第11讲 二元一次方程组与三元一次方程组及其解法 （8个知识点+3种题型+过关检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）

第11讲 二元一次方程组与三元一次方程组及其解法 （8个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 知识点2．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点4．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 知识点5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 知识点6．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 知识点7．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 知识点8．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 题型一、代入消元法 1．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）由可以得到用表示的式子为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级·安徽芜湖·阶段练习）方程，则 ．（用含x的式子表示） 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程（组） (1) (2) 题型二、加减消元法 4．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知那么的值是（        ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知x、y是方程组的解，则的值是 6．（20-21七年级上·安徽安庆·期末）解方程与方程组： (1)； (2)． 题型三、三元一次方程组的定义及解 7．（23-24七年级上·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 8．（22-23七年级·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 一．选择题 1．（2023秋•潘集区月考）若与的和是单项式，则、的值分别是　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2023秋•迎江区校级月考）方程的非负整数解有　　 A．无数个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（涡阳县校级月考）方程组的解是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•庐阳区期末）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为　　 A． B． C．0 D．1 5．（2023秋•霍邱县期末）下列等式变形不正确的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．（2023秋•大观区校级月考）由可以得到用表示的式子为　　 A． B． C． D． 7．（2022秋•定远县期末）下列方程组是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•阜阳期末）已知方程组的解满足，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 9．（2022秋•池州期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是　　 A．325 B．217 C．433 D．541 10．（2023秋•亳州月考）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二．填空题 11．（2021秋•岳西县期末）已知方程，将其写成用含的代数式表示的形式为　　． 12．（2023秋•舒城县期末）若关于，的方程组的解满足，则的值为 　　． 13．（2021秋•包河区期末）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根，共长36米．问甲种1根，乙种2根，丙种3根，共长 　　米． 14．（2023秋•瑶海区期末）若关于、方程的解满足， （1）的值为 　　． （2）以方程中的未知数设计的“”形图案，如图所示，则此图案的面积为 　　． 三．解答题 15．（2021秋•明光市校级月考）已知方程组的解满足方程，求． 16．（2023秋•合肥期末）无论取何值时，关于，的方程 均有解，则值为 ． 17．（2023秋•宣城期末）解方程（组 （1）； （2）． 18．（2022秋•霍邱县月考）已知关于、的二元一次方程组． （1）若，请写出方程①的所有正整数解； （2）由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，求、的值及原方程组的解． 19．合肥寿春中学和合肥滨湖寿春中学系同属合肥寿春教育品牌之下的两大核心办学机构，今年同时招生．计划两校共招初一新生45个班共1800人，合肥寿春中学只招小班，合肥滨湖寿春中学招收小班和大班，且小班数量是大班数量的2倍．小班每班36人，大班每班人数在人间，求两校计划各招多少班？ 20．解方程（组 （1） （2） （3）． 21．（2022秋•潜山市期末）如果关于、的二元一次方程组的解是，不求，的值，你能否求关于、的二元一次方程组的解？如果能，请求出方程组的解． 22．（2022秋•凤阳县校级月考）阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． （1）判断点，哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点也是“爱心点”，请求出的值； （3）已知，为有理数，且关于，的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求，的值． 23．（2021秋•蚌埠期末）合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数200件，月总收入4500元； 营业员：月销售件数300件，月总收入5000元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． （1）求、的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需1620元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 二元一次方程组与三元一次方程组及其解法 （8个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1．