第二章 圆锥曲线（压轴专练）（十一大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第二章 圆锥曲线（压轴专练）（十一大题型） 题型1：圆、圆与圆锥曲线 1．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知满足条件（其中i为虚数单位）的复数z在复平面xOy对应的点的轨迹为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数对应的点为，定直线m的方程为，过的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、Q两点，M是弦PQ中点． (1)若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直； (2)当时，求直线l的一般式方程； (3)设，试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值，若t不为定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)是， 【分析】（1）通过圆心和计算出的斜率，的斜率已知为，计算即可证明与垂直； （2）对直线的斜率是否存在分类讨论，利用几何方法（是圆心到直线的距离，是圆的半径）求解斜率； （3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时通过数值直接计算即可；斜率存在时，先与圆的方程联立求从而求解出的坐标表示，同理与联立求解出的坐标表示，由此计算是否为定值. 【解析】（1）因为，所以，所以圆心，半径； 又因为，所以，而，所以，所以与垂直； （2）当直线的斜率不存在时，，此时，所以，满足题意； 当的斜率存在且为时，，即，则， 所以由，得，解得，此时； 综上：直线的方程为或； （3）当直线的斜率不存在时，易知， 所以，所以，即； 当直线的斜率存在且为时，设，， 联立，消去，得， 所以，，即，所以； 又由，可得，所以， 故， 综上：为定值，且. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的综合应用，难度较难. （1）复数的常见轨迹问题：表示以对应的点为圆心，半径为的圆；且表示以对应的点为焦点，为长轴长的椭圆； （2）定值问题的计算，可采用由特殊到一般的思路去解答. 2．（23-24高二下·上海·期末）满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． (1)若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； (2)求证：集合的包络曲线E为：； (3)在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)或 【分析】（1）圆心到直线的距离等于1，得到方程，求出； （2）在上任取一点，求出在该点处的切线方程，令直线族中，得到直线，而对于任意，都是抛物线在点处的切线，证明出结论； （3）设，求出抛物线在点处的切线方程为，同理，抛物线在点处的切线方程为，从而得到直线的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，得到，求出，将其代入，得到方程，求出或，求出答案. 【解析】（1）由定义可知，与相切， 即圆心到直线的距离等于1， 即，故， （2）， 在上任取一点，在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在处的切线方程为， 即， 令直线族中，故， 则直线， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对于任意，都是抛物线在点处的切线， 所以集合的包络曲线； （3）设， 则抛物线在点处的切线方程为， 即， 故， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 又两切线交点为， 所以，所以直线的方程为， 联立，得， 故， 因为，所以， 即， ， 由于，所以， 又因为，所以，所以， 故， 又点在直线上，所以， 解得或， 故点或 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 题型2：中点弦、弦长问题 3．（2023·上海徐汇·三模）椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. (1)求椭圆与双曲线的标准方程； (2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； (3)过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义以及双曲线的渐近线分析运算； （2）根据题意利用点差法分析运算； （3）根据题意讨论直线的斜率是否为0，结合韦达定理以及向量的线性运算分析运算. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次为、、， 则可得， 因为双曲线的焦点在x轴上，且渐近线是，则，即， 可得，即，所以， 又因为点在椭圆上，则的周长为， 解得， 可得， 所以椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程.    （2）设，则的中点， 由题意可知：，则， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减可得， 整理得，即， 又因为，则， 且点均在直线上，则点即为点，即为的中点. （3）设， 当直线的斜率为0时，则， 可得， 因为，则，解得， 又因为，则，解得，即； 当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为， 可得， 联立方程，消去x得， 则，解得或， 可得， 因为，则，整理得， 由，可得， 又因为，则， 整理得； 综上所述：点的轨迹方程为.    【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 4．（23-24高三上·上海黄浦·期中）已知为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段的中点为M.    (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程. (2)若，直线经过点，且，求直线的方程. (3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线经过线段中点N，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据曲线和有且仅有两个公共点，可得曲线和的两公共点为左右顶点，从而可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解； （2）设，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式运算求解； （3）联立方程，利用韦达定理可得，同理可得，再根据，即可得出结论. 【解析】（1）因为曲线和有且仅有两个公共点， 所以曲线和的两公共点为左右顶点， 则，曲线的半焦距， 所以曲线的离心率，渐近线方程为. （2）由题意可得：曲线：和直线：， 设直线与曲线交与， 联立方程联立，消去y得， 可得，且， 解得， 因为， 整理得，解得或（舍去）， 即，所以直线的方程. （3）联立，消去y得， 则，且，可得， 所以，， 可得， 同理可得：联立直线：与曲线：， 可得， 因为，所以， 又因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 题型3：定点问题 5．（24-25高二上·上海·期中）已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. (1)若，，求曲线的方程； (2)若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； (3)若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)当时，曲线为椭圆； 当时，曲线为抛物线； 当时，曲线为双曲线； (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，化简即可； （2）由题意可得，进而分类讨论可得结论； （3）设直线的方程为，设，则，联立方程组可得，可得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【解析】（1）当，时，则，设， 由题意可得，化简得， 所以曲线的方程为； （2）若，则，设， 由题意可得，化简得，即, 当时，方程表示椭圆； 当时，方程表示抛物线； 当时，方程表示双曲线； （3）若，，则，由（2）可得曲线的方程为， 设直线的方程为， 由，消去，得， 设，则， 所以， 直线的方程为，由双曲线关于轴对称，可得定点在轴上， 当时， ， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛：本题求定点坐标，关键由对称性可得定点在轴上，进而令直线方程中的，求解可得定点坐标. 6．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知椭圆 的左、右顶点分别为、，且椭圆经过点 . (1)求的值，并求经过点且与圆相切的直线方程； (2)设为椭圆上的一个异于、的动点，直线、分别与直线相交于、两点，求的最小值： (3)已知椭圆上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件． 【答案】(1)，相切直线为与 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入点坐标计算即可得，结合直线与圆的位置关系，分切线斜率存在与不存在进行讨论计算即可得切线方程； （2）设，由题目条件求出，由结合基本不等式，即可求出的最小值． （3）充分性：设出直线的方程，联立方程组，根据整理出的关系式，即可得到，即直线过定点；必要性：根据直线过定点，设出直线的方程，联立方程组，求出的表达式，消去即证明出. 【解析】（1）由题意可得，解得，即， 若经过点且与圆相切的直线方程斜率存在，可设为， 则有，解得，即，即， 若经过点且与圆相切的直线方程斜率不存在，则为， 又到的距离为，符合题意，故也与相切， 综上所述，相切直线为与； （2）设，则有，即， 由，则，， 则，故直线的方程为， 其与直线的交点的总坐标为， 又，故直线的方程为， 其与直线的交点的纵坐标为． 于是，即， 故， 当且仅当时，取得最小值； （3）充分性： 因为直线不与坐标轴垂直，设的方程为，， 联立方程组，整理得， ， ， ，， ，， ， ， ， 将代入上式， 整理得：， 恒成立， ，即直线过定点，充分性得证； 必要性： 因为直线不与坐标轴垂直且过点，设的方程为， ，联立方程组， 整理得， ， ，， ，必要性得证. 所以“”是“直线经过定点”的充要条件. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型4：定值问题 7．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】（1）由题意可得，由面积可得，再结合，即可得出答案. （2）直线的方程为，联立方程解出，进而可求面积； （3）设，直线的方程为，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得为定值. 【解析】（1）依题意可知， 当为短轴顶点时，取到最大值， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程. （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设， 若，则直线， 联立方程，消去可得，解得或， 所以的面积. （3）由（2）可设，则， 设直线的方程为，此时， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 则， 不妨设，因为三点共线，则， 可得，则， 因为三点共线，则， 可得，则， 可得， 则，可得， 所以，即. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 8．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据已知结合离心率公式化简计算； （2）应用向量间关系结合基本不等式化简求范围即可； （3）应用斜率积的公式化简得出结合三角形面积公式结合点在椭圆上化简求值. 【解析】（1）由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； （2）由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 所以 （3）法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【点睛】关键点点睛：面积定值关键是应用点在椭圆上代入面积公式化简求值即可. 题型5：最值问题 9．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若轴，求的面积； (2)若，求点的坐标； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆方程求出，从而可得坐标，将其横坐标代入椭圆方程中可求出的值，进而可求出的面积； （2）设点的坐标为，则直线的方程为，代入椭圆方程中求出得，因为，可得，计算即可得出坐标； （3）由（2）同理可求得，从而可得化简后结合基本不等式可得答案 【解析】（1）设椭圆的半长轴长为，短半轴长为，半焦距为， 由椭圆，得，则， 所以， 当时，，得，所以， 所以的面积为； （2）设点的坐标为（），则直线的方程为， 将其代入椭圆方程中可得， 整理得， 所以，得， 所以， 因为，所以，可得， 化简得， 解得，代入得，则， 所以点的坐标为. （3）由（2）得，同理可求得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型6：取值范围问题 10．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值； ②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①;② 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【解析】（1）由双曲线. 的渐近线方程为， 再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得： ，因为，所以解得， 再由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由， 即椭圆C的标准方程为； （2）①直线过椭圆右焦点F₂可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点， 且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得，    设两交点，中点，则有 所以， 即，整理得， 又因为，所以，则. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 11．（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设△OMN、的面积分别为、． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求的值； （2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求的值； （3）设直线、的方程，与椭圆联立方程组表示出，由，化简并结合基本不等式求取值范围. 【解析】（1）椭圆的上顶点坐标为， 则抛物线的焦点为，故. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、， 联立可得，恒成立，则， . （3）设直线、的斜率分别为、，其中，， 联立可得，解得， 点在第三象限，则， 点在第四象限，同理可得， 且    ， 当且仅当时，等号成立. 的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 题型7：平面向量在圆锥曲线的应用 12．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆方程为（），离心率为且过点. (1)求椭圆方程； (2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； (3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析. (3)存在，使成立，最小为3. 【分析】（1）由离心率和顶点得椭圆的方程； （2）设点P，A的坐标，由对称性得点B的坐标，计算斜率之积，证明为定值； （3）按直线MN斜率是否为零分类讨论，计算及，并求的最小值. 【解析】（1）由题，，，所以， 椭圆的方程为. （2）    证明：设点，因为点P在椭圆上，所以，， 同理设点，则，， 因为直线AB过原点，所以关于原点对称，点， . （3）   ，当直线MN斜率为零时，不妨设，， 则，，，， 存在，使成立， 当直线MN斜率不为零时，设直线方程为，，， 联立方程组，消去x得，易知， 所以，，， ， 又因为，， 所以，， 又因为，当时，最小为3， 综上，存在，使成立，最小为3. 【点睛】方法点睛：过定点且斜率不为零的直线可以设为. 13．（2023·上海徐汇·三模）在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.称在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线为曲线，并记在轴上方的部分为曲线，在轴下方的部分为曲线.    (1)写出抛物线和圆的方程； (2)设直线与曲线有不同于点的公共点、，且，求的值； (3)若过曲线上的动点的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点右侧，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)； (3)1. 【分析】（1）利用向量平移求出的方程，并求出与x轴的两个交点坐标即可求出的方程. （2）直线与、的方程分别联立，借助相等的角及正切列式求解作答. （3）按在圆上和在曲线上分类讨论，计算的最大值作答. 【解析】（1）抛物线上的点按得到点， 所以抛物线由抛物线向下平移1个单位得到，则的方程为， 抛物线与轴相交于点， 则以为直径的圆的方程为. （2）将与圆方程联立，消去，有，因为， 所以，即，代入直线方程得， 联立与抛物线方程，得， 所以， 因为，故，解得， 由，可得，所以. （3）设，显然直线斜率存在，设直线的方程为， 由直线与轴的交点在点右侧，所以，下面分两种情况讨论： 情况一：若在圆上，则， 情况二：若在曲线上，因为直线与轴的交点在点右侧，所以斜率大于0，所以点在第一象限， 由直线与曲线恰有两个公共点、，知直线与曲线曲线各有且仅有一个公共点， 因为直线与轴的交点在点右侧以及斜率大于0知： 直线与圆在轴及其上方无公共点，所以直线与曲线相切于点， 于是有，当且仅当时等号成立； 又因为时，， 当且仅当时等号成立，所以， 即直线与抛物线在轴下方部分无公共点，所以直线与曲线相切于点， 由求导得：，直线的斜率为， 于是得直线的方程为，且满足， 由解得，此时取，得， 直线与曲线相切于点、曲线相切于点，符合题意，此时有， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 题型8：证明恒等式 14．（2023·上海杨浦·模拟预测）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.    (1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程； (2)若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值； (3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据抛物线方程写出焦点及准线方程即可； （2）联立方程，由即可得解； （3）设，设抛物线在点处的切线方程为，联立方程，根据求得斜率，进而可求得三条切线方程，从而可求得点、、的横坐标，再根据结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，即可得证. 【解析】（1）焦点为，准线为； （2）将代入， 化简得（*）， 方程（*）的判别式， 化简得，解得； （3）设， 设抛物线在点处的切线方程为， 由，消去并化简得， ， ，， 解得，故切线方程为， ， ，即， 同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为： ，， 联立，解得，即， 同理可得，， 因为， ， ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，是解决本题的关键. 题型9：圆锥曲线的实际应用 15．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， (1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ (2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据，即可根据椭圆中的关系以及离心率公式求解， （2）（i）联立直线与椭圆方程，根据判别式为0可得，进而可得，利用向量的坐标运算，即可求证； （ii）根据法向量可得切线方程，进而根据点到直线的距离公式可得是平行四边形，结合全等和切线长性质可得是菱形，即可根据三角形相似，结合函数的单调性求解即可. 【解析】（1）由题意可知椭圆满足， 故. （2）（i）由测量数据可得，， 故，，墙壁所在直线， 易知直线斜率存在，设，可得， 设切线，联立， 则， 相切可得， 则， 则， 切点， ， 故，，，， 故，则. （ii）设动点，则，不妨设过点的两条切线法向量为， 过点的两条切线法向量为，均为非零向量， 故切线方程为和， 则满足和. 