第12讲 二元一次方程组的应用（4个知识点+7种题型+过关检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）

第12讲 二元一次方程组的应用（4个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 知识点2．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 知识点3．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 知识点4．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一、方案问题(二元一次方程组的应用) 1．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（    ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 【答案】C 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数=260；C种奖品个数为3或4个，设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解． 【详解】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个， 当C种奖品个数为3个时 根据题意得 整理得 都是正整数， 当C种奖品个数为4个时 根据题意得 整理得 都是正整数， 有种购买方案 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.要注意题中未知数的取值必须符合实际意义． 2．（21-22七年级上·安徽六安·期末）有三个家庭团队结伴到一景区游玩，一号家庭团队有3个成年人和4个小孩参加，共交费150元，二号家庭团队有2个成年人和1个小孩参加，共交费75元，按照这样的收费标准，三号家庭团队有1个成年人和3个小孩参加，所需的费用为 元． 【答案】75 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设每张成人票的价格为x元，每张儿童票的价格为y元，根据“一号家庭团队有3个成年人和4个小孩参加，共交费150元，二号家庭团队有2个成年人和1个小孩参加，共交费75元”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，两方程相减即可求出三号家庭团队所需的费用． 【详解】解：设每张成人票的价格为x元，每张儿童票的价格为y元， 根据题意得：， ①-②，得：x+3y=75， 所以，三号家庭团队有1个成年人和3个小孩参加，所需的费用为75元 故答案为：75． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出方程组是解题的关键． 3．（22-23七年级上·安徽宣城·期末）某医疗器械厂计划用600万元资金采购一批口罩生产机器，其中甲型机器每台的售价为10万元，乙型机器每台的售价为45万元．若购买甲型机器的数量是乙型机器数量的5倍还多3台，则甲、乙两种机器分别购入多少台？ 【答案】甲型机器购买33台，乙型机器购买6台 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据两个等量关系：用600万元资金与甲型机器的数量是乙型机器数量的5倍还多3台，设甲型机器购买x台，乙型机器购买y台，列方程组解出即可． 【详解】解：设甲型机器购买x台，乙型机器购买y台，由题意得： ，解得： 答：甲型机器购买33台，乙型机器购买6台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题关键． 题型二、行程问题(二元一次方程组的应用) 4．（21-22七年级上·安徽阜阳·阶段练习）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（    ） A．330千米 B．170千米 C．160千米 D．150千米 【答案】C 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，根据“一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，求出动车与快车平均每小时行驶的路程即可解答． 【详解】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米， 依题意得： ， 解得： ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（21-22七年级上·安徽合肥·阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 【答案】5千米 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解． 【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校， 由题意可得， 解得， 答：小北需要骑行5千米到达学校． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键． 题型三、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 6．（21-22七年级上·安徽六安·期末）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？（    ） A．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为100元和25元 B．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为120元和5元 C．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元 D．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为130元和6元 【答案】C 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据图表得出等量关系可列出方程进而组成方程组求出即可． 【详解】解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元， 根据题意得： 解得： 所以一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出等量关系可列出方程是解题关键． 7．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润单价利润销售量）： 价格商品 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 120 135 乙 100 120 (1)该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？ (2)商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？ 