专题 第三章图形的初步认识章末重点题型复习（专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

第三章：图形的初步认识章末重点题型复习 题型一 平面图形旋转后所得的立体图形 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）请把下图中的平面图形与其绕所画直线旋转一周之后形成的立体图形用线连接起来． 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 3．（22-23七年级上·江苏常州·期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是___________； (2)若（a是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m n ①通过表格中的数据计算：a=___________，m=___________，n=___________； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________； ③当x变化时，请直接写出与的大小关系． 题型二 截一个几何体可能出现的形状 4．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，用一个平面去截掉一个正方体的一条棱． (1)剩下的几何体的形状是什么？ (2)剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？ 5．（23-24七年级上·江苏·期末）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写表格 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 ______ 9 14 图2 6 8 ______ 图3 7 ______ 15 (2)猜想三个数量间有何关系． (3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数． 6．（21-22七年级上·河南郑州·期末）一个圆柱的底面半径是，高是，把这个圆柱放在水平桌面上，如图． (1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ； (2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ； (3)请你求出在（2）的条件下所截得的最大截面面积． 题型三 画简单物体的三视图 7．（22-23七年级上·江苏南京·期末）如图是7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体，请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图，左视图和俯视图． 8．（21-22七年级上·江苏泰州·期末）图①是一个的简单几何体．请在图②的4×4方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图（请将所画线加粗）． 9．（20-21七年级上·江苏南京·期末）从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件． （1）这个零件的表面积是　 　． （2）请按要求在边长为1网格图里画出这个零件的视图． 10．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．（为便于观察，把需要的小方格涂上阴影，示例：）．    ． 题型四 由三视图还原几何体 11．（22-23七年级上·四川眉山·期末）如图是某个立体图形的三视图，则该立体图形的名称为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 12．（22-23七年级上·山东青岛·期末）一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成．从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体的搭法共有 种． 13．（21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆放而成的，从正面、上面和左面观察这个几何体，得到的平面图形如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ． 14．（21-22七年级上·贵州毕节·期末）一个物体由几个相同的正方体堆叠成，从三个不同方向观察得到的图形如图所示，试回答下面的问题： （1）该物体共有几层？ （2）一共需要几个正方体叠成？ 题型五 由三视图还原几何体的相关计算 15．（23-24七年级上·江苏常州·期末）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面积为 cm2．    16．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图为一几何体的三视图：主视图和左视图都是长方形，俯视图是直角三角形．    (1)写出这个几何体的名称； (2)根据图中的数据，计算该几何体的表面积． 17．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）将6个棱长为1个单位的小正方体在地面上堆叠成如图所示的几何体，然后将露出的表面部分染成红色． (1)画出这个的几何体的三视图； (2)该几何体被染成红色部分的面积为__________． 18．（20-21七年级上·河南洛阳·期末）如图是一个几何体的三视图． （1）说出这个几何体的名称； （2）若主视图的宽为，长为，左视图的宽为，俯视图为直角三角形，其中斜边长为，求这个几何体中所有棱长的和，以及它的表面积和体积． 题型六 由三视图判断小立方体的个数 19．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成的一个几何体，如图所示．          (1)请画出这个几何体的三视图． (2)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 个小正方体． (3)如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是 ． 20．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）由大小相同的小立方体搭成的几何体如图①所示． (1)请在图②的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与（1）中所画的一致，则这样的几何体最少有_____________个小立方体，最多有_____________个小立方体； (3)将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有_____________个． 21．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在地面上，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若保持从左面和从上面看到的这个几何体的形状图不变，最多可以再添加几个这样的小正方体？ 22．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）用相同的小立方块搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请回答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)请在如图的网格中画出当，时这个几何体从左面看到的形状图． (3)这个几何体最少由多少个小立方块搭成？最多由多少个小立方块搭成？ 题型七 由展开图计算几何体的表面积或体积 23．（22-23七年级上·陕西西安·期末）小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 24．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是________．（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积． (3)已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为和，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小． 25．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）我校初一某班的综合实践小组，开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 设计方案：用边长为的正方形纸板可设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒．如图①，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作成甲种纸盒．如图②，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作成乙种纸盒．（接缝处忽略不计） 【初步感知】 （1）按照以上设计，甲种纸盒 ①甲种纸盒的高为______，底面面积为______； ②乙种纸盒的体积为______． 【拓展探究】 （2）小组探究发现：按照上面的制作方案，若设正方形纸板的边长为，纸板的角上剪去的小正方形边长为，则甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积之比与a、b取值无关．请求出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，城南新区黄海纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒．①请你在虚线框内画出一种设计图，标上相应的尺寸；②厂方采购的长方形纸板的面积最小是多少？此时的长和宽分别为多少？（直接写出答案） 26．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______． 题型八 正方体几种展开图的识别 27．（24-25七年级上·全国·期末）如图8是一个无盖正方体纸盒的表面展开图，请解答下列问题： (1)若在图上补上一个同样大小的正方形，它便能围成一个正方体，共有 种补法； (2)请画出两种不同的补法． 28．（23-24七年级上·河北保定·期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是______字； (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为______的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． 29．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①～⑥图形中，是正方体的表面展开图的有__________（只填写序号）． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为20的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子．如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积的____________． 【拓展探究】 （3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形， ①请直接写出你剪开___________条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长． 30．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 题型九 正方体相对两个面上的字或图案 31．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）将下边的图形折成一个立方体，选项中的四个立方体（    ）是由下边的图形折成的． A． B． C． D． 32．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图所示，正方体的展开图为（    ） A．B．C．D． 33．（21-22七年级上·陕西咸阳·期末）下面是一个正方体的平面展开，请把10、、、、、分别填入六个正方形中，使得折成正方体后，相对面上的数互为倒数． 34．（23-24七年级上·陕西安康·期末）如图是一个正方体的平面展开图，折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，a，b，c分别表示有理数． (1)填空： ______； ______； ______； (2)求的值． 题型十 与线段中点的相关计算 35．（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 36．（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 37．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点．    (1)如果，，，则的长为________； (2)如果，，则的长为_________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 38．（22-23七年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，线段与的长度之比为，点为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点，满足，若，求的长用含的代数式表示． 题型十一 与线段有关的动点问题 39．（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 40．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 41．（21-22七年级上·河南许昌·期末）如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 42．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 题型十二 角平分线的相关计算 43．（24-25七年级上·全国·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 44．（21-22七年级上·辽宁大连·期末）已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 45．（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 46．（22-23七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，已知点、为线段上两点，且，点和点分别是线段和的中点．若线段，则线段　　，　　，　　． （2）已知、为从顶点出发的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①如图2，若、均为内的两条射线，且，求的度数． ②如图3，若为外的一条射线，且，则　　． 题型十三 三角板中的角度计算 47．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 48．（20-21七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 49．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 50．（22-23七年级上·吉林白山·期末）【特值初探】： （1）如图1，将一副三角板按此位置摆放，点D在上，若，则 ； 【变式再探】： （2）①如图2，将一副三角板按此位置摆放，点D在上，和分别是和的平分线，求的度数； ②和分别是和内的一条射线，且（，且n为整数），请直接写出 ； 【抽象深探】： （3）当和分别是和内的一条射线时，小刚发现将一副三角板去掉多余的线，可以抽象得到图3的．若在的内部，和分别是和的平分线，设（），请在图3中补全图形并求出的度数．（用含有k，x的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章：图形的初步认识章末重点题型复习 题型一 平面图形旋转后所得的立体图形 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）请把下图中的平面图形与其绕所画直线旋转一周之后形成的立体图形用线连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点线面体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，长方形绕一边旋转一周得到的立体图形是圆柱，直角梯形绕如图所示的一边旋转一周得到的立体图形是圆台，半圆绕直径旋转一周得到的立体图形是球． 【详解】解：如图所示： 2．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体； (2)得到的几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体； （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，面动成体； （2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 3．（22-23七年级上·江苏常州·期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是___________； (2)若（a是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m n ①通过表格中的数据计算：a=___________，m=___________，n=___________； ②当x逐渐增大时，的变化情况：___________； ③当x变化时，请直接写出与的大小关系． 【答案】(1)圆柱 (2)①10，，；②先增大后减小；③当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据圆柱的概念求解即可； （2）①根据题意和圆柱的体积公式分别求解即可； ②根据题意和圆柱的体积公式填写表格，然后求解即可； ③根据②中的表格求解即可． 【详解】（1）根据题意可得，两次旋转所形成的几何体都是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）①由表格可得，当时，， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴； ∴当时，， ∴； 故答案为：10，，； ②由圆柱的体积可得， x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴当x逐渐增大时，的变化情况：先增大后减小； 故答案为：先增大后减小； ③由②中的表格可得， 当时，， 当时，， 当时，． 【点睛】此题考查了圆柱的体积公式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式． 题型二 截一个几何体可能出现的形状 4．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，用一个平面去截掉一个正方体的一条棱． (1)剩下的几何体的形状是什么？ (2)剩下的几何体有几个顶点？几条棱？几个面？ 【答案】(1)五棱柱 (2)10个顶点，15条棱，7个面 【分析】本题考查了用平面去截一个几何体，熟练掌握棱柱的特征是解题的关键． （1）根据五棱柱的定义即可得到结论； （2）根据五棱柱的特征即可得到结论． 【详解】（1）解：剩下的几何体的形状是五棱柱． （2）解：剩下的几何体有10个顶点，15条棱，7个面． 5．（23-24七年级上·江苏·期末）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写表格 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 ______ 9 14 图2 6 8 ______ 图3 7 ______ 15 (2)猜想三个数量间有何关系． (3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】(1)7，12，10 (2) (3) 【分析】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律． （1）观察3个图形，直接填写表格，即可求解； （2）根据（1）中的结果，即可得到之间的数量关系； （3）由题意得出，，代入（2）中的结论，即可． 