题意，得 ∵ ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）表示出，根据的数值判断即可； （2）利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程 由（1）得 ∴，∴，， ∵方程的一根大于2，一根小于1， ∴ ∴． ∴m的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点是解题关键． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A； （2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 试题解析：（1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A； （2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切， 故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切． 考点：切线的判定． 19. 如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为，水面宽． （1）请你建立合适的平面直角坐标系，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式． （2）已知一艘船（可近似看成长方体）在此航行时露出水面的高度为，若这艘船的宽度为，当水位线比正常水位线高出时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为（答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同） （2）这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过， 理由如下： 当水位线比正常水位线高出时，此时船的最高点的纵坐标为． 将代入中， 解得， ∴此时与这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为（）． ∵， ∴这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过． 【解析】 【分析】（1）根据拱桥的实际问题建立直角坐标系，再根据建立直角坐标系得到抛物线的解析式即可解答； （2）根据题意得到船的最高点的纵坐标为，再根据抛物线的解析式为得到，进而得到这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为即可解答． 【小问1详解】 解：建立的平面直角坐标系如解图所示． 观察图象，可知该抛物线的顶点为，点． ∴可设该抛物线的解析式为． 将点代入中，得， 解得． ∴该抛物线的解析式为； （答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同）； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数与实际问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，弦于点F，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点为的中点， ∴， 又∵弦，是直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得，进而得到，再根据等腰三角形的判定可得； （2）利用圆心角、弦、弧之间的关系以及垂径定理证得，可得，再结合三角形中位线定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，连接，， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴，， 则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、全等三角形的判定及性质、三角形中位线定理是正确解答的前提． 21. 某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2）70元 （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． (1)设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x的取值范围； (2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； (3)设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得：， ∴， ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ∴自变量x的取值范围是：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； 【小问3详解】 解：设每天获得的利润为w元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 22. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的差称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． （1）①点的“坐标差”为 　　； ②抛物线的“特征值”为 　　； （2）某二次函数的“特征值”为1，点与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等． ①直接写出　　；（用含c的式子表示） ②求b的值． 【答案】（1）①2；②4 （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点的坐标差． ②由坐标差的定义可得：二次函数图象上点的坐标差为：，利用二次函数求最值，即可得出“特征值”． （2）①由题意可得：，由此可得：． ②由可得点B的坐标为，把点B的坐标代入中可得，由可得，即，再由的特征值为1可得：，两者即可解得b和c的值． 【小问1详解】 解：①由题意，得：点的“坐标差”为， 故答案为2； ②抛物线的“坐标差”为 ， ∴当时，的值最大，为4， 所以抛物线的“特征值”为4． 故答案为4； 【小问2详解】 ①∵点C是此二次函数的图象与y轴的交点， ∴， ∵点B与点C的“坐标差”相等． ∴ ∴， 故答案为：． ②∵ ∴B 将其代入中， 得 ∴ ∵ ∴， ∴① ∴其“坐标差”为：． ∴ ∵“特征值”为1， ∴②． 将①代入②中， 解得， 当，， 当，． 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查新定义“坐标差”“特征值”，仔细阅读，掌握新定义的特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，解题的解题关键是能够正确利用题意进行计算，正确利用“特征值”的定义计算． 23. 如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转． （1）观察猜想 在图1中，当点D在BC上，点E在AC上时，AE与AM的数量关系是________，∠MAE=________； （2）探究证明 将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展应用 若CD=BC，将△CDE由图1位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），当ME=CD时，请直接写出α的值． 【答案】 （1）结论：AM=AE，∠MAE=60°． 理由：如图1中， ∵AP=PD，BP=PM， ∴四边形ABDM是平行四边形， ∴AM∥BC， ∴∠MAE=∠C=60°，∠MDC=∠ABC=60° ∴△MAE和△CDE为等边三角形， ∴MA=AE． 故答案为AM=AE，60°． （2）如图2中，连接BD，DM，BD交AC于点O，交AE于G． ∵△ABC与△CDE是等边三角形，， ∴BC=AC，CD=CE， ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=∠ACE， ∴△BCD△ACE， ∴BD=AE，∠CBD=∠CAE， ∴∠ABD+∠CAE=∠CBD+∠ABD =∠ABC=60°， ∴∠BAC+∠HAC +∠ABH =60°+60°=120°， ∴∠AHB=60° ∵AP=PD，BP=PM， ∴四边形ABDM是平行四边形， ∴AM∥BD，AM=BD， ∴∠MAE=∠BHA=60°，AM=AE， （3）拓展应用：60°或300° 【解析】 【分析】（1）证明四边形ABDM是平行四边形即可解决问题． （2）如图2中，连接BD，DM，BD交AC于点H．证明△BCD△ACE，推出BD=AE，∠CBD=∠CAE，即可解决问题． （3）首先证明△AEM是等边三角形，画出图形分别求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）结合（1）的结论，当CD=，0°＜α＜360°时，ME=，如图3， ∴ME=， 又ME=AE， ∴△AEC为直角三角形， ∴∠ACE=60°， ∴α的值可能为60°或300° 综上所述，满足条件的α的值为60°或300°． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $