精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市富裕县益海学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年度上学期阶段质量检测 八年卷 一、单选题 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，根据同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．原式，错误； B．原式，正确； C．原式不能合并，错误； D．原式，错误， 故选：B． 2. 下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”，由此问题可求解． 【详解】解：选项A、B、D不能找到某条直线进行折叠使得直线两旁部分能够完全重合；而选项C可以找到这样的一条直线，故该选项是轴对称图形； 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 3. 若点M(a，-1)与点N(2，b)关于y轴对称，则a+b的值是( ) A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【详解】∵点M(a，-1)与点N(2，b)关于y轴对称， ∴a=-2，b=-1， ∴a+b=-3， 故选B. 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标特定：点P（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为P1（a，-b）；点P（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为P2（-a，b）． 4. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=26°，则∠AEC=（ ） A. 26° B. 32° C. 58° D. 64° 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意证明，可得∠AEC=∠AED，根据直角三角形的两锐角互余，求得∠BED=64°，根据平角的定义即可求解． 【详解】∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴， ∵AD=AC，， ∴（HL）， ∴∠AEC=∠AED． ∵∠B=26°， ∴∠BED=90°-26°=64°． ∴∠AEC=∠AED=(180°-64°) ÷2=58°． 故选C． 【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，以及全等的性质，直角三角形的两个锐角互余，求得∠BED=64°是解题的关键． 5. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握概念是解题的关键．根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意； B、，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； C、不是因式分解，故此选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 某学校七年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用构成三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a， 则根据题意有：，即， 当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，或者， 综上a的取值范围为：， 据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边． 7. 如图，正方形中，点、、、分别为、、、边上的点，点、、为对角线上的点，四边形和四边形均为正方形，它们的面积分别表示为和， 给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，进而得到，根据正方形的面积公式即可判断①；根据，，，即可判断②；由，，可判断③． 【详解】解：①四边形是正方形， ， 四边形和四边形均为正方形， ，， 和都是等腰直角三角形， ，， 同理可得， ， ，， ，故①错误； ②和都是等腰直角三角形， ，， 四边形为正方形， ， ，故②正确； ③由①知：，， ，故③正确； 故选：C． 8. 如果是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式得出，再求出即可，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】是一个完全平方式， ， ， 故选：B． 9. 如图，，，在同一直线上，的平分线与的平分线交于点，，分别交于点，交于点，连接，．有以下结论：①；②是等腰三角形；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BAE＝∠AEF，可得AF＝EF，故①正确；由“SAS”可证△BCE≌△BDE，可得CE＝DE，即△CDE是等腰三角形，故②正确；由角平分线的性质可得EN＝EH＝EM，可证∠ECN＝∠ECB，由平行线的性质可得∠CEF＝∠ECB，可得GC＝GE，故③正确；由CE不平行AB，可得∠CEF与∠EFD不相等，可得EF与ED不相等，即EC与EF不相等，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵EF∥AC， ∴∠CAE＝∠AEF， ∴∠BAE＝∠AEF， ∴AF＝EF，故①正确； ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠DBE， 又∵BC＝BD，BE＝BE， ∴△BCE≌△BDE（SAS）， ∴CE＝DE， ∴△CDE是等腰三角形，故②正确； 如图，过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥AC，交AC的延长线于点N，EH⊥BC于点H， ∵AE平分∠CAB，BE平分∠CBD，EM⊥AD，EN⊥AC，EH⊥BC， ∴EN＝EH＝EM， 又∵EN⊥AC，EH⊥BC， ∴CE平分∠BCN， ∴∠ECN＝∠ECB， 又∵EF∥AC， ∴∠ECN＝∠CEF， ∴∠CEG＝∠ECG，故③正确； ∵CE与AF不平行， ∴∠CEF与∠EFD不相等， ∵△BCE≌△BDE， ∴∠EDB＝∠ECB＝∠CEG， ∴∠EDB与∠EFD不相等， ∴ED与EF不相等，即EC与EF不相等，故④错误， 故选C 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握常规辅助线的添加是解题的关键． 10. 