【答案】(1)商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件 (2)乙种商品打九折销售的 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设第1次购进甲商品x件，乙商品y件，根据该商场第1次用39000元购进甲乙两种商品且销售完后获得利润6000元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设乙商品打m折出售，根据总利润单价利润销售量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设第1次购进甲商品x件，乙商品y件． 根据题意得：， 解得：． 答：商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件． （2）解：设乙商品打m折出售． 根据题意得：， 解得：． 答：乙种商品打九折销售的． 题型四、几何问题(二元一次方程组的应用) 8．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，则每一块长方形墙砖的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解题的关键． 设一块长方形墙砖的长为，宽为，然后用的代数式分别表示出长方形的长为，两条宽分别为，，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组得到的值，再根据长方形面积计算公式即可求出面积， 【详解】解：设一块长方形墙砖的长为，宽为，依题意得， ， 解得， ∴每一块长方形墙砖的面积为： 答：每一块长方形墙砖的面积为． 故选：A． 9．（19-20七年级上·安徽蚌埠·期末）数轴上有两个动点，，如果点始终在点的左侧，我们称作点是点的“追赶点”如图，数轴上有个点A，，它们表示的数分别为，，已知点是点的“追赶点”，且，表示的数分别为，．    (1)由题意易知，点A是点的“追赶点”，表示线段的长，以下相同；类似的，______． (2)在A，，三点中，若其中一个点是另两个点所构成线段的中点，请用含的代数式来表示． (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2)①是A、的中点，；②A是、点中点时，；③N是、A的中点时，； (3)，或，或， 【知识点】用代数式表示式、线段中点的有关计算、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据“点A是点的“追赶点”，表示线段的长，以下相同”即可得到答案； （2）分三种情况进行分析求解即可； （3）根据得到，由，得到，分别列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为； （2）①是A、的中点， 则， ； ②A是、点中点时， 则， ∴； ③N是、A的中点时， 则， ； （3）， ， ， ， 或 或或， ，或，或，或，， ， ，或，或，． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、线段中点的定义等知识，熟练掌握二元一次方程组的解法和分类讨论是解题的关键． 题型五、图表信息题(二元一次方程组的应用) 10．（21-22七年级上·安徽安庆·期末）把1~9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．－8 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】：根据题意得：得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ∴， 解得：， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 11．（21-22七年级上·安徽淮北·期末）根据如图所示给出的信息，求每支钢笔和每支铅笔的价格． 【答案】每支铅笔1元、每支钢笔10元 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设每支铅笔x元、每支钢笔y元，根据买了3支铅笔和2支钢笔，用了23元；乙买了2支铅笔和3支钢笔，用了32元．列出方程组解方程组即可． 【详解】解：设每支铅笔x元、每支钢笔y元，根据题意可得： 解得： 答：每支铅笔1元、每支钢笔10元． 【点睛】此题考查实际问题抽出二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 题型六、古代问题(二元一次方程组的应用) 12．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出方程组即可得出结果． 【详解】解：设木长为x，绳子长 y， 根据题意，得：， 故选：A． 13．（22-23七年级上·安徽六安·期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍间，小圈舍间，则求得的结果有 种． 【答案】3 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意，得，整理得，根据x，y都是整数，讨论求解即可． 【详解】设所需大圈舍x间，小圈舍y间， 根据题意，得， 整理得， 所以， 因为x，y都是整数， 所以， 解得， 所以x的值可能是1，2，3，4，5，6， 因为是整数， 所以一定也是偶数， 故x的值为2，4，6，y对应的值为7，4，1， 故的值有3种可能， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，熟练掌握方程整数解的解题方法是解题的关键． 14．（22-23七年级上·安徽滁州·期中）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 【答案】雀、燕每一只各重斤、斤 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【详解】解：设雀、燕每只各重斤、斤．根据题意，得 整理，得 解得 答：雀、燕每只各重斤、斤． 【点睛】考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 题型七、其他问题(二元一次方程组的应用) 15．（2021·重庆渝中·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数盒底的个数；（2）制作盒身的铁皮张数＋制作盒底的铁皮张数，再列出方程组即可． 【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，注意运用本题中隐含的一个相等关系：—个盒身与两个盒底配成一套盒．根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 16．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）学校为丰富大课间体育活动项目，决定再购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，小明完成购买任务回学校向李老师汇报说：“这两种球拍共30付，乒乓球拍单价为40元，羽毛球拍单价为64元，买之前我领了1600元，现在还余76元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．” (1)李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释； (2)小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他忘记还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为介于10到20之间的整数，请问：笔记本的单价为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)笔记本的价格为12元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设购买乒乓球拍x付，则购买羽毛球拍付，根据乒乓球拍单价为40元，羽毛球拍单价为64元，买之前我领了1600元，现在还余76元．列出方程求解即可； （2）设购买乒乓球拍a付，则购买羽毛球拍付，笔记本的单价为b元，根据笔记本的单价为介于10到20之间的整数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购买乒乓球拍x付，则购买羽毛球拍付，由题意得： 解得：， ∵不是整数， ∴李老师说他搞错了． （2）解：设购买乒乓球拍a付，则购买羽毛球拍付，笔记本的单价为b元，由题意，得： ， 化简得：， ∵， ∴， ， 答：笔记本的价格为12元． 一、单选题 1．如果一个两位数的十位数字和个位数字之和是，则这样的两位数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意，设该两位数的个位数为：，十位数为，且，均为整数，根据，分别讨论两个未知数的取值，即可． 【详解】设该两位数的个位数为：，十位数为，且，均为整数， ∵该两位数的十位数字和个位数字之和是， ∴， ∴当时，，两位数为：； 当时，，两位数为：； 当时，，两位数为：； 当时，，两位数为：； 当时，，两位数为： ∴满足题意的两位数为：，，，，，个数． 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是根据未知数的整数性质讨论未知数的具体值． 2．不考虑优惠，买1本笔记本和3支水笔共需14元，买4本笔记本和6支水笔共需38元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（　　） A．13元 B．8元 C．5元 D．3元 【答案】B 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】设购买1本笔记本需要x元，购买1支水笔需要y元， 根据题意，得． 解得． 所以（元）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，难度不大，关键在于列出方程组． 3．某车间35名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．一个螺栓要配两个螺母，问应该分配（    ）名工人生产螺栓，才能使当天的螺栓和螺母刚好配套？ A．13人 B．14人 C．15人 D．16人 【答案】C 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设应分配x 人生产螺栓，y 人生产螺母，根据每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，1个螺栓配2个螺母刚好配套，列出方程组，再进行求解即可． 【详解】解：设应分配x 人生产螺栓，y 人生产螺母， 由题意得， 解得， 即应分配15人生产螺栓，20人生产螺母． 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程组． 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，其中有一道题．原文是：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目．买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱．问哑巴所带的钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意，列方程组即可． 【详解】设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文， 根据题意，得， 故选D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． 5．如图，宽为25cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据长方形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：小长方形的长小长方形的宽，小长方形的长小长方形的长小长方形的宽，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得， 解得：， 所以小长方形的面积， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小正方形的长与宽的关系． 6．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的横式和竖式的两种无盖纸盒，现有a张正方形纸板和b张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）    A．100 B．101 C．102 D．103 【答案】A 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设竖式纸盒x个，横式纸盒y个，由题意列出方程组可求解． 【详解】设竖式纸盒x个，横式纸盒y个， 根据题意得：， ∴两个方程相加得：， ∴是5的倍数， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题意列出正确的方程组是本题的关键． 7．为喜迎“全国两会”胜利召开，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】A 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据题意列出二元一次方程，x，y均为正整数，得出x，y的值，进而可求解． 【详解】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件， 由题意得：，即， ∵x，y均为正整数， ∴或或或或或， 综上所述，共有6种购买方案， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 8．古书《九章算术》有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、鸡价各几何？”大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出9钱，则多了11钱，每人出6钱，则少了16钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的总价是多少？若有x个人共同买鸡，鸡的总价是y元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设有x人共同买鸡，鸡的价格为y钱，根据“每人出9钱，则多了11钱，每人出6钱，则少了16钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：设有x人共同买鸡，鸡的价格为y钱， 依题意，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．