【详解】（1）解：根据题意，填写表格如下： 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 7 9 14 图2 6 8 12 图3 7 10 15 （2）解：根据图1得：， 根据图2得：， 根据图3得：， 由此猜想三个数量间为； （3）解：一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱， ，， ， ， ，即它的面数是． 6．（21-22七年级上·河南郑州·期末）一个圆柱的底面半径是，高是，把这个圆柱放在水平桌面上，如图． (1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ； (2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是 ； (3)请你求出在（2）的条件下所截得的最大截面面积． 【答案】(1)圆 (2)长方形 (3) 【分析】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的； （2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的； （3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积． 【详解】（1）解：所得的截面是圆， 故答案为：圆． （2）所得的截面是长方形， 故答案为：长方形． （3）在（2）的条件下，经过底面圆心的截面，所截得的最大截面面积为： （）． 因此，在（2）的条件下所截得的最大截面面积为． 【点睛】本题考查认识立体图形和截几何体，掌握立体图形的特征和截面的形状是得出正确答案的关键． 题型三 画简单物体的三视图 7．（22-23七年级上·江苏南京·期末）如图是7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体，请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图，左视图和俯视图． 【答案】见解析 【分析】根据简单几何体三视图的画法即可解答． 【详解】 【点睛】本题考查了简单几何体三视图的画法，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 8．（21-22七年级上·江苏泰州·期末）图①是一个的简单几何体．请在图②的4×4方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图（请将所画线加粗）． 【答案】见解析 【分析】根据三视图的定义画出图形即可． 【详解】 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握作三视图的方法是解题的关键． 9．（20-21七年级上·江苏南京·期末）从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件． （1）这个零件的表面积是　 　． （2）请按要求在边长为1网格图里画出这个零件的视图． 【答案】（1）24；（2）见解析 【分析】（1）几何体的表面积与原来相同，根据正方体的表面积公式计算即可求解； （2）根据几何体画出从左面、上面看所得到的图形即可． 【详解】解：（1）2×2×6＝24． 这个零件的表面积是24， 故答案为：24． （2）如图所示： 【点睛】本题考查了三视图，解题关键是树立空间观念，准确识图，认真计算． 10．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．（为便于观察，把需要的小方格涂上阴影，示例：）．    【答案】见解析 【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，4，2，左视图有2列，每列小正方数形数目分别为4，2，据此可画出图形． 【详解】解：如图所示：   ． 【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 题型四 由三视图还原几何体 11．（22-23七年级上·四川眉山·期末）如图是某个立体图形的三视图，则该立体图形的名称为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】B 【分析】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．由主视图和左视图确定是柱体、锥体、球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥． 故选：B 12．（22-23七年级上·山东青岛·期末）一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成．从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体的搭法共有 种． 【答案】3 【分析】根据搭建该几何体的小立方块的个数，在从上面看到的图形中表示出相应的小立方块个数，即可确定该几何体的搭建方法的数量． 【详解】解∶ ∵这个几何体由13个大小相同的小立方块搭成，并且三视图已经确定， ∴从上面看，这个几何体可能为以下3种情况： （小正方形上面的数字表示该位置上的小立方块的个数） ∴这个几何体的搭法共有3种． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了求几何体的小立方块的个数，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键． 13．（21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆放而成的，从正面、上面和左面观察这个几何体，得到的平面图形如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ． 【答案】5 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由该几何体的三视图知，小正方体的个数分布情况如下： 所以组成这个几何体的小正方体的个数是5， 故答案为：5 【点睛】本题考查由三视图判断几何体；可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小正方体的最少与最多的个数． 14．（21-22七年级上·贵州毕节·期末）一个物体由几个相同的正方体堆叠成，从三个不同方向观察得到的图形如图所示，试回答下面的问题： （1）该物体共有几层？ （2）一共需要几个正方体叠成？ 【答案】（1）三层；（2）9 【分析】（1）由主视图与左视图可以得到该堆砌图形有3层； （2）结合三种视图分析每个位置的小正方体的个数，再写在俯视图中，从而可得答案. 【详解】解：（1）由主视图与左视图可得：这个物体一共有三层. （2）结合三种视图可得：各个位置的小正方体的个数如图示： 所以这个图形一共由9个小正方体组成. 【点睛】本题考查的是根据三视图还原几何体，掌握“由小正方体堆砌图形的三视图还原堆砌图形”是解本题的关键. 题型五 由三视图还原几何体的相关计算 15．