2.1.3 直线与圆的位置关系（十六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.1.3 直线与圆的位置关系 题型1：判断直线与圆的位置关系 1．已知圆，则直线和圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据圆的一般方程求得圆的圆心和半径，再求圆心到直线的距离，且与圆的半径比较可得结论. 【解析】解：由圆得，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆的位置关系为相交， 故答案为：相交. 2．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据圆方程得出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得出结论. 【解析】圆的圆心为，半径为3， 圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交. 故选: 3．直线和的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断； 【解析】解：圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离，则直线与圆相切； 故答案为：相切 题型2：根据直线与圆的位置关系求参数 4．直线与圆相交，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系列式求解即可. 【解析】因为直线与圆相交， 所以圆心到直线的距离， 解得. 故答案为： 5．若直线是圆的一条对称轴，则 ． 【答案】 【分析】将问题转化为直线过圆心，从而得解. 【解析】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在此直线上， 所以，解得. 故答案为：. 6．若直线与圆相切，则等于 【答案】 【分析】联立直线与圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，由相切得到方程有唯一的解，所以根的判别式等于，即可求出的值. 【解析】联立直线方程与圆的方程得： ， 解得， 因为直线与圆相切， 所以，解得. 故答案为： 7．若过点且与圆相切的直线只有一条，则 . 【答案】0 【分析】由题意可得点在圆上，列式求解即可. 【解析】由题意可得点在圆上， 所以，解得. 故答案为：0. 题型3：求直线与圆相交点的坐标 8．直线l：2x+y–6=0与圆C：x2+y2–2y–9=0相交于A、B两点，则A、B的中点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】直线与圆联立，求出A（1，4），B（3，0），则两点的中点求出. 【解析】解方程组，得或，所以A、B的坐标分别为 （1，4），（3，0），则A、B的中点C的坐标为（2，2） 故答案为（2，2）． 【点睛】本题考查的是求直线与圆的交点坐标的中点坐标问题，属于基础题. 9．已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设，直线方程与圆的方程联立求出点坐标，设经过点A，B，的圆的方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【解析】设， 由解得， 可得， 设经过点A，B，的圆的方程为 ， 所以，解得， 即，可得. 故答案为：. 题型4：过圆上一点的切线方程 10．圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据条件得到点在圆上，从而得到切线的斜率为，即可求出结果. 【解析】因为圆的圆心为，， 易知点在圆上，又，所以切线的斜率为， 故切线方程为，即. 故答案为：. 11．已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意知，点在圆上，若直线与圆相切，则直线与直线垂直，即可求出直线的斜率，根据点斜式直线方程即可求出直线的方程. 【解析】由圆的方程知：，即， 将代入方程可知，点在圆上，且， 所以，因为直线与圆相切，所以直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 12．已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 【答案】 1 【分析】利用点在圆上求解参数解决第一空，利用得到的垂直关系求出需要求的斜率，结合直线上的已知点得到直线方程，求解第二空即可. 【解析】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切， 则一定在圆上，可得， 解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为， 又直线斜率为，设该直线的斜率为， 显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为， 化简得直线方程为， 故答案为：1； 题型5：过圆外一点的切线方程 13．过点作圆的切线，切线方程为 . 【答案】或 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【解析】由，可得圆的圆心，半径为， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为，易得直线与圆相切， 当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为， 所以切线方程为或． 故答案为：或． 14．已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】过圆外一点的切点弦方程为，得到答案. 【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为，化简得：. 故答案为： 15．从点发出的光线，经轴反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点关于轴的对称点为，再由直线与圆的位置关系可得过且与圆相切的直线方程，即可得到结果. 【解析】点关于轴的对称点为， 由题可知反射光线所在的直线斜率存在且小于0， 设过与圆：相切的直线方程为， 由题意得，得， 所以或（舍）， 故反射光线所在直线方程为． 故答案为： 题型6：切线长 16．过点的直线与圆相切，切点为，则 . 【答案】 【分析】明确圆心和半径，利用切线长定理求切线段的长度. 【解析】由，所以圆心为，半径为. 所以过点向圆作切线，切线段的长度为：. 故答案为： 17．若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则 ． 【答案】2或4 【分析】根据圆的切线性质可求出相关线段的长，利用，即可求出答案. 【解析】如图，记圆的圆心为与交于点，圆的半径为r， 由题意可得， ，所以， 即，解得或16，即或4， 经检验，都满足题意． 故答案为：2或4 18．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以. 