有一些苹果箱，若每个装苹果，则剩余苹果无处装，若每个装苹果．则余20个空箱，这些苹果箱有（    ） A．12个 B．60个 C．112个 D．128个 【答案】D 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设这些苹果箱有个，苹果总重量为，则苹果总数为或，再列方程组，从而可得答案. 【详解】解：设这些苹果箱有个，苹果总重量为，则 解得： 方程组的解为： 答：这些苹果箱有个. 故选： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，得出正确的相等关系是解题的关键. 10．我国民间流传这样一道数学名题：    设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可得解． 【详解】解∶∵每人7两还缺7两， ∴， ∵每人半斤则多半斤， ∴ ∴根据题意可列出方程组， 故选∶ D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组， 找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 二、填空题 11．某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多倍，则男生有 人 【答案】 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设男生有人，女生有人，根据每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， 即男生有人， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．某同学家离学校4千米，每天骑自行车上学和放学．有一天上学时顺风，从家到学校共用12分钟，放学时逆风，从学校回家共用时20分钟，已知该同学在无风时骑自行车的速度为x千米/时，风速为y千米/时，则根据题意，列出方程组 ． 【答案】 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据题意，由路程，时间，速度的关系分别列出顺风和逆风时对应的方程即可． 【详解】解：根据题意，可列方程组为 ． 故答案为：． 13．如图宽为的长方形图案是用8块相同的小长方形地砖拼成的，则每块小长方形地砖的长是    【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】首先设每块长方形的长是，宽是，然后根据图示列出关于x和y的二元一次方程组，从而求出x和y的值． 【详解】解：设每块长方形的长是，宽是，根据题意可得： 解得： 所以，长是，宽是． 故为答案：． 【点睛】此题考查方程组的应用问题，解题的关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组，并弄清小长方形的长与宽的关系． 14．寒假期间，爱学习的小幸决定将部分压岁钱用于购买两种文具．3月17日，文具的单价比文具的单价少2元，小幸购进两种文具共3件；3月27号，文具的单价翻倍，文具的单价不变，小幸购进两种文具共4件；若文具的单价和数量均为正整数且小幸第二次购买文具比第一次购买文具多花费5元，则小幸两次购买文具共花费 元． 【答案】15 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设文具的单价为元件，第一次购买文具共花费元，由第一次购买文具的数量及总价，可得出关于，的二元一次方程组（6个），解之结合，均为正整数可得出符号题意的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设文具的单价为元件，第一次购买文具共花费元， 依题意，得：，，，，，， 解得：，，，，，． ，均为正整数， ，， ． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 三、解答题 15．有大小两种货车，2辆大货车与1辆小货车一次可以运货吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货9吨．求每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货多少吨？ 【答案】每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货4吨，吨， 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货x吨，y吨，根据2辆大货车与1辆小货车一次可以运货吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货9吨列出方程组求解即可． 【详解】解：设每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货x吨，y吨， 由题意得：， 解得， 答：每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货4吨，吨． 16．对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”． （1）最小的三位“美好数”是 　 　，最大的三位“美好数”是 　 　． （2）求证：任意一个三位“美好数”都能被9整除． （3）若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，求满足条件的三位“美好数”． 【答案】（1）189，990；（2）见解析；（3） 【知识点】有理数的概念、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）要使“美好数”最小，则百位须为1，然后根据各个数位上的数字之和为18，即可得；要使“美好数”最大，则百位须为9，然后根据各个数位上的数字之和为18，即可得； （2）设百位数为a，十位数为b，个位数为c，将这个数表示出来，进行等量代换，然后提取公因式即可证明； （3）由（2）及题意，列出方程组化简可得，根据a、b、c的取值范围，代入计算即可得． 【详解】解：（1）要使“美好数”最小，则百位须为1， ∴， ∴个位数与十位数和为17， ∴个位数为9，十位数为8， ∴最小“美好数”为189； 要使“美好数”最大，则百位须为9， ∴， ∴个位数与十位数和为9， ∴十位数为9，个位数为0， ∴最大“美好数”为990； （2）设百位数为a，十位数为b，个位数为c， 则该数为：， ∵， ∴， ∴， ∴任意一个“美好数”都能被9整除； （3）由（2）可得：， 且， 根据题意可得：， ∴， 整理可得：， ，，， ∴当时，， ∴； 当时，， ； 当时，，（舍去） 当时，均不满足条件， ∴符合条件的三位“美好数”为954或837． 【点睛】题目主要考查有理数的表示、方程组求解，理解题意，列出方程组化简求值是解题关键． 17．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》名记载了一道数学问题： “今有共买物，人出六，赢二； 人出五，不足三．问人数、物价各几何?译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱； 每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少? ”请解答上述问题． 