（23-24七年级上·江苏常州·期末）已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面积为 cm2．    【答案】 【分析】本题主要考查由三视图还原几何体，长方体的侧面积，掌握由三视图还原几何体的方法是解题的关键． 【详解】解：由三视图可得几何体是长方体，长方体的长、宽、高分别为5 cm、2 cm、6 cm， 长方体的侧面积为：cm2． 故答案案为：． 16．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图为一几何体的三视图：主视图和左视图都是长方形，俯视图是直角三角形．    (1)写出这个几何体的名称； (2)根据图中的数据，计算该几何体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)该几何体的表面积是84 【分析】本题主要考查了三棱柱的三视图以及表面积． （1）由主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，即可得出这个几何体是三棱柱． （2）根据三棱柱的表面积等于三个长方形侧面面积加上上下面的三角形面积计算即可． 【详解】（1）解：由主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形， 可知这个几何体是三棱柱． （2） 答：该几何体的表面积是84． 17．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）将6个棱长为1个单位的小正方体在地面上堆叠成如图所示的几何体，然后将露出的表面部分染成红色． (1)画出这个的几何体的三视图； (2)该几何体被染成红色部分的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题考查简单组合体的三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，1．据此可画出图形； （2）分别从前面，后面，左面，右面和上面数出被染成红色部分的正方形的个数，再乘以1个面的面积即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解： ， 答：该几何体被染成红色部分的面积为21． 18．（20-21七年级上·河南洛阳·期末）如图是一个几何体的三视图． （1）说出这个几何体的名称； （2）若主视图的宽为，长为，左视图的宽为，俯视图为直角三角形，其中斜边长为，求这个几何体中所有棱长的和，以及它的表面积和体积． 【答案】（1）三棱柱；（2）所有棱长的和为；表面积为；体积为 【分析】（1）根据三视图可以判断该几何体是三棱柱； （2）根据三视图和直三棱柱各棱长的关系求出各棱长，再根据表面积和体积公式计算即可． 【详解】解：（1）根据三视图，这个几何体是三棱柱 ； （2）由题意， 棱长的和： ， 表面积：， 体积：，   答：所有棱长的和为；表面积为；体积为． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体、求棱柱的表面积和体积，熟记常见几何体的三视图，掌握三视图与几何体的各棱长关系是解答的关键． 题型六 由三视图判断小立方体的个数 19．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成的一个几何体，如图所示．          (1)请画出这个几何体的三视图． (2)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 个小正方体． (3)如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是 ． 【答案】(1)画图见解析 (2)6 (3)29 【分析】本题考查了三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）主视图和左视图不变，构成图形即可解决问题； （3）求出这个几何体的表面积即可解决问题． 【详解】（1）这个几何体有8个立方体构成，三视图如图所示； （2）最多可以加六个小正方体，具体放的方式，通过俯视图来展示，如下图： 故答案为：6； （3）根据8个小正方体摆放的位置可以发现，从左看与从右看看到的面一样多为6个，从前看和从后看看到的面也一样多为6个，俯视图看到的面是5个， ∴需要喷漆的面的个数为：， 故喷漆面积为． 故答案为：． 20．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）由大小相同的小立方体搭成的几何体如图①所示． (1)请在图②的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与（1）中所画的一致，则这样的几何体最少有_____________个小立方体，最多有_____________个小立方体； (3)将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有_____________个． 【答案】(1)见解析 (2)9，14 (3)2 【分析】考查了作图-三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数． （1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可； （2）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可； （3）根据题意可得其中两面涂色的小立方体有2个． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由俯视图易得最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，所以最少有个小立方块； 最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，所以最多有个小立方块． 故答案为：9，14； （3）将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有2个． 故答案为：2． 21．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在地面上，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若保持从左面和从上面看到的这个几何体的形状图不变，最多可以再添加几个这样的小正方体？ 【答案】(1)见解析 (2)最多可以再添加个这样的小正方体 【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解三视图的定义． （1）观察几何体的形状，根据三视图的定义画出图形； （2）根据题目要求利用俯视图解决问题． 【详解】（1）解：三视图如图所示： （2）解：若保持从左面和从上面看到的这个几何体的形状图不变，最多可以再添加个这样的小正方体见俯视图中的黑点 22．