2.1.4 圆与圆的位置关系（十二大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.1.4 圆与圆的位置关系 题型1：判断圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系为 ． 【答案】相交 【分析】计算两圆的圆心距，再与两圆半径比较即得. 【解析】由圆的方程可知，两圆圆心分别为，半径分别为， 由，显然， 故圆与圆相交． 故答案为：相交. 2．已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 【答案】内含 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系. 【解析】因为圆：，圆：， 所以圆心距， 而两圆半径之差，故两个圆内含． 故答案为：内含 题型2：求两圆的交点坐标 3．圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【答案】（或） 【分析】先求出两圆的交点，利用直接法或者待定系数法可求圆的方程，或者利用圆系方程求解. 【解析】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 4．圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是 . 【答案】 【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程， 【解析】圆方程为，圆方程为， 则圆心分别为，，两圆相交于两点，则线段AB的垂直平分线即为直线， ，则直线的方程为，即， 故答案为： 题型3：由圆的位置关系确定参数或范围 5．已知圆与圆相交，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解析】因为圆的圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距为，且两圆相交，则，解得. 故答案为： 6．已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是 . 【答案】或2 【分析】先由圆的标准方程得到两圆的圆心与半径，再利用两圆内切得到关于的方程，解之即可得解. 【解析】由题可知圆心，半径，圆心，半径， 因为圆与圆内切， 所以，解得或. 故答案为：或2. 7．若圆与圆恰有3条公切线，则的值为 ． 【答案】7 【分析】根据两圆外切，即可根据圆心距和半径的关系求解. 【解析】由于圆与圆恰有3条公切线，故两圆外切， 的圆心，半径为，的圆心，半径为， 故，故，解得， 故答案为：7 题型4：由圆与圆的位置确定圆的方程 8．与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【解析】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 9．写出一个与圆外切，并与直线及轴都相切的圆的方程 . 【答案】或或或（写出其中一个即可） 【分析】设出圆的方程，由已知条件及几何关系建立等量关系，用待定系数法求解即可. 【解析】设所求圆的方程为：， 因为与圆外切，所以， 又因为与直线及轴都相切，所以圆心在上或上 当圆心在上，所以，， 联立得：，解得：， 所以求得圆的方程为：或 当圆心在上，所以，， 联立得：，解得：，， 所以求得圆的方程为：或。 故答案为：或或或（写出其中一个即可） 10．已知为坐标原点，点在第一象限，的内切圆的方程为，分别以为圆心作圆，且两两相外切，则的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由三角形的内切圆性质确定点坐标，再由两两相外切的充要条件解出圆的半径，即可得圆的标准方程. 【解析】由已知，过点与圆相切的直线有两条，一条为直线，另一条为直线， 如图，即轴与直线． 设分别切于两点，四边形为正方形.    则,，， 故， 设，则， 解得，故，则， 设的半径分别为， 则，解得， 故所求的标准方程为. 故答案为： 题型5：相交圆的公共弦方程 11．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 . 【答案】 【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为. 【解析】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 12．已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为 . 【答案】 【分析】求出，得到圆，两圆相减得到相交弦方程. 【解析】圆：的圆心坐标为， 因为圆过圆的圆心，所以， 所以，所以：， 两圆的方程相减可得相交弦方程为. 故答案为：. 13．圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，设，根据，，求出过四点的圆的方程，利用两个圆的方程相减得直线的方程，从而可得定点坐标. 【解析】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆的圆心，得， 故动点在直线上， 设， 因为，，所以四点共圆，该圆的圆心坐标为，半径为， 所以该圆的方程为，即， 又圆， 所以两圆公共弦所在直线的方程为， 所以直线过定点. 故答案为： 题型6：两圆的公共弦长 14．已知圆：与圆：相交于两点，则 . 【答案】 【分析】求出两圆相交弦所在直线方程，利用弦长公式计算可得结果. 【解析】根据题意可知两圆相交，且圆心，其半径为； 将两圆方程相减可得直线的方程为； 所以圆心到直线的距离为， 因此弦长. 故答案为： 15．若圆与圆相交于两点，且，则实数 ． 【答案】或 【分析】由两个圆方程得到公共弦直线方程，由垂径定理得到等式，解方程即可得到答案. 【解析】，圆心，半径 ∴直线：， 圆心到直线距离， 由垂径定理可得，∴，即， ∴或，经验证均满足题意. 故答案为：或 16．已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 . 【答案】/ 【分析】由圆的方程的特征求出，再将圆的方程化为标准式，令、得到两个圆的方程，两圆作差得到公共弦方程，求出公共弦长，即可求出. 【解析】圆， 则，解得， 所以圆，即， 由题设，令可得，令可得， 显然两圆相交，则两圆方程作差可得， 当直线为时，圆心到直线的距离为， 弦长， 所以，则. 故答案为： 题型7：圆的公切线条数 17．已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由两圆有4条公切线得两圆外离，可出不等式求解即可． 【解析】由题可得，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为1， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 故圆心距，解得， 故答案为：． 18．若圆与圆有且仅有一条公切线， . 【答案】 【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可. 【解析】由， 显然， 又只有一条公切线，所以相内切， 将点坐标代入圆方程知，即在圆外部， 所以圆内切于圆， 则有， 解之得. 故答案为： 19．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意知两圆相交，即可利用圆心距与半径的关系列不等式求解. 【解析】若圆与圆有且仅有两条公切线时，则两圆相交， 因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，又，所以， 若两圆相交，则满足，即, 平方化简得，结合得， 即的取值范围为. 故答案为： 20．已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 【答案】 【分析】根据圆心和半径判断两圆为外切，结合图形可得内公切线时斜率最大，根据垂直关系即可求解. 【解析】的圆心和半径分别为，的圆心和半径分别为， 由于，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案为： 21．梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知圆与圆相离，由弧所对的圆心角为，分析两圆的外公切线与内公切线及圆心的变化位置，通过构造法求出，分析计算可得弧上的点与圆上的点的最短距离. 【解析】如图，构造等腰三角形，其中顶角，则， 过作的角平分线交于，则. 故与相似，不妨设，， 则，， 则，即，由，解得， 则，则. 由题意，弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切， 则圆与圆有4条公切线，即两圆相离，且与圆相切的切点均在弧上. 如图， 设弧的中点为，弧所对的圆心角为， 圆的半径，在弧上取两点，则， 分别过点作圆的切线，由对称性可知两切线交直线于同一点，设为， 当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线， 则圆的圆心在线段上，且不包括端点，即. 过点，分别向作垂线，垂足为， 则即为圆的半径，由两圆相离可知，. 设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度. 在中，， 则， 而. 故 即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径和，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径和，即. 题型8：圆的公切线方程、公切线长 22．写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【分析】根据圆与圆的位置关系，先确定出切线条数，其中可直接根据位置关系求得，根据与圆心连线的位置关系以及与相切可求方程，根据直线关于直线的对称直线求法求解出的方程. 【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线， 易得切线的方程为， 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以， 又和关于对称，联立，解得，且在上， 在上任取一点，设其关于的对称点为， 则，解得， 则，所以直线，即， 综上，切线方程为或或． 故答案为：（答案不唯一，或均可以）． 23．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程. 【解析】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 24．圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【解析】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    25．已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为 . 【答案】 【分析】根据题意作出如下图形：      由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距， 再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，，问题得解． 【解析】根据题意作出如下图形：    AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. 当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即 不妨设 过作AB的平行线交于点E，则：，且 , 直线的斜率为：， 所以直线AB与直线的夹角正切为：. 在直角三角形中，，所以， 又,整理得：， 解得：，又，解得：，， 所以=. 【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题． 26．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为 ． 【答案】 【分析】设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长． 【解析】设，圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则 ， ， ， ， ∵∠APB的大小恒为定值， ∴t＝，∴|OP|=． 故答案为： 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 题型9：圆与圆的位置关系综合辨析 27．已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 【答案】①③④ 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③；根据的值求出圆的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④. 【解析】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确； 对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误； 对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为， 则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确； 对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确． 故答案为：①③④    28．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【解析】对于A，和圆， 圆心和半径分别是， 则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为，    则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D正确. 故选：D. 题型10：判断命题的真假 29．在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】 对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑. 【解析】对于①，取直线, 则对于任意的，有， 故圆均在直线的下方， 而对任意的，有， 故圆均在直线的上方， 而当时，表示原点，它在直线的下方， 故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为 当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 30．已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 【答案】C 【分析】对于①，求得两圆的圆心距与两圆的半径，可得两圆总相交，可判断①；对于②，当与圆相切时，可得，可判断②. 【解析】由，可得圆心，半径为， 由，可得，半径， 由，所以， 所以两圆相交，故不存在，使圆与圆相切， 故①为假命题； 因为，所以直线过点， 当与圆相切时，可得，所以， 所以对任意，直线上都存在点， 圆上都存在两点、，使.故②正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断圆与圆的位置关系，常常求得两圆圆心之间的距离，并与半径和差之间的关系判断. 题型11：其他问题综合 31．已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意做出垂线，得到垂线方程，后依据题意求出新圆的半径，再建立方程组求出圆心即可. 【解析】由题意得圆的标准方程为，所以半径为， 如图，过圆心作直线的垂线，由题意得垂线斜率为， 故设其方程为，将带入其中， 可得，解得，所以垂线方程为， 因为求半径最小的圆，所以圆的圆心在直线上， 而圆心到直线的距离为， 故圆的半径为， 设圆心，已知，解得， 即圆心，故D正确. 故选：D 32．已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由面积公式先得长，根据正三角形与圆的对称性判定三点共线，再根据两圆的位置关系判定即可. 【解析】设中点为E，由正三角形面积公式可知， 由正三角形及圆的对称性可知，则三点共线， 而， 因为，所以P在以为圆心，2为半径的圆上， 由圆的位置关系可知，当且仅当时取得，此时， 即满足条件的点P只有一个. 故选：A 33．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【解析】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B    34．已知曲线的方程为，若经过点的直线l与曲线有四个交点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆，计算可得两圆外切，设过点且与圆相切的直线方程并借助点到直线的距离公式计算，可得两切线斜率，再排除直线的斜率即可得解. 【解析】如图，曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆， 由，故此时两圆位置为外切， 设过点且与圆相切的直线方程为， 则点到该直线的距离，解得，， 即图中直线的斜率为1，直线的斜率为，又直线的斜率为， 所以直线斜率的取值范围为. 故选：A． 35．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】C 【分析】对A：设点，由两点的距离公式代入化简判断；对B：根据两点间的距离公式求得点到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此分析判断. 【解析】对A：设点， ∵，则，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对B：的圆心，半径为， ∵点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确； 对C：设点， ∵，则，整理得， ∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，没有公共点， ∴在C上不存在点M，使得，C不正确； 对D：∵圆心到直线的距离为， ∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确； 故选：C. 【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可. 题型12：解答题 36．已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【答案】(1)时，两圆外切；时，两圆内切． (2) (3) (4) 【分析】（1）将两圆化成标准方程，算出圆心坐标和它们的半径，根据两圆相切的性质，可解出满足条件的实数a的值； （2）根据两圆相交的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （3）根据两圆外离的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （4）根据两圆内含的性质，建立关于a的不等式，解之即可. 【解析】（1）将圆、圆的方程配方后可得 ，， 圆心，，半径，． ． 当，即时，两圆外切； 当，即时，两圆内切． （2）当，即时，两圆相交，的取值范围为． （3）当，即时，两圆外离，的取值范围为． （4）当，即时，两圆内含，的取值范围为． 37．已知圆：和圆：. (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心和半径，利用半径和差与圆心距的大小关系判断圆的位置关系； （2）两圆方程作差求公共弦方程，应用几何法求公共弦长. 【解析】（1）根据题意，圆：的圆心为，半径， 圆：，得，圆心为，半径， 圆心距， ， 圆和圆相交. （2）将两圆方程相减，有，即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离，故公共弦的弦长为. 38．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题： (1)如图1，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，求母球A的球心运动的直线方程； (2)如图2，若母球A的位置为，目标球B的位置为，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向处运动？ 【答案】(1)； (2)不能使目标球B向C（8，－4）处运动． 【分析】（1）依题意，结合图形，先求得直线方程，则母球在碰撞前时的球心在直线上，且，由此求得点坐标，即得球心运动的直线方程； （2）先假设可以使目标球B向C（8，－4）处运动，则需使母球在运动到点处前不与目标球发生接触，故就要计算点到直线的距离，看是否一直比2大，经计算得出为锐角，故可推断母球在到达点前会与球发生接触. 【解析】（1）                           如图1，点所在的直线方程为， 可知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限， 设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为，此时，则 解得，，即A，B两球碰撞时，球A的球心坐标， 所以母球A的球心运动的直线方程为，即； （2）                           假设能使目标球B向处运动，则由（1）知球A需运动到处，且到达A'处前不与目标球B接触． 如图2，设与x轴的交点为．因为的斜率为－1，所以． 因为AA'的斜率为，所以．所以为锐角． 过点B作于点E，因为，所以， 所以球A的球心还未到直线BC上时，就会与目标球B接触，所以不能使目标球B向处运动． 39．在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求解两圆的半径和圆心，即可根据外公切线的性质，结合勾股定理求解， （2）①根据两点距离公式，即可代入化简求解，②根据相切求解经过切点的圆，即可两圆方程相减得相交弦方程，即可根据点到直线的距离公式，结合对勾函数的性质求解. 【解析】（1）圆心，半径为, 圆心，半径为， 故， 所以外公切线长为． （2）①设点，则满足，得， 所以 ， 而，得，所以． ②设点，以为直径的圆方程为， 即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为． 圆心到直线AB的距离为， 又因为点在圆上，即，， 所以， 设，且， 由对勾函数在单调递减，在单调递增， 得的最小值为，， , 最大值为， 所以的取值范围为 一、填空题 1．已知常数，集合，，若，则t的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，根据，得到，结合，得到，变形得到，根据几何意义得到两圆内含或内切，得到不等关系，求出答案. 【解析】设，则，解得， 因为，所以，即， 化简得到，其中， 整理得， 所以集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部， 而集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部， 因为，所以，故两圆内含或内切， 故圆心距小于等于半径之差，即，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】以复数为载体，考查核心内容为轨迹问题，数形结合进行求解，这是复数的模长相关题目的基本思路和方法. 2．已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意首先得，，取点关于直线的对称点为，结合三角形三边关系即可求解. 【解析】 由题意即，即， 所以， 注意到点不满足和， 所以化简得， 又， 两式相减得公共弦方程为， 所以直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以 ， 当且仅当点与与直线的交点重合时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是取点关于直线的对称点为，由此即可顺利得解. 二、单选题 3．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值. 【解析】由题可知：，圆心，半径， 又，是的中点，所以， 所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆要包括圆， 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值. 三、解答题 4．在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点． (1)求圆C的方程； (2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N． ①求证：存在定点B，使得； ②求当取得最小值时，直线PN的方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，与圆有关的最值， （1）由两圆的位置关系求圆C方程； （2）①由，直接法得，由点P为圆C上的动点得，求B点坐标； ，在圆C外，在圆C内，点P为线段BN与圆C的公共点时“”能成立．从而得直线方程． 【解析】（1）圆，即， 所以圆心为，圆的半径． 由圆与圆相切于点 ， 得，，即 解得或 由直线l：与圆C有公共点，， 所以 所以圆C的方程为. （2）直线l分别与x轴和y轴交点，． ：设点，，则， 由得，， 即，由点P为圆C上的动点得，即 故存在定点，使得． ：由得，，所以， 易知，在圆C外，在圆C内， 所以线段BN与圆C有公共点，即中“”能成立． 所以当点P为线段BN与圆C的公共点时，取得最小值， 此时，直线PN的方程为，即． 5．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4． （1）求a的值； （2）当线段AB最短时，求直线l的方程； （3）问：满足条件的点P有几个？请说明理由． 【答案】（1）a＝3；（2）3x+4y+15＝0；（3）2个，理由见解析． 【分析】(1)依题意计算 ，可得结果； (2)解法1(代数法)：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d的最大值即可得结果； 解法2(几何法)：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解； (3)采用分类讨论，O1，O 在直线 AB 同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得 d2+(2t)2＝100，并得t2＝|MP|2＝25﹣(d﹣3)2 或 t2＝|MP|2＝25﹣(d+3)2计算即可判断． 【解析】解：(1)当直线l过圆心点O1时， ， 解得a＝3(负值舍去)． (2)解法1(代数法)：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为 x0x+y0y＝9， 且 ， 所以圆心O1到直线l的距离 ， 记z＝3x0+4y0，则直线3x0+4y0﹣z＝0 与圆 有公共点， 所以圆心(0，0)到直线 3x+4y﹣z＝0 的距离 ，所以﹣15⩽z⩽15， 所以当z＝﹣15 时，dmax＝8，此时弦长 最短， 由，解得， 所以直线l 的方程为 3x+4y+15＝0． 解法2(几何法)：如图，过 O1 作 O1M⊥AB，则 M 为弦 AB 的中点，设 d＝|O1M|， 当|O1M|最长时，弦长|AB|最短， 因为 d⩽|O1P|⩽|OO1|+|OP|＝8， 当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值， 此时 OO1⊥AB， 因为 ， 所以直线 OO1 的方程为 ， 由， 解得(P点在第 3 象限) 所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0． (3)因为， 所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t(t＞0)， 所以|AB|＝4t， 所以 d2+(2t)2＝100  ①， (i)如图，当O1，O 在直线 AB 同侧时， t2＝|MP|2＝25﹣(d﹣3)2②， 由①②得d＝6 或 d＝2， 当d＝6 时，直线 AB 可看作是圆 x2+y2＝9 与圆(x﹣3)2+(y﹣4)2＝36 的公切线， 此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个， d＝2 时，直线 AB 可看作是圆 x2+y2＝9 与圆(x﹣3)2+(y﹣4)2＝4 的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个， (ii)如图，当O1，O 在直线 AB 异侧时， t2＝|MP|2＝25﹣(d+3)2，③ 由①③可得d＝﹣6 或 d＝﹣2(舍)，满足条件的P点不存在， 综上，满足条件的点P共有4个． 附：当d＝6 时 ， 即|3x0+4y0﹣9|＝18， 由 解得P(﹣3，0)或 ， 当d＝2 时 ， 即|3x0+4y0﹣9|＝6， 由， 解得或 或 ( 舍去 )． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及其判定，涉及两圆的公切线问题，与圆有关的最值问题，要注意考虑到各种不同的情况，避免遗漏，又要注意检验取舍，仔细认真计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.4 圆与圆的位置关系 题型1：判断圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系为 ． 2．已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 题型2：求两圆的交点坐标 3．圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 4．圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是 . 题型3：由圆的位置关系确定参数或范围 5．已知圆与圆相交，则的取值范围为 . 6．已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是 . 7．若圆与圆恰有3条公切线，则的值为 ． 题型4：由圆与圆的位置确定圆的方程 8．与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 9．写出一个与圆外切，并与直线及轴都相切的圆的方程 . 10．已知为坐标原点，点在第一象限，的内切圆的方程为，分别以为圆心作圆，且两两相外切，则的标准方程为 ． 题型5：相交圆的公共弦方程 11．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 . 12．已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为 . 13．圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线必过定点，那么定点的坐标为 ． 题型6：两圆的公共弦长 14．已知圆：与圆：相交于两点，则 . 15．若圆与圆相交于两点，且，则实数 ． 16．已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 . 题型7：圆的公切线条数 17．已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为 ． 18．若圆与圆有且仅有一条公切线， . 19．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为 . 20．已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 21．梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 . 题型8：圆的公切线方程、公切线长 22．写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 23．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 24．圆与圆的公切线长为 . 25．已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为 . 26．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为 ． 题型9：圆与圆的位置关系综合辨析 27．已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 28．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 题型10：判断命题的真假 29．在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 30．已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 题型11：其他问题综合 31．已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 32．已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 34．已知曲线的方程为，若经过点的直线l与曲线有四个交点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 题型12：解答题 36．已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 37．已知圆：和圆：. (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 38．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题： (1)如图1，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，求母球A的球心运动的直线方程； (2)如图2，若母球A的位置为，目标球B的位置为，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向处运动？ 39．在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 一、填空题 1．已知常数，集合，，若，则t的取值范围是 . 2．已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 二、单选题 3．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 4．在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点． (1)求圆C的方程； (2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N． ①求证：存在定点B，使得； ②求当取得最小值时，直线PN的方程． 5．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4． （1）求a的值； （2）当线段AB最短时，求直线l的方程； （3）问：满足条件的点P有几个？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$