如图，在直角坐标系中，正的边在轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟知等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 过点的对应点作轴的垂线，利用勾股定理及等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：令点和点旋转后的对应点分别为和，过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知， 是等边三角形，且边长为2， ，轴， ， 则． 在中， ， 所以点的坐标为． 故选：D． 二、填空题 11. 多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，由此可得和此单项式分成一组后应得到公因式，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴第一种情况，与一组， ∴ ； 第二种情况，与一组， ∴ ； 故答案为：或． 12. 已知2m＝3，2n＝5，则22m﹣2n的值是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的相关运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的乘方运算以及同底数幂除法运算等，掌握幂的基本运算法则是解题关键． 13. 若，，则________． 【答案】xy 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算性质的逆用计算即可． 【详解】2a+b=2a×2b=xy 故答案为：xy． 【点睛】本题利用同底数幂的乘法求解，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键． 14. 已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC=________； 【答案】120° 【解析】 【详解】已知AB=AC，∠BAC=120°，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠C=∠B=30°，又因AC的垂直平分线交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，根据等腰三角形的性质可得∠DAC=∠C=30°，所以∠ADC=180°-∠DAC-∠C=120°． 点睛：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并利用三角形的内角和定理是解题的关键． 15. 计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【详解】解:. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了单项式乘单项式，在计算时应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积． 16. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有 _________（填序号，多选）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，或者用两种方法表示同一个图形的面积，继而可得出验证公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式； 在图②中，除右下角阴影部分的面积外，剩余部分的面积可以表示为a2﹣b2，也可以表示为（a﹣b）（a+b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式； 在图③中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式； 在图④中，阴影部分的面积可以表示为（a+b）2﹣4ab，也可以表示为（a﹣b）2，由此可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，没法验证平方差公式． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式来证明a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 17. 如图，在中，，交于点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，由，根据三角形的内角和定理得，由垂直定义得，则，由角的直角三角形的性质得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 若,，则的值为______ 【答案】5或 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的变形求值，求出，得到，再分两种情况进行求出的值. 【详解】解：∵,， ∴ ∴ 当时， 当时，， 即的值为5或. 故答案为：5或 19. 等腰三角形腰上的高与腰的夹角为47°，则这个三角形的顶角为_____度． 【答案】43或137 【解析】 【分析】分等腰三角形为锐角等腰三角形和钝角三角形两种情况，分别按照三角形外角的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：①此等腰三角形为钝角三角形， ∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°， ∴此三角形的顶角＝90°+47°＝137°， ②此等腰三角形为锐角三角形， ∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°， ∴此三角形的顶角＝90°﹣47°＝43°． 故答案为：43或137． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质和分类讨论思想是解答本题的关键． 20. 如图，点是的中点，，，，则________． 【答案】35 【解析】 【分析】由平行得证，求证，进一步得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：35． 【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 三、解答题 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；9 【解析】 【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项即可化简，然后将字母的值代入即可求解． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 22. 如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2． （1）你能在方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出． （2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形． （3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法． 