二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 知识点2．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点3．解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 知识点4．二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 知识点5．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 知识点6．解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 知识点7．解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 知识点8．三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 题型一、代入消元法 1．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）由可以得到用表示的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，将其中一个未知数看作常数，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选D． 2．（22-23七年级·安徽芜湖·阶段练习）方程，则 ．（用含x的式子表示） 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】根据等式性质，先移项得：，再系数化1，即可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用含一个未知数的式子表示另一个未知数，解题的关键是掌握运用等式性质将等式变形． 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）解方程（组） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、代入消元法 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及解二元一次方程组． （1）去分母，去括号，移项和合并同类项，化系数为1即可求解． （2）用代入法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： （2）解： 整理可得出： 由②式得：， 把代入①式可得出：， 解得：， 把代入， 可得出：， ∴原方程组的解为： 题型二、加减消元法 4．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知那么的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相减即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解： 得：， ∴， 故选：． 5．（23-24七年级上·安徽·单元测试）已知x、y是方程组的解，则的值是 【答案】3 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用加减消元法求出x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解： ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：3 6．（20-21七年级上·安徽安庆·期末）解方程与方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、加减消元法 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）， ②﹣①，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 题型三、三元一次方程组的定义及解 7．（23-24七年级上·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 8．（22-23七年级·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将和代入得：， 解得：， 不等式组的解为， 故答案为：． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把三元一次方程组化为二元一次方程组再运用加减消元法求解即可； （2）先将和消去，解出，再解出和即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为； （2）解：， 由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是：． 一．选择题 1．（2023秋•潘集区月考）若与的和是单项式，则、的值分别是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】两个单项式的和为单项式，则这两个单项式是同类项再根据同类项的定义列出方程组，即可求出、的值． 【解答】解：由题意，得， 解得． 故选：． 【点评】本题考查同类项的定义及二元一次方程组的解法． 所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 2．（2023秋•迎江区校级月考）方程的非负整数解有　　 A．无数个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】由，可得出，结合，均为非负整数，即可得出方程的非负整数解有2个． 【解答】解：， ， ，均为非负整数， 或， 方程的非负整数解有2个． 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法，求出二元一次方程的非负整数解是解题的关键． 3．（涡阳县校级月考）方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】通过②③得出一个方程，再用得出的方程与①相加，求出的值，再把得值代入①，求出的值，再把的值代入③，求出的值，从而求出方程组的解． 【解答】解：， ②③得：④， ①④得：， 把代入①得：， 把代入③得：， 则原方程组的解为：． 故选：． 【点评】此题考查了三元一次方程组的解，关键是把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法求解，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法． 4．（2023秋•庐阳区期末）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为　　 A． B． C．0 D．1 【分析】先根据二元一次方程的定义得出关于的不等式和方程，求出的值即可． 【解答】解：方程是关于，的二元一次方程， 且， 即且， ． 故选：． 【点评】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 5．（2023秋•霍邱县期末）下列等式变形不正确的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【分析】根据等式的性质解答即可． 【解答】解：．如果，那么，等式变形正确，故本选项不符合题意； ．如果，那么，等式变形正确，故本选项不符合题意； ．如果，那么等式变形不正确，因为当时不成立，故本选项符合题意； ．如果，那么，等式变形正确，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了解二元一次方程，掌握等式的性质是解答本题的关键． 6．（2023秋•大观区校级月考）由可以得到用表示的式子为　　 A． B． C． D． 【分析】将其中一个未知数看作常数，解方程即可． 【解答】解：， ， ； 故选：． 【点评】本题考查解二元一次方程，解题的关键是学会将其中一个未知数看作常数解方程． 7．（2022秋•定远县期末）下列方程组是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【解答】解：．是二元一次方程组，故此选项符合题意； ．有一个方程含有分式，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； ．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； ．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义．解题时一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”． 8．（2023秋•阜阳期末）已知方程组的解满足，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 【分析】方程组两方程相加表示出，代入中求出的值即可． 【解答】解：， ①②得：，即， 代入中，得：， 解得：． 故选：． 【点评】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（2022秋•池州期末）一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是　　 A．325 B．217 C．433 D．541 【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为、、，则原来的三位数表示为：，新数表示为：，故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【解答】解：设个位、十位、百位上的数字为、、． 依题意得：， 解得 原来的三位数字是217． 故选：． 【点评】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 10．（2023秋•亳州月考）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可． 【解答】解：， 由①得：， 将③代入②得：， 去分母得：， 解得：， 将代入③，解得：， 丙在去分母的时候出现了错误， 故选：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握解二元一次方程组是关键． 二．填空题 11．（2021秋•岳西县期末）已知方程，将其写成用含的代数式表示的形式为　　． 【分析】把含有的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边，再进一步把的系数化为1． 【解答】解：， 移项得：， 系数化1 得：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，系数化1就可用含的式子表示的形式． 12．（2023秋•舒城县期末）若关于，的方程组的解满足，则的值为 　2022　． 【分析】将原方程组中的两个方程相加可得，即，再将代入计算即可． 【解答】解：， ①②得，， 即， 又， ， 解得． 故答案为：2022． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义是正确解答的关键． 13．（2021秋•包河区期末）有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根，共长36米．问甲种1根，乙种2根，丙种3根，共长 　22　米． 【分析】设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为米，米，米，根据题意列出方程组，即可得到的值． 【解答】解：设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为米，米，米，根据题意得 ， ①②得， （米， 故答案为：22． 【点评】本题考查了三元一次方程组，根据题意列出方程组，得到的值是解题的关键． 14．（2023秋•瑶海区期末）若关于、方程的解满足， （1）的值为 　　． （2）以方程中的未知数设计的“”形图案，如图所示，则此图案的面积为 　　． 【分析】（1）先解方程，得，再将代入代入之中解出的值即可； （2）先根据图形，利用图形的面积得出，再由得，再根据得，据此即可求出图案的面积． 【解答】解：（1）解方程，得：， 关于、方程的解满足， ， 解得：， 故答案为：． （2）如图所示： 平行四边形和平行四边形的底边为1，高为， 该平行四边形的面积为：， 长方形的边长，， 该长方形的面积为：， △的底边，边上的高为， 该三角形的面积为：， ， 即， ， ， 由（1）可知：， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，列代数式，求代数式的值，熟练掌握解一元一次方程，理解一元一次方程的解，利用图形的面积列出代数式，整体代入求代数式的值是解决问题的关键． 三．解答题 15．（2021秋•明光市校级月考）已知方程组的解满足方程，求． 【分析】根据题意，由和，求出、的值，然后把、的值代入，即可求出的值． 【解答】解：①，②， 由①②得：，， 把、的值代入得：， 解得． 【点评】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单． 16．（2023秋•合肥期末）无论取何值时，关于，的方程 均有解，则值为 　　． 【分析】先把方程的解代入方程得出，再根据题意得到，解方程组求出、的值，最后代入要求的式子计算即可． 【解答】解：把代入方程得， ， 整理得，， 无论取何值时，关于，的方程 均有解， ， 解得， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，得到关于、的方程组是解题的关键． 17．（2023秋•宣城期末）解方程（组 （1）； （2）． 【分析】（1）先去分母，再去括号，移项合并同类项即可； （2）先将①变形得到③再代入②中即可得到的值，再将的值代入③中即可． 【解答】解：（1）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）， 由①得：③， 将③代入②中得：， ， 移项得：， 即：， 将代入到③中，得， 原方程组的解为：． 【点评】本题考查解一元一次方程以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解答本题的关键． 18．（2022秋•霍邱县月考）已知关于、的二元一次方程组． （1）若，请写出方程①的所有正整数解； （2）由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为，乙看错了方程②中的得到方程组的解为，求、的值及原方程组的解． 【分析】（1）将代入方程，分别令，，求出对应的的值即可； （2）将代入②式可求得的值；将代入①式可求得的值；从而得出原方程组，进一步解方程组即可． 【解答】解：（1）将代入方程可得：， 当时，； 当时，； 当时，，没有符合条件的解； 该方程的正整数解为：，， （2）将代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 原方程组为， ③④得：， 解得：④③得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【点评】本题考查了二元一次方程的整数解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程的关系是解决本题的关键． 19．合肥寿春中学和合肥滨湖寿春中学系同属合肥寿春教育品牌之下的两大核心办学机构，今年同时招生．计划两校共招初一新生45个班共1800人，合肥寿春中学只招小班，合肥滨湖寿春中学招收小班和大班，且小班数量是大班数量的2倍．小班每班36人，大班每班人数在人间，求两校计划各招多少班？ 【分析】设合肥寿春中学招小班个，合肥滨湖寿春中学招收小班个和大班个．根据①两校共招初一新生45个班；②合肥滨湖寿春中学小班数量是大班数量的2倍；③共1800人，且大班每班人数在人间，列方程组和不等式进行求解分析． 【解答】解：设合肥寿春中学招小班个，合肥滨湖寿春中学招收小班个和大班个．根据题意，得 ， 由方程，得， 把，代入不等式，得 ， 解得， 又是整数，则． 所以，． 答：合肥寿春中学招小班30个，合肥滨湖寿春中学招收小班10个和大班5个． 【点评】本题是一道综合能力考查题，考查方程思想、不等式的应用及解不等式组的能力． 20．解方程（组 （1） （2） （3）． 【分析】（1）利用解一元一次方程的步骤与方法求得方程的解即可； （2）利用加减消元法求得方程组的解即可； （3）利用消元法把方程化为二元一次方程组，进一步求得方程组的解，代入原方程中的一个方程，进一步求得原方程组的解． 【解答】解：（1） ； （2） ①②得，， 解得：， 代入①得，， 解得：， 所以原方程组的解为； （3）， ①②得，④， ②③得，， 解得：， 代入④得，， 解得：， 把，代入②得，， 解得：， 所以原方程组的解为． 【点评】此题考查解三元一次方程组，二元一次方程组，一元一次方程，掌握方法与步骤是解决问题的关键． 21．（2022秋•潜山市期末）如果关于、的二元一次方程组的解是，不求，的值，你能否求关于、的二元一次方程组的解？如果能，请求出方程组的解． 【分析】第二个方程组中的与就是相当于第一个方程组中的、，据此即可列方程组求解． 【解答】解：根据题意可得， 解得：． 【点评】本题考查了方程组的解，理解第二个方程组中的与就是相当于第一个方程组中的、，理解整体思想是关键． 22．（2022秋•凤阳县校级月考）阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． （1）判断点，哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点也是“爱心点”，请求出的值； （3）已知，为有理数，且关于，的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求，的值． 【分析】（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解； （2）根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得，再求得，进一步得到的值； （3）解方程组用和表示和，代入，得到关于和的等式，再根据，为有理数，求出，的值． 【解答】解：（1）点是爱心点，点不是爱心点，理由如下： ， ， ， 点是爱心点； ， ， ， 点不是爱心点； （2）点为爱心点， ， ， 又， ， 解得， ，即； （3）解方程组得， 又点是爱心点满足：， ， ， ， 整理得：2 ， ，是有理数， ，， ，． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题的关键． 23．（2021秋•蚌埠期末）合肥市某中学学生张强到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入基本工资计件奖金”的方法（即营业员月总收入由基本工资和计件金两部分构成），并获得如下信息： 营业员：月销售件数200件，月总收入4500元； 营业员：月销售件数300件，月总收入5000元． 假设营业员的月基本工资为元，销售每件服装奖励元． （1）求、的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需1620元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件，共需多少元？ 【分析】（1）根据“月销售件数200件，月总收入4500元，月销售件数300件，月总收入5000元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元，根据“购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需1500元；购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需16200元”，即可得出关于、、的三元一次方程组，利用①②即可求出购买甲、乙、丙服装各一件的总费用． 【解答】解：（1）根据题意得：， ， （2）设购买一件甲服装需要元，购买一件乙服装需要元，购买一件丙服装需要元， 根据题意得：， ①②，得：． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需780元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$