故答案为：. 题型7：切点弦及其方程 19．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 20．从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为． 21．已知直线是圆的对称轴，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程是 . 【答案】 【分析】先把圆化为标准方程求出圆心，由直线是圆的对称轴知，圆心在直线上，求出，过作圆的切线，由切点弦公式即可求出答案. 【解析】圆化为标准方程为， 圆心，半径为2， 是圆的对称轴，圆心在直线上， 则， ∴， ， 过作圆的切线，切点为，切点弦:，即. 故答案为： 题型8：已知切线求参数 22．若直线与圆相切，则实数 ． 【答案】0或 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【解析】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 23．在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出点的轨迹，利用切线的性质探讨取最大的等价条件，由此求出点的坐标，再由对称求出圆方程. 【解析】依题意，点的轨迹为直线上，显然，要最大，当且仅当最大， 在中，，而正弦函数在上单调递增， 则只需最大，即圆心到点的距离最小，因此，又圆心， 此时直线的方程为，由解得点， 于是圆心关于点对称的点的坐标为，所以圆关于点对称的圆的方程为． 故答案为： 题型9：圆的弦长与中点弦 24．已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为 【答案】 【分析】求出直线所过的定点，并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质及弦长公式计算即得. 【解析】圆的圆心，半径， 直线，由，解得， 则直线过定点，显然点在圆内，当时，直线被圆所截弦长最短， 而，所以最短弦长为. 故答案为： 25．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据求解. 【解析】由于直线恒过定点，圆心， 设，则，故， 即，化简可得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 由于在圆外，, 故，即， 故答案为：    26．已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 【答案】 【分析】利用同解方程可求圆的方程，根据利用垂径定理可求弦长，根据弦长为定值可求斜率和截距的值，故可求定值. 【解析】设圆的方程为，令， 则，其解为的横坐标， 故该方程与同解，故， 又圆过，故，故， 故，故圆的方程为：. 其标准方程为：， 若定直线的斜率不存在，则可得定直线为：， 此时截得的弦长为： ， 无论取何值，弦长总不是常数， 设定直线为即， 圆心到直线的距离， 故弦长为 ， 若弦长为定值，则且， 故，此时弦长为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于圆中的定值问题，我们可以根据几何性质得到恒等式，再根据系数的性质得到参数满足的方程，从而求出定值. 题型10：已知圆的弦长求方程或参数 27．已知经过原点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的一般方程可得出圆心，半径为2，利用弦长公式可得圆心到直线的距离，可得结果. 【解析】由， 即圆心，半径为2， 要使，则圆心到直线的距离， 设直线方程为： 所以，解得. 故选：A 28．若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可. 【解析】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3， 从而，圆的半径为 故所求圆的方程为 即 故选：C 题型11：圆内接三角形的面积 29．已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】要使取得最大值时，，求出圆心O到直线的距离，设出直线方程，利用点到直线距离公式求解斜率，代入点斜式直线方程即可求解. 【解析】当取得最大值时，，此时圆心O到直线的距离为， 又直线恒过点，所以直线斜率存在，设为，即， 由点到直线的距离公式得，平方并化简得， 解得或，此时直线的方程为或， 即或. 故选：B 30．经过原点且倾斜角为的直线被圆C:截得的弦长是，则圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知利用垂径定理求得，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解． 【解析】解：直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离． 则，解得． 圆的圆心坐标为，半径为4． 如图，    ，则，． ，， 圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于． 故选：． 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题． 题型12：直线与圆的实际应用 31．某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得. 【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C    32．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【解析】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 题型13：坐标法解直线与圆的位置关系 33．平面直角坐标系中，已知点，圆O：与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点．若线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理得出，设，由向量垂直列出等式即可得出方程，再根据M在圆O的内部，联立两圆方程即可求得范围 【解析】连接，设点， ∵M是弦的中点，∴， 又∵，， ∴，即， 联立，解得或， 又∵M在圆O的内部， ∴点M的轨迹方程是， 故答案为：． 34．在平面直角坐标系中，圆的方程为，点在直线上，若过点存在直线与圆交于A，B两点，且点A为中点，则点的横坐标的取值范围是 . 【答案】. 【分析】设点，，求出A的坐标，代入圆，利用辅助角公式，即可确定点横坐标的取值范围. 【解析】解：设点，， 因为点A为中点， 所以A点坐标为，， 又点A在圆上，从而， 整理得， 从而， 于是由，解得. 故答案为：. 题型14：定点、定值问题 35．在平面直角坐标系中，已知，圆，在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数），则的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，，根据距离公式得到对圆上任意点恒成立，从而得到对任意恒成立，从而得到，即可求出与，从而得解. 【解析】设，， 则，. 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数， 等价于对圆上任意点恒成立， 即， 整理得， 因为点在直线上，所以， 由于在圆上，所以， 故恒成立， 其中点在圆上，令，则， 所以直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得，即， 所以，显然，所以， 故， 因为，解得或. 当时，，此时重合，舍去. 当时，， 综上，存在满足条件的定点，此时. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合与化简得恒成立，从而得到关于的方程组，由此得解. 36．已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 . 【答案】 【分析】第一空，，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案；第二空，设，表示出以为直径的圆的方程，和圆的方程相减，可得直线的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标. 【解析】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为， 连接,则, 设，则, 故, 当垂直于直线时，d最小， 所以，所以； 由于点A是直线上的一个动点，设点， 线段的中点设为P，则，且， 所以以线段为直径为圆的方程为 ， 即， 将方程与作差可得， 即直线的方程为，可得， 由于,故， 因此，直线恒过定点， 故答案为：； 37．已知圆，点，点在圆上运动，则的中点的轨迹方程为 ；过原点的两条直线与点的轨迹分别交于两点，直线的斜率之积为，，为垂足，有一定点，使得为定值，则点坐标为 . 【答案】 【分析】设，，利用坐标表示出坐标，代入圆方程即可整理得到的轨迹方程；设，与圆的方程联立可求得点坐标，由斜率乘积为可将替换为可得点坐标，由此可得直线方程，并确定过定点，由直角三角形性质可知当为中点时，为定值，由此可得结果. 【解析】设，， 为中点，，整理得：，即， 又在圆上，，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 设直线，，， 由得：， 又在圆上，，则； 将替换为可得：，， ， 所在直线方程为， 当时，，直线过定点， ，为直角三角形，且为斜边， 当为中点时，为定值，则， 定点，可使为定值. 故答案为：；. 题型15：最值问题 38．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】过圆心作，由已知求得，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解. 【解析】如图，为直线上的任意一点， 过圆心作，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以， 所以. 则此时， 的最小值为. 故答案为： 39．已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为 ；点到直线的最大距离为 ． 【答案】 【分析】在中，求得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求解方程即可，结合点到直线的距离公式，即可求得到直线的最大距离. 【解析】    从点向圆作两条切线，且， 所以在中，，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的轨迹方程为：， 因为点到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为. 故答案为：； 题型16：解答题 40．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可； （2）利用弦长公式计算参数即可. 【解析】（1）由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. （2）由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 41．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【解析】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 42．已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 【分析】（1）由圆的方程确定圆心和半径，利用几何法求弦长公式和点到直线的距离公式计算即可求解； （2）设，，假设存在点满足题意，即，直线方程联立圆的方程，利用韦达定理表示、，结合两点求斜率公式，化简计算即可求解. 【解析】（1）因为圆C：， 所以圆心坐标为，半径为2，因为， 所以C到AB的距离为， 由点C到直线的距离为：，解得； （2）设，，l的方程为， 则，得， 因为，所以，， 设存在点满足题意，即， 所以， 因为， 所以， 所以，解得． 所以存在点符合题意． 43．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3)5 【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程； （2）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值； （3）由（2）知，，故所求转化为、、三点共线问题． 【解析】（1）由题意设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为； （2）假设存在定点，设， 设，则， 则， 当，即舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点使得为定值， 的坐标为；    （3）由（2）知，故，从而， 当且仅当、、三点共线时，最小， 且． 所以的最小值为5. 一、填空题 1．已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出中点的轨迹，再结合图形找到线段和最小值的情况. 【解析】作出图形，分别取线段中点分别为， 因为，则，则， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 其轨迹方程，半径， 则，设点到直线的距离为， 则，则的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出中点的轨迹，再根据三点共线即可得到最值. 2．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为点到直线与直线距离之和的5倍，这个距离之和与点在圆上的位置无关可得圆在两直线之间，利用直线与圆相切可得答案. 【解析】由已知可得所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线距离之和的5倍， 因为的取值与x、y无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 圆心到直线的距离为，所以圆与直线相离， 如图所示，可知直线平移时， 点与直线的距离之和均为直线之间的距离， 此时可得圆在两直线之间， 当直线与圆相切时， ，解得（舍去），或， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是转化为点到直线与直线距离之和的5倍. 3．已知，，，则下列结论中正确的是 . ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 【答案】①②④ 【分析】根据直线和圆的位置关系、并集、交集的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】①当时， ， 由令，解得， 由令，解得， 画出对应点集如下图所示，所以， 所以①正确. ②当时， ， 画出对应点集如下图所示， 圆的圆心为，半径为， 直线，即， 到的距离为， 所以圆与直线相切， 所以有个元素，所以②正确. 对于③，当时， ， 画出对应点集如下图所示， 半圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 此时有个元素，所以③错误. 对于④，若， 则 ， 此时直线与圆至多有个公共点，不符合题意. 若，则由③的分析可知有个元素， 综上所述，若有4个元素，则无整数解,所以④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、解答题 4．在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 【答案】(1)A是失败点 (2)（米2）； (3) 【分析】（1）直接根据失败点的概念即可判断； （2）建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积； （3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果. 【解析】（1）由于，，即机器人和电子狗同时到达点A， 故A是失败点 （2）建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，， 设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点， 可得，即，， 即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部， 所以电子狗失败的区域面积（米2） （3）当线段FP与（2）中圆相切时，即，所以， 因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以 又因为，所以的取值范围是． 5．已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，根据，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，然后对直线斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接检验即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）设点，其中，则，设点，根据平面向量的坐标运算可得，根据点在圆上可得出，代入化简即可得出点的轨迹方程. 【解析】（1）解：设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为. （2）解：由题意可知，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即.. 综上所述，直线的方程为或. （3）解：设点，其中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即. 故点的轨迹方程为. 6．在平面直角坐标系xOy中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A，B，与圆交于点C，D． （1）若AB＝，求CD的长； （2）若直线斜率为2，求的面积；   （3）若CD的中点为E，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) .       【分析】（1）分析直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用圆中半弦长，半径，弦心距构成直角三角形求解即可（2）直线斜率为2，则直线方程为，求出弦长，点M到直线的距离,利用三角形面积公式求解即可（3）表示出△ABE的面积S＝AB·d＝2，令，换元后根据二次函数求最值即可. 【解析】(1) 由题可知，直线AB斜率显然存在，设为k，则直线AB：y＝kx＋1. 因为O点到直线AB的距离d1＝， ∴+＝4， ∴AB＝2 由2＝得k2＝15. 因为直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD：y＝x＋1， ∴M点到直线CD的距离d2＝， ∴＝1－，CD＝2＝2＝. (2) 直线斜率为2，则直线方程为 到直线距离为到直线距离为         (3)当直线AB的斜率不存在时，△ABE的面积S＝×4×2＝4； 当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线AB：y＝kx＋1，k≠0，直线CD：y＝－x＋1. 由<1得k2>3，   所以k∈(－∞，－)∪(，＋∞)． 因为＋＝4，所以AB＝2. 因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d＝＝， 所以△ABE的面积S＝AB·d＝2.   令，则S＝ ∈. 综上，△ABE面积的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形，换元法，二次函数求最值，属于难题. 7．已知圆和点. (1)点在圆上运动，且为线段ME的中点，求点的轨迹曲线的方程. (2)设为（1）中曲线上任意一点，过点向圆引一条切线，切点为. （i）求的取值范围. （ii）试探究：在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在定点， 【分析】（1）应用相关点法可求出动点的轨迹曲线的方程； （2）（i）根据，只需找出的最大值和最小值即可求得； （ii）假设在轴上存在定点满足条件，据分析对恒为定值的条件，确定值即可. 【解析】（1）解：设，，则， 由点在圆上运动，得，所以， 则即为点的轨迹曲线的方程. （2）解：（i）依题意可知直线与圆相切于点， 所以， 当（为坐标原点），，三点共线时， 取得最大值7和最小值3， 所以的取值范围为. （ii）设为曲线上任意一点. 假设在轴上存在定点（异于点）满足条件， 设， 因为为圆的切线，且圆的半径为1， 所以. 