由此可知两组切线分别对应平行，四边形是平行四边形，过圆心做一组邻边的垂线，垂足为, 由于关于原点对称，故也关于原点对称，又, 故故，故平行四边形是菱形. 下面研究菱形的面积： 过作PR的垂线GH，则，由（i）可知,故， 设，则有：，解得，则， 其中的取值范围是， 设，在上是单调函数， 故的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将四边形的面积用表示出来，然后再利用函数的单调性求解最值． 题型10：新定义题 16．（24-25高三上·上海·阶段练习）若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”． (1)试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程； (2)已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围； (3)设函数的图象为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由． 【答案】(1) (答案不唯一) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个切立方的四条边所在直线的方程即可； （2）根据“切立方”的定义，联立与双曲线，由于相切，则，根据，即可求出双曲线的离心率的取值范围； （3）设第一个切点为，则切线为，根据函数的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可. 【解析】（1） 根据“切立方”的定义，结合图象可得， (答案不唯一) （2） 由正方形的方程为，则， 由正方形为双曲线的一个“切立方”， 则，联立可得， 整理得， 则，整理得，即， 则，所以. （3）由函数，则， 设一个切点为， 则 则过该点的一条切线方程为：，即， 由函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线是存在切立方， 则正方形也关于原点对称， 故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：, 设第三个切点为，同理可得另两条切线为， 若存在正方形，即， 由此可设， 代入消元可得， 设， 由，， 由零点存在性定理可知在上有解， 因此曲线存在切立方. 【点睛】关键点点睛：（1）第二问中求双曲线的离心率，关键找到关于的关系式，因此利用直线与双曲线相切，把直线方程与双曲线的方程联立消去建立关于的一元二次方程，然后，建立关于的关系式； （2）第三问的关键在于围成正方形的四条直线方程的设法，利用正方形的对边平行和结合函数的图象关于原点对称，则相互平行的两条切线在轴的截距互为相反数. 题型11：圆锥曲线与数列 17．（24-25高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为． (1)求该椭圆的离心率； (2)若直线经过坐标原点，求面积的最大值； (3)如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由标准方程直接求离心率； （2）由面积公式得到面积，讨论动点的位置，得到面积最大值； （3）联立直线方程与椭圆方程，消元得到二次方程，由根与系数的关系得到交点横坐标的关系，从而得到斜率的表达式，由等差数量的性质建立等量关系得出的取值范围，列出点到直线的距离代数式，建立对于函数，利用函数的单调性得到取值范围. 【解析】（1）由椭圆的方程，知，故， 所以椭圆的离心率 （2）若直线经过坐标原点，则关于原点对称， ， 点是椭圆上一点，为椭圆上（下）顶点时，取得最大值， 此时面积取得最大值为． （3）设直线的方程为，代入椭圆方程， 整理得． 由，得．① 设，则． 因为，所以． 因为，且， 所以． 因为直线不过焦点，所以， 所以，从而，即．② 由①②得，化简得解得．③ 焦点到直线的距离． 令，由知． 于是． 考虑到函数在上严格减，在严格增 所以， 综上可知，的取值范围为． 18．（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用离心率，根据，，的关系即可求出方程. （2）根据条件，向量化，垂直的两个向量数量积为，即可解出值. （3）因为过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧），表示出面积，根据，，总成等比数列列出方程，即可求出. 【解析】（1）因为椭圆：的一个顶点为，离心率为， 所以有，，则，所以， 所以椭圆的方程为. （2）因为为椭圆的右焦点，所以， 过且斜率为的直线与椭圆交于，两点， 所以设直线方程为，，， 则，则， ，，， ，， 因为满足，所以， 即， 即， 则有， 整理得， 解得（舍），. （3）   由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧， 设直线BC的方程为，，，不妨设， 则，， 由得， 所以，，， 因为，，， 所以 ， ， 要使，，总成等比数列，则应有解得， 所以存在，使得，，总成等比数列. 【点睛】第三问关键是，，要结合题和图的特点恰当选择三角形的底和高，计算繁琐一些，注意准确性. 19．（2024·上海·三模）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，，或，，成等差数列 【分析】（1）根据题意可得，结合，求得，进而求得； （2）设点，表示出，结合可得，结合可得不等式，即可求得答案； （3）设点，，①若直线斜率为0，直接验证；②直线斜率不为0，设直线，，，则，，，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【解析】（1）由题意知，，故， 又离心率，故，于是. （2）设点，其中，且， 则， 由，得， ，，，，，，只需， 又，故， 所以的取值范围是. （3），，或，，成等差数列，证明如下： 若，则，设点，. ①若直线斜率为0，则点，不妨令点，， 则，，，此时，，的任意排列，，均不成等比数列，，，或，，成等差数列. ②直线斜率不为0，设直线，，，则点， 由得，， 故，， 因为，，， 所以 ， 所以，，或，，成等差数列. 综合上述，，，或，，成等差数列. 【点睛】关键点睛：本题第三问与数列进行了综合，关键在于判断出结论，进而证明.先由直线斜率为0时，直接验证，，或，，成等差数列；直线斜率不为0时，结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合进行化简验证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆锥曲线（压轴专练）（十一大题型） 题型1：圆、圆与圆锥曲线 1．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知满足条件（其中i为虚数单位）的复数z在复平面xOy对应的点的轨迹为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数对应的点为，定直线m的方程为，过的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、Q两点，M是弦PQ中点． (1)若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直； (2)当时，求直线l的一般式方程； (3)设，试问t是否为定值？若为定值，请求出t的值，若t不为定值，请说明理由． 2．（23-24高二下·上海·期末）满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． (1)若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； (2)求证：集合的包络曲线E为：； (3)在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 题型2：中点弦、弦长问题 3．（2023·上海徐汇·三模）椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. (1)求椭圆与双曲线的标准方程； (2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； (3)过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 4．（23-24高三上·上海黄浦·期中）已知为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段的中点为M.    (1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程. (2)若，直线经过点，且，求直线的方程. (3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线经过线段中点N，求证：. 题型3：定点问题 5．（24-25高二上·上海·期中）已知（），若点到点的距离和它到轴的距离之比为常数，记点的轨迹为曲线. (1)若，，求曲线的方程； (2)若，试根据的不同取值，讨论曲线的形状； (3)若，，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点，若点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 6．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知椭圆 的左、右顶点分别为、，且椭圆经过点 . (1)求的值，并求经过点且与圆相切的直线方程； (2)设为椭圆上的一个异于、的动点，直线、分别与直线相交于、两点，求的最小值： (3)已知椭圆上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件． 题型4：定值问题 7．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 8．（23-24高二下·上海金山·期末）已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 题型5：最值问题 9．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若轴，求的面积； (2)若，求点的坐标； (3)求的最小值. 题型6：取值范围问题 10．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值； ②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 11．（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设△OMN、的面积分别为、． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围. 题型7：平面向量在圆锥曲线的应用 12．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆方程为（），离心率为且过点. (1)求椭圆方程； (2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； (3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 13．（2023·上海徐汇·三模）在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.称在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线为曲线，并记在轴上方的部分为曲线，在轴下方的部分为曲线.    (1)写出抛物线和圆的方程； (2)设直线与曲线有不同于点的公共点、，且，求的值； (3)若过曲线上的动点的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点右侧，求的最大值. 题型8：证明恒等式 14．（2023·上海杨浦·模拟预测）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.    (1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程； (2)若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值； (3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：． 题型9：圆锥曲线的实际应用 15．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， (1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ (2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 题型10：新定义题 16．（24-25高三上·上海·阶段练习）若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”． (1)试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程； (2)已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围； (3)设函数的图象为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由． 题型11：圆锥曲线与数列 17．（24-25高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为． (1)求该椭圆的离心率； (2)若直线经过坐标原点，求面积的最大值； (3)如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围． 18．（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）设椭圆：的一个顶点为，离心率为，为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若满足，求的值； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19．（2024·上海·三模）已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. (1)椭圆的离心率为，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$