【答案】 （1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求； （2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求； （3）5，作图及说明： 如图所示， 在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF， DM、FM即为裁剪线， 将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG重合，得到正方形DMFH， ∴剪出的块数最少为5块． 【解析】 【分析】（1）画出边长为的正方形即可； （2）结合例题，画出边长为的正方形即可； （3）在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，然后拼成大正方形即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查图形的拼接，全等三角形的判定与性质，勾股定理，确定正方形的边长是解题的关键． 23. 定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外） （2）像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数． 【答案】（1）9，7（答案不唯一） （2）787与679或147与39 【解析】 【分析】（1）根据数可以表示成（，为自然数）的形式，则称为“希尔伯特”数．得出；即可； （2）设第一个“希尔伯特”数为，第二个“希尔伯特”数为，两数作差求解即可． 【小问1详解】 解：；；；； ∴9，7是“希尔伯特”数；（答案不唯一） 【小问2详解】 解：设第一个“希尔伯特”数为， 第二个“希尔伯特”数为， ∴ = ， ∵它们的差是108， ∴， ∴，即， ∵m，n为正整数， ∴或， 解得或， 当时， ∴， ， 当时， ∴， ， ∴这两个“希尔伯特”数分别为787与679或147与39． 【点睛】本题考查新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组，掌握新定义数的运算，含乘方的有理数混合运算，完全平方公式，平方差公式，二元一次方程组是解题关键． 24. 通过前面的学习，我们知道了和这三个特殊角的三角函数值，下面让我们一起尝试探究角的正切值吧！ （1）方法一：如图1，在中，， 步骤 操作方法 具体过程 步骤一 在含角的直角三角形中构造角 延长到点D，使，连接．可以找到的角有______个． 步骤二 找到含有角的直角三角形，并表示角的对边与邻边 在中，设，那么， 步骤三 计算角的正切值 则______ 方法二：如图2，在等腰三角形中，， 步骤 操作方法 具体过程 步骤一 在顶角为的等腰三角形中构造角 过点E作，垂足为H．过点G作，垂足为P． 可以找到的角有______个． 步骤二 找到含有角的直角三角形，并表示角的对边与邻边 （请自己写出具体过程） 步骤三 计算角的正切值 则______ （2）根据角的正切值的探究过程，请尝试求角的正切值，直接写出答案． 【答案】（1）方法一：2，；方法二：， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，三角形内角和定理，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）方法一：如图所示，延长到点D，使，连接，先由等边对等角得到，再由三角形外角的性质得到，在中，设，则，，进而得到，在中，；方法二：过点E作，垂足为H，过点G作，垂足为P，根据等边对等角得到，由三线合一定理和三角形内角和定理得到，，在中，设，则，则，在中，； （3）如图所示，在中，，延长到点D，使，连接，先根据等边对等角得到，，则由三角形外角的性质得到，在中，设，则，，则，在中，． 【小问1详解】 解：方法一：如图所示，延长到点D，使，连接， ∴， ∵， ∴， 在中，设，则，， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：2；； 方法二：过点E作，垂足为H，过点G作，垂足为P， ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，， ∴，， 在中，设，则， ∴， 在中，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图所示，在中，，延长到点D，使，连接， ∴，， ∵， ∴， 在中，设，则，， ∴， 在中， ∴． 25. 为了进一步落实“双减”政策，丰富多彩的课外活动，如篮球、足球、徒步行等运动形式，实验学校九年级（1）班准备购买一些篮球和足球．据了解，购买8个篮球和10个足球共需2000元；购买10个篮球和20个足球共需3100元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）若该班恰好用3500元购买这些篮球和足球（两种均购买），求共有几种购买方案； （3）实验学校组织了一次远足活动，由九年级（1）班男生拿着校旗打头阵，一名教师负责摄影，学生们匀速步行从学校出发，教师等学生们都出发后，骑车匀速出发，追上拿着校旗的同学后为学生们拍照，后继续按原骑车速度追赶学生，与学生一起到达人工湖休息．如图是教师和学生间的距离y（单位：）与学生出发时间单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： ①图中a的值是 ； ②请直接写出教师出发多长时间，教师与拿着校旗的学生相距． 【答案】（1）篮球的单价为元，足球的单价为元 （2）共有3种采购方案 （3）①；②或或 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、从函数图象提取信息，读懂题意，能正确识图，根据题意，正确的列出二元一次方程（组）是解题的关键． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可； （2）设购买篮球个，足球个，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得解； （3）①根据图象求得学生步行的速度为，教师的骑车时间为，教师的骑车速度为：，再根据学生出发，教师追上学生列方程求解即可； ②设教师出发，分三种情况：当教师出发，在拍照前教师追赶拿着校旗的学生相距时，当教师出发，拍照时，拿着校旗的学生超过教师时，当教师出发，达到人工湖之前，教师追赶拿着校旗的学生相距时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意，得： ，解得：， ∴篮球的单价为元，足球的单价为元； 【小问2详解】 设购买篮球个，足球个， 则：， ∴， ∵，，且，均为正整数， ∴方程的解为：或或， ∴共有3种采购方案： 方案1：采购18个篮球，10个足球； 方案2：采购10个篮球，25个足球； 方案3：采购2个篮球，40个足球． 