若对恒为定值， 则必有，得， 所以或（舍去）， 所以在轴上存在定点，使得为定值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.3 直线与圆的位置关系 题型1：判断直线与圆的位置关系 1．已知圆，则直线和圆的位置关系为 . 2．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 3．直线和的位置关系是 ． 题型2：根据直线与圆的位置关系求参数 4．直线与圆相交，则的取值范围是 . 5．若直线是圆的一条对称轴，则 ． 6．若直线与圆相切，则等于 7．若过点且与圆相切的直线只有一条，则 . 题型3：求直线与圆相交点的坐标 8．直线l：2x+y–6=0与圆C：x2+y2–2y–9=0相交于A、B两点，则A、B的中点C的坐标为 ． 9．已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为 ． 题型4：过圆上一点的切线方程 10．圆在点处的切线方程为 . 11．已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 12．已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 题型5：过圆外一点的切线方程 13．过点作圆的切线，切线方程为 . 14．已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为 . 15．从点发出的光线，经轴反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的一般式方程为 ． 题型6：切线长 16．过点的直线与圆相切，切点为，则 . 17．若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则 ． 18．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 题型7：切点弦及其方程 19．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 20．从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ． 21．已知直线是圆的对称轴，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程是 . 题型8：已知切线求参数 22．若直线与圆相切，则实数 ． 23．在平面直角坐标系中，的坐标满足，，已知圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当最大时，圆关于点对称的圆的方程为 ． 题型9：圆的弦长与中点弦 24．已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为 25．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的取值范围是 . 26．已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 题型10：已知圆的弦长求方程或参数 27．已知经过原点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（    ） A． B． C． D． 题型11：圆内接三角形的面积 29．已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 30．经过原点且倾斜角为的直线被圆C:截得的弦长是，则圆在轴下方部分与轴围成的图形的面积等于（    ） A． B． C． D． 题型12：直线与圆的实际应用 31．某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 32．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型13：坐标法解直线与圆的位置关系 33．平面直角坐标系中，已知点，圆O：与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点．若线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 ． 34．在平面直角坐标系中，圆的方程为，点在直线上，若过点存在直线与圆交于A，B两点，且点A为中点，则点的横坐标的取值范围是 . 题型14：定点、定值问题 35．在平面直角坐标系中，已知，圆，在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数），则的坐标为 ． 36．已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 . 37．已知圆，点，点在圆上运动，则的中点的轨迹方程为 ；过原点的两条直线与点的轨迹分别交于两点，直线的斜率之积为，，为垂足，有一定点，使得为定值，则点坐标为 . 题型15：最值问题 38．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为 . 39．已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为 ；点到直线的最大距离为 ． 题型16：解答题 40．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 41．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 42．已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 43．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值. 一、填空题 1．已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 2．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 . 3．已知，，，则下列结论中正确的是 . ①当时，； ②当时，有1个元素； ③若有2个元素，则； ④若有4个元素，则无整数解； 二、解答题 4．在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 5．已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程. 6．在平面直角坐标系xOy中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点A，B，与圆交于点C，D． （1）若AB＝，求CD的长； （2）若直线斜率为2，求的面积；   （3）若CD的中点为E，求面积的取值范围． 7．已知圆和点. (1)点在圆上运动，且为线段ME的中点，求点的轨迹曲线的方程. (2)设为（1）中曲线上任意一点，过点向圆引一条切线，切点为. （i）求的取值范围. （ii）试探究：在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$