【答案】有人，物价为钱． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物价为钱，根据题意，可列方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，物价为钱， 由题意可得，， 解得， 答：有人，物价为钱． 18．如图，长青化工厂与A，B两地都有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为2.5元/（t·km），铁路运价为2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运费50000元，铁路运输324000元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】3626000元 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设该工厂购进原料x吨，制成产品y吨，根据这两次运输共支出公路运费50000元、铁路运费324000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（8000y-1000x-50000-324000）中即可求出结论． 【详解】解：设该工厂购进原料x吨，制成产品y吨， 依题意，得：， 解得：， ∴8000y-1000x-50000-324000=3626000（元）． 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多3626000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 19．风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般主要分布在山顶，海上，草原等利用风能发电．其中一套风力发电设备（如图）由一个风机塔筒和三个风机叶片组成，其中碳纤维材料是必须的材料，据了解15吨的碳纤维材料可以制作30个风机塔筒或60个风机叶片． (1)1吨碳纤维材料可以做多少个风机塔筒或多少个风机叶片？ (2)现有75吨碳纤维材料，一共可以做多少套风力发电设备？ 【答案】(1)1吨碳纤维材料可以做2个风机塔筒或4个风机叶片 (2)一共可以做60套风力发电设备 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，李处相应的方程组． （1）设1吨碳纤维材料可以做x个风机塔筒或y个风机叶片片，根据题意可得制作1个风机塔筒需要吨的碳纤维材料，制作1个风机叶片需要吨的碳纤维材料，列方程求解即可； （2）设用m吨碳纤维材料制作风机塔筒，用n吨碳纤维材料制作风机叶片，列方程组求出m、n的值，根据一套风力发电设备由一个风机塔筒和三个风机叶片组成即可解答． 【详解】（1）解：设1吨碳纤维材料可以做x个风机塔筒或y个风机叶片， 根据题意得制作1个风机塔筒需要吨的碳纤维材料，制作1个风机叶片需要吨的碳纤维材料， ， ， 解得，， 答：1吨碳纤维材料可以做2个风机塔筒或4个风机叶片． （2）解：设用m吨碳纤维材料制作风机塔筒，用n吨碳纤维材料制作风机叶片， ， 解得， （套）． 答：一共可以做60套风力发电设备． 20．课间游戏时同学们设计了一个飞镖游戏，飞镖游戏的规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内的部分，B区为大圆内小圆外的部分（A区B区均不含边界，如果掷到边界上重新投掷，投掷在大圆以外的无效）． 现在将投掷有效的每次位置用一个点标注，统计出小红和小华的有效成绩情况如下：小红得了65分，小华得了71分． (1)掷中A区、B区一次各得多少分？ (2)按照这样的计分方法，小明得了多少分？ 【答案】(1)掷中A区一次得分，掷中B区一次得分 (2)小明得了分 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； （1）等量关系式：掷中A区次得分掷中B区次得分分，掷中A区次得分掷中B区次得分分，据此列出方程组，解方程组，即可求解； （2）由（1）列式计算，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设掷中A区一次得分，掷中B区一次得分，由题意得 ， 解得：， 答：掷中A区一次得分，掷中B区一次得分． （2）解：由（1）得 （分）； 答：小明得了分． 21．某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明． 小李打算在该店同时购买两双鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券． (1)若小李参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元，则两双鞋的原件为多少元？ (2)若小李计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差60元，则两双鞋的原价相差多少元？ 【答案】(1)设两双鞋的原价分别为300元和200元 (2)两双鞋的原价相差300元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设两双鞋的原价分别为x元和y元，，根据“参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元”列方程组求解即可； （2）设两双鞋的原价分别为a元和b元，且，然后分两种情况列式求解． 【详解】（1）设两双鞋的原价分别为x元和y元，． 由题意得， 解得， 答：设两双鞋的原价分别为300元和200元． （2）设两双鞋的原价分别为a元和b元，且． ①当使用折价券比参加特惠活动花费多60元时， 由题意得， 整理得， 与矛盾，此情况不成立． ②当参加特惠活动比使用折价券花费多60元时， 由题意得， 整理得， 答：两双鞋的原价相差300元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 22．浦东实验中学为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表： 足球数量（个） 篮球数量（个） 总费用（元） 第一次 6 5 750 第二次 3 7 780 第三次 7 8 742 (1)张老师是第________次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的； (2)求足球和篮球的标价； 【答案】(1)三； (2)足球和篮球的标价分别是50元，90元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用： （1）观察表格可知，第三次购买的足球和篮球个数都比第二次的多，但是总费用反而少，据此可得答案； （2）设足球每个x元，篮球每个y元，然后根据第一次和第二次购买情况列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：观察表格可知，第三次购买的足球和篮球个数都比第二次的多，但是总费用反而少， ∴张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的； 故答案为：三； （2）解：设足球每个x元，篮球每个y元， 由题意得， 解得， 答：足球和篮球的标价分别是50元，90元． 