【小问3详解】 ①由题意可知，学生步行的速度为， 则全程为：， 教师的骑车时间为：学生步行时间减去学生提前出发，再减去教师拍照时间， 则教师的骑车时间为：， ∴教师的骑车速度为：， 由题意可知，学生出发，教师追上学生：， 解得：， 故答案为：； ②设教师出发， 当教师出发，在拍照前教师追赶拿着校旗的学生相距时， 则，解得：； 当教师出发，拍照时，拿着校旗的学生超过教师时， 即教师追上学生后时，此时； 当教师出发，达到人工湖之前，教师追赶拿着校旗的学生相距时， 则，解得：； 综上，教师出发或或时，教师与拿着校旗的学生相距． 26. 如图，，是的对角线上两点，且，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质证，得，则，再由平行线的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及平行线的性质与判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中,，//x轴，. （1）求点D的坐标： （2）四边形的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）7（3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）抓住∥轴，可以推出纵坐标相等，而是横坐标之差的绝对值，以此可以求出点的坐标，根据图示要舍去一种情况. （2）四边形是梯形，根据点的坐标可以求出此梯形的上、下底和高，面积可求. （3）存在性问题可以先假设存在，在假设的基础上以 为等量关系建立方程，以此来探讨在轴上是否存在着符合条件的点. 【详解】解：（1）∵∥轴, ∴纵坐标相等; ∵ ∴点的纵坐标也为2. 设点的坐标为，则. 又，且， ∴，解得：. 由于点在第一象限，所以，所以的坐标为. （2）∵ ∥轴，且 ∴ ∴四边形 = . （3）假设在轴上存在点,使， 设的坐标为，则，而， ∴. ∵ , ∴ ，解得；.均符合题意. ∴在轴上存在点,使 . 点的坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期阶段质量检测 八年卷 一、单选题 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点M(a，-1)与点N(2，b)关于y轴对称，则a+b的值是( ) A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 4. 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=26°，则∠AEC=（ ） A. 26° B. 32° C. 58° D. 64° 5. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校七年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形中，点、、、分别为、、、边上的点，点、、为对角线上的点，四边形和四边形均为正方形，它们的面积分别表示为和， 给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 如果是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，在同一直线上，的平分线与的平分线交于点，，分别交于点，交于点，连接，．有以下结论：①；②是等腰三角形；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在直角坐标系中，正的边在轴的正半轴上，若，则正绕着点顺时针旋转后，点的对应点坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为______． 12. 已知2m＝3，2n＝5，则22m﹣2n的值是 ___． 13. 若，，则________． 14. 已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC=________； 15. 计算的结果是_______． 16. 如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有 _________（填序号，多选）． 17. 如图，在中，，交于点，，则_____． 18. 若,，则的值为______ 19. 等腰三角形腰上的高与腰的夹角为47°，则这个三角形的顶角为_____度． 20. 如图，点是的中点，，，，则________． 三、解答题 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2． （1）你能在方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出． （2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形． （3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法． 23. 定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外） （2）像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数． 24. 通过前面的学习，我们知道了和这三个特殊角的三角函数值，下面让我们一起尝试探究角的正切值吧！ （1）方法一：如图1，在中，， 步骤 操作方法 具体过程 步骤一 在含角的直角三角形中构造角 延长到点D，使，连接．可以找到的角有______个． 步骤二 找到含有角的直角三角形，并表示角的对边与邻边 在中，设，那么， 步骤三 计算角的正切值 则______ 方法二：如图2，在等腰三角形中，， 步骤 操作方法 具体过程 步骤一 在顶角为的等腰三角形中构造角 过点E作，垂足为H．过点G作，垂足为P． 可以找到的角有______个． 步骤二 找到含有角的直角三角形，并表示角的对边与邻边 （请自己写出具体过程） 步骤三 计算角的正切值 则______ （2）根据角的正切值的探究过程，请尝试求角的正切值，直接写出答案． 25. 为了进一步落实“双减”政策，丰富多彩的课外活动，如篮球、足球、徒步行等运动形式，实验学校九年级（1）班准备购买一些篮球和足球．据了解，购买8个篮球和10个足球共需2000元；购买10个篮球和20个足球共需3100元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）若该班恰好用3500元购买这些篮球和足球（两种均购买），求共有几种购买方案； （3）实验学校组织了一次远足活动，由九年级（1）班男生拿着校旗打头阵，一名教师负责摄影，学生们匀速步行从学校出发，教师等学生们都出发后，骑车匀速出发，追上拿着校旗的同学后为学生们拍照，后继续按原骑车速度追赶学生，与学生一起到达人工湖休息．如图是教师和学生间的距离y（单位：）与学生出发时间单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： ①图中a的值是 ； ②请直接写出教师出发多长时间，教师与拿着校旗的学生相距． 26. 如图，，是的对角线上两点，且，求证：． 27. 如图，在平面直角坐标系中,，//x轴，. （1）求点D的坐标： （2）四边形的面积； （3）在y轴上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $