4.2.3等差数列的前n项和(第2课时)（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第四章 数列 4.2.3等差数列的前n项和(第2课时) 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个. 3.能用an与Sn的关系求an. 4.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算. 5.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 复习导入 2．等差数列前n项和的性质 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an； ③当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd； 项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，S奇∶S偶＝n∶(n－1)． 例4.某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？ 【解析】解：依题意，这个剧场各排的座位数由小到大依次排成一列组成等差数列{an}， 其中公差d=2，项数n=20，且第20项是a20=60， 由等差数列的通项公式，得60=a1+(20-1)×2，解得a1=22， 由等差数列的求和公式，得 ， 所以这个剧场共有820个座位． 课本例题 7 例5.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm,满盘时直径为120mm(如图)．已知卫生纸的厚度为0.1mm,问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到1m)？ 【解析】解：卫生纸的厚度为0.1mm,由内向外各圈的半径分别为20.05， 20.15，…，59.95， 因此各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π， 显然各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列， 设圈数为n,则59.95=20.05+(n-1)×0.1，解得n=400， 于是各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列， 根据等差数列的求和公式， 得 ，32000πmm≈100m, 所以满盘时卫生纸的长度约为100m. 8 例6.某零存整取3年期储蓄的月利率为2.7‰． (1)如果每月存入1000元，那么3年后本息合计为多少元(精确到1元)？ (2)欲在3年后一次性支取本息合计5万元，每月存入多少元(精确到1元) 【解析】解：(1)依题意，第n月存入1000元的本息和为an，则数列{an}为等差数列， 且an=1000[1+(37-n)×2.7‰]，n∈N*，n≤36， 3年后的本息和为1000(1+2.7‰)+1000(1+2×2.7‰)+⋯+1000(1+36×2.7‰) = ≈37798(元)， 所以零存整取3年期储蓄每月存入1000元，3年后本息合计约37798元． 9 (2)设每月存A元，第n月存入A元的本息和为bn，则{bn}为等差数列， 且bn=A[1+(37-n)×2.7‰]，n∈N*，n≤36， 因此A(1+2.7‰)+A(1+2×2.7‰)+⋯+A(1+36×2.7‰)=50000， 利用等差数列求和公式，得 ， 解得A≈1323， 所以欲在3年后一次性支取本息5万元，每月存入约1323元． 例6.某零存整取3年期储蓄的月利率为2.7‰． (1)如果每月存入1000元，那么3年后本息合计为多少元(精确到1元)？ (2)欲在3年后一次性支取本息合计5万元，每月存入多少元(精确到1元) 10 1.为了参加学校的长跑比赛，某同学制定了一个12天的训练计划：第一天跑2000m,以后每天比前一天多跑250m.这个同学在这12天中一共跑了多少米？ 【解析】解：李强每天跑的路程构成以2000为首项，以250为公差的等差数列， 故S12= =40500m. 答：这个同学在这12天中一共跑了40500米． 课本练习 11 2.求集合{m|m=2n-1，n∈N*，且m＜60}的元素个数，并求这些元素的和． 【解析】解：集合M={m|m=2n-1，n∈N*，且m＜60}， ∴M={1，3，5，7，9，…，59}，共30个奇数，构成以1为首项，公差为2的等差数列， 利用等差数列前n项和公式得这些元素的和为： S30= =900． ∴集合{m|m=2n-1，n∈N*，且m＜60}的元素个数为30，这些元素的和为900． 12 3.一个多边形的周长等于158cm,所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44cm,公差等于3cm,求多边形的边数． 【解析】解：由题意可知：an=44，Sn=158，d=3 则Sn= =158，an=a1+3(n-1)=44 即n(a1+44)=316 (1)，a1=47-3n (2) (2)代入(1)，得3n2-91n+316=0 ∴(3n-79)(n-4)=0，解得n=4 ∴多边形的边数为4． 13 4.已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为5°的等差数列，且最小角为120°，则它是几边形？ 【解析】解：设有n边形，则由题意可得，(n-2)×180°= ， 整理可得，n2-25n+144=0， 解可得，n=16或n=9， 当n=16时，最大角195°与实际不符，故n=9． 14 5.某钢材库新到200根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛(如图)，并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？ 【解析】解：由题意可得，正三角形垛所需要圆钢总数Sn= ＜200， 当n=19时，S19最大，此时剩余10． 15 错因分析 易错辨析　混淆等差数列的性质致误 已知等差数列{an}的前n项之和记为Sn，S10＝10，S30＝70，则S40＝________． 120 解析：由题意知，得 所以S40＝40×＝120. 【易错警示】 错因分析 出错原因：将等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列误认为Sm，S2m，S3m成等差数列． 纠错心得： 本题可用等差数列的性质：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解；还可以由S10＝10，S30＝70联立方程组解得a1和d，再求S40. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大． 14或15 易错辨析　数列中的最值错误 错因分析 解析：方法一　由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0. 构建不等式组即解得14≤n≤15. 故当n＝14或n＝15时Sn最大． 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大． 14或15 易错辨析　数列中的最值错误 错因分析 方法二　由S11＝S18知，a1＝－14d， 所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝－d. 由于n∈N＋，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大． 方法三　由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0， 所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大． 【易错警示】 出错原因：由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15时，前n项和相等且最大．有些同学容易忽视数列中为零的项致错． 纠错心得：在解决数列问题时，经常遇到求最值的问题，且解决此类问题常用函数的一些方法，但一定要注意数列中的变量n为正整数，同时还要注意数列中为零的项． 错因分析 解析：由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数， 构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列， 所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)， 所以9月11日的新感染者人数为a11＝400－10＝390(人)； 例1　某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10. (1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； 题型1　等差数列前n项和公式的实际应用 典例剖析 解析： 9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：S10＝＝2 200(人)， 9月份后20天流感病毒的新感染者人数， 构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列， 所以后20天新感染者人数和为T20＝20×390＋×(－10)＝5 900(人)， 所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100人． (2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？ 归纳总结 (1)解答与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： ①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． ②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. 解析：由等差数列{an}的性质， .可得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， 即30，70，S3m－100成等差数列， 所以2×70＝30＋S3m－100，解得S3m＝210. 例2　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m； 题型2　等差数列前n项和性质的应用 典例剖析 解析： 由等差数列的前n项和的性质，且＝， 可得＝＝＝＝＝. (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值． 归纳总结  等差数列前n项和计算的三种方法 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1] ＝－4n＋5，所以数列{an}的通项公式为an＝. (2)当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4， 但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列． 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{an}是否为等差数列？ 题型　an与Sn的关系的应用 典例剖析 归纳总结 已知Sn求an的一般步骤 例4　在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为____． 7 解析：方法一(函数法)　由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 因为a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大． 方法二(通项变号法)　由解法一可知，d＝－a1. 要使Sn最大，则有即 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大． 题型4　等差数列前n项和的最值 典例剖析   1．在等差数列中，求Sn的最值的2种常用方法 归纳总结 归纳总结 2．寻求正、负项分界点的方法 解析：在等差数列{an}中，由a1＋a4＋a7＝－6得a4＝－2，则，解得或， 而公差d>0，则，d＝＝2，于是得a1＝－8， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－10. 例5　已知等差数列{an}中，公差d>0，a1＋a4＋a7＝－6，a2·a4·a6＝24. (1)求数列{an}的通项公式； 典例剖析 题型5　求数列{|an|}的前n项和 解析：由(1)知an＝2n－10，因此， |an|＝|2n－10|＝， 当1≤n≤5时，Sn＝－a1－a2－…－an＝－×n＝－n2＋9n， 当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＋(|a6|＋…＋|an|) ＝(－a1－a2－…－a5)＋(a6＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an) ＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a5)＝×n＋40＝n2－9n＋40， 所以Sn＝(n∈N＋)． (2)Sn为数列{|an|}的前n项和，求Sn.  求数列{|an|}前n项和的方法 (1)一般地，数列{|an|}与数列{an}是两个不相同的数列，只有数列{an}中的每一项都是非负数时，它们表示的才是同一数列．因此，求数列{|an|}的前n项和时，应先弄清n取什么值时an>0或an<0，去掉绝对值符号后再求和． (2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则有： ①若a1>0，d<0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1<0，从而Tn＝ ②若a1<0，d>0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1>0，从而 归纳总结 1.知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式. (2)等差数列在实际问题中的应用. (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. (4)等差数列前n项和的最值问题. (5)等差数列前n项和的性质及应用. 2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想、分类讨论数形结合思想. 3.常见误区 (1)由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论. (2)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误. (3)不注意运用性质导致解题烦琐. 课堂小结 1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形 (1)Sn＝n·eq \f(a1＋an,2)； (2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n； (3)eq \f(Sn,n)＝eq \f(d,2)n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差为\f(d,2)的等差数列))． 3．求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路 (1)将Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决． (2)当a1＞0，d＜0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))的项数n使Sn取最大值； 当a1＜0，d＞0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))的项数n使Sn取最小值． $$