23．如图，在的方格内，各行、各列及对角线上的三个数字之和都相等． (1)则______，______． (2)请你在方框内作出以acm为长，bcm为宽，2acm为高的长方体． 【答案】(1)3， 4； (2)作图见解析． 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据条件各行、各列及对角线上的三个数字之和都相等列出二元一次方程组；解方程组即可； （2）求出a、b的值，然后以acm为长，bcm为宽，2acm为高的长方体即可． 【详解】（1）解：根据题意列出方程组： ， 化简， ， 得：，，代入②得：． （2）解：由（1）可得，，则2a=，分别以3cm为长，4cm为宽，6cm为高作长方体如下图所示：长方体就是所求作的图形． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，根据各行、各列及对角线上的三个数字之和都相等列出方程组是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 二元一次方程组的应用（4个知识点+7种题型+过关检测） 知识点1．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 知识点2．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 知识点3．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 知识点4．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一、方案问题(二元一次方程组的应用) 1．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（    ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 2．（21-22七年级上·安徽六安·期末）有三个家庭团队结伴到一景区游玩，一号家庭团队有3个成年人和4个小孩参加，共交费150元，二号家庭团队有2个成年人和1个小孩参加，共交费75元，按照这样的收费标准，三号家庭团队有1个成年人和3个小孩参加，所需的费用为 元． 3．（22-23七年级上·安徽宣城·期末）某医疗器械厂计划用600万元资金采购一批口罩生产机器，其中甲型机器每台的售价为10万元，乙型机器每台的售价为45万元．若购买甲型机器的数量是乙型机器数量的5倍还多3台，则甲、乙两种机器分别购入多少台？ 题型二、行程问题(二元一次方程组的应用) 4．（21-22七年级上·安徽阜阳·阶段练习）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（    ） A．330千米 B．170千米 C．160千米 D．150千米 5．（21-22七年级上·安徽合肥·阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 题型三、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 6．（21-22七年级上·安徽六安·期末）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？（    ） A．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为100元和25元 B．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为120元和5元 C．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元 D．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为130元和6元 7．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润单价利润销售量）： 价格商品 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 120 135 乙 100 120 (1)该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？ (2)商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？ 题型四、几何问题(二元一次方程组的应用) 8．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，则每一块长方形墙砖的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（19-20七年级上·安徽蚌埠·期末）数轴上有两个动点，，如果点始终在点的左侧，我们称作点是点的“追赶点”如图，数轴上有个点A，，它们表示的数分别为，，已知点是点的“追赶点”，且，表示的数分别为，．    (1)由题意易知，点A是点的“追赶点”，表示线段的长，以下相同；类似的，______． (2)在A，，三点中，若其中一个点是另两个点所构成线段的中点，请用含的代数式来表示． (3)若，，求和的值． 题型五、图表信息题(二元一次方程组的应用) 10．（21-22七年级上·安徽安庆·期末）把1~9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．－8 11．（21-22七年级上·安徽淮北·期末）根据如图所示给出的信息，求每支钢笔和每支铅笔的价格． 题型六、古代问题(二元一次方程组的应用) 12．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23七年级上·安徽六安·期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍间，小圈舍间，则求得的结果有 种． 14．（22-23七年级上·安徽滁州·期中）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 题型七、其他问题(二元一次方程组的应用) 15．（2021·重庆渝中·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）学校为丰富大课间体育活动项目，决定再购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，小明完成购买任务回学校向李老师汇报说：“这两种球拍共30付，乒乓球拍单价为40元，羽毛球拍单价为64元，买之前我领了1600元，现在还余76元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．” (1)李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释； (2)小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他忘记还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为介于10到20之间的整数，请问：笔记本的单价为多少元？ 一、单选题 1．如果一个两位数的十位数字和个位数字之和是，则这样的两位数有（    ）个． A． B． C． D． 2．不考虑优惠，买1本笔记本和3支水笔共需14元，买4本笔记本和6支水笔共需38元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（　　） A．13元 B．8元 C．5元 D．3元 3．某车间35名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．一个螺栓要配两个螺母，问应该分配（    ）名工人生产螺栓，才能使当天的螺栓和螺母刚好配套？ A．13人 B．14人 C．15人 D．16人 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，其中有一道题．原文是：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目．买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱．问哑巴所带的钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，宽为25cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 6．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的横式和竖式的两种无盖纸盒，现有a张正方形纸板和b张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）    A．100 B．101 C．102 D．103 7．为喜迎“全国两会”胜利召开，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 8．古书《九章算术》有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、鸡价各几何？”大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出9钱，则多了11钱，每人出6钱，则少了16钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的总价是多少？若有x个人共同买鸡，鸡的总价是y元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．有一些苹果箱，若每个装苹果，则剩余苹果无处装，若每个装苹果．则余20个空箱，这些苹果箱有（    ） A．12个 B．60个 C．112个 D．128个 10．我国民间流传这样一道数学名题：    设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子比红色帽子多倍，则男生有 人 12．某同学家离学校4千米，每天骑自行车上学和放学．有一天上学时顺风，从家到学校共用12分钟，放学时逆风，从学校回家共用时20分钟，已知该同学在无风时骑自行车的速度为x千米/时，风速为y千米/时，则根据题意，列出方程组 ． 13．如图宽为的长方形图案是用8块相同的小长方形地砖拼成的，则每块小长方形地砖的长是    14．寒假期间，爱学习的小幸决定将部分压岁钱用于购买两种文具．3月17日，文具的单价比文具的单价少2元，小幸购进两种文具共3件；3月27号，文具的单价翻倍，文具的单价不变，小幸购进两种文具共4件；若文具的单价和数量均为正整数且小幸第二次购买文具比第一次购买文具多花费5元，则小幸两次购买文具共花费 元． 三、解答题 15．有大小两种货车，2辆大货车与1辆小货车一次可以运货吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货9吨．求每辆大货车与每辆小货车一次分别可以运货多少吨？ 16．对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”． （1）最小的三位“美好数”是 　 　，最大的三位“美好数”是 　 　． （2）求证：任意一个三位“美好数”都能被9整除． （3）若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，求满足条件的三位“美好数”． 17．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》名记载了一道数学问题： “今有共买物，人出六，赢二； 人出五，不足三．问人数、物价各几何?译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱； 每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少? ”请解答上述问题． 18．如图，长青化工厂与A，B两地都有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为2.5元/（t·km），铁路运价为2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运费50000元，铁路运输324000元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 19．风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般主要分布在山顶，海上，草原等利用风能发电．其中一套风力发电设备（如图）由一个风机塔筒和三个风机叶片组成，其中碳纤维材料是必须的材料，据了解15吨的碳纤维材料可以制作30个风机塔筒或60个风机叶片． (1)1吨碳纤维材料可以做多少个风机塔筒或多少个风机叶片？ (2)现有75吨碳纤维材料，一共可以做多少套风力发电设备？ 20．课间游戏时同学们设计了一个飞镖游戏，飞镖游戏的规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内的部分，B区为大圆内小圆外的部分（A区B区均不含边界，如果掷到边界上重新投掷，投掷在大圆以外的无效）． 现在将投掷有效的每次位置用一个点标注，统计出小红和小华的有效成绩情况如下：小红得了65分，小华得了71分． (1)掷中A区、B区一次各得多少分？ (2)按照这样的计分方法，小明得了多少分？ 21．某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明． 小李打算在该店同时购买两双鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券． (1)若小李参加特惠活动需花费420元，比使用折价券多花20元，则两双鞋的原件为多少元？ (2)若小李计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差60元，则两双鞋的原价相差多少元？ 22．浦东实验中学为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表： 足球数量（个） 篮球数量（个） 总费用（元） 第一次 6 5 750 第二次 3 7 780 第三次 7 8 742 (1)张老师是第________次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的； (2)求足球和篮球的标价； 23．如图，在的方格内，各行、各列及对角线上的三个数字之和都相等． (1)则______，______． (2)请你在方框内作出以acm为长，bcm为宽，2acm为高的长方体． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$