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）用相同的小立方块搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请回答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)请在如图的网格中画出当，时这个几何体从左面看到的形状图． (3)这个几何体最少由多少个小立方块搭成？最多由多少个小立方块搭成？ 【答案】(1)3；1 (2)见解析 (3)最少由9个小立方块搭成，最多由11个小立方块搭成 【分析】本题考查从不同位置看简单组合体． （1）结合从正面、上面看到的形状图可得答案； （2）根据左视图的定义画图即可； （3）由从正面、上面看到的形状图可知，，，，，的最大值为2，且至少有一个是2，由此可得答案． 【详解】（1）解：结合从正面、上面看到的形状图可知，，． 故答案为：3；1． （2）解：如图所示． （3）解：根据题意得： 则最多时，（个），最少时，（个）， 答：这个几何体最少由9个小立方块搭成，最多由11个小立方块搭成． 题型七 由展开图计算几何体的表面积或体积 23．（22-23七年级上·陕西西安·期末）小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 【答案】(1)长方体盒子的长为，宽为； (2)这个包装盒的体积是． 【分析】本题考查了长方体的展开图，关键是得到长方体的长，宽，高． （1）要求长方体的体积，需知长方体的长，宽，高，结合图形可知2个宽2个高20，依此可求长方体盒子的宽；再根据长方体盒子的长宽3，可求长方体盒子的长； （2）根据长方体的体积公式即可求解． 【详解】（1）解：长方体盒子的宽为， 长方体盒子的长为， 答：长方体盒子的长为，宽为； （2）解：这个包装盒的体积为． 答：这个包装盒的体积是． 24．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是________．（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积． (3)已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为和，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小． 【答案】(1)图2 (2)72（立方厘米） (3)，理由见解析 【分析】本题考查了认识立体图形的展开图，列代数式，整式的加减运算等知识，理解题意是解题关键． （1）根据长方形展开图的特征，判断即可． （2）根据长方形的体积公式求解即可． （3）根据展开图的特点先表示，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2； （2）图1中裁去的小正方形边长为， 做成的纸盒的体积； （3），理由如下： ， ， ， ∴． 25．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）我校初一某班的综合实践小组，开展“制作长方体纸盒”的实践活动． 设计方案：用边长为的正方形纸板可设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒．如图①，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作成甲种纸盒．如图②，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作成乙种纸盒．（接缝处忽略不计） 【初步感知】 （1）按照以上设计， 甲种纸盒 ①甲种纸盒的高为______，底面面积为______； ②乙种纸盒的体积为______． 【拓展探究】 （2）小组探究发现：按照上面的制作方案，若设正方形纸板的边长为，纸板的角上剪去的小正方形边长为，则甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积之比与a、b取值无关．请求出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，城南新区黄海纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒．①请你在虚线框内画出一种设计图，标上相应的尺寸；②厂方采购的长方形纸板的面积最小是多少？此时的长和宽分别为多少？（直接写出答案） 【答案】（1）①3；196；②294；（2）的值为2，理由见解析；（3）①见解析；②长方形纸板的面积最小为，此时的长为，宽为 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，长方形的展开图形，解题的关键是数形结合，求出长方体纸盒的长、宽、高． （1）①根据图形求出甲种纸盒的高和底面积即可； ②根据图形先求出乙种纸盒的长、宽、高，然后求出其体积即可； （2）根据题意求出甲种纸盒的体积为；乙种纸盒的体积为，然后求出即可； （3）①根据题意设计出符合要求的图形即可； ②再设计出另外一种情况的长方形纸片，然后进行比较即可． 【详解】解：（1）根据图形可知，①甲种纸盒的高为； 底面边长为：， 底面面积为：； 故答案为：3；196． ②乙种纸盒的长为：， 乙种纸盒的宽为：， 乙种纸盒的高为：， 乙种纸盒的体积为：． 故答案为：294． （2）∵甲种纸片的底面边长为：，高为， ∴甲种纸盒的体积为：； ∵乙种纸盒的长为：，宽为，高为， ∴乙种纸盒的体积为：， ∴． （3）①∵长、宽、高分别为、、， ∴长方形纸板的宽为：， 长为，设计尺寸图，如图所示： ②当购买纸板为设计的图形时，长方形纸板的面积为：， 当设计图形，如下图所示时： 长方形纸板的长为：， 宽为：， 则面积为：， ∵， ∴长方形纸板的面积最小为，此时的长为，宽为． 26．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______． 【答案】(1)，， (2)588；576 (3)C (4) 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）把，，以及，代入 进行计算即可； （3）求出当，时，计算的值即可． （4）把数据代入计算即可． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为 ，剪去的正方形的边长为 ，则折成的无盖长方体盒子的高为 ，底面积为，这个无盖长方体纸盒的容积 ； 故答案为：，，； （2）当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576； （3）由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故答案为：C； （4）当，时，体积最大，最大体积为， 故答案为：． 题型八 正方体几种展开图的识别 27．（24-25七年级上·全国·期末）如图8是一个无盖正方体纸盒的表面展开图，请解答下列问题： (1)若在图上补上一个同样大小的正方形，它便能围成一个正方体，共有 种补法； (2)请画出两种不同的补法． 【答案】(1)4 (2)图见解析 【分析】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的11种展开图，是解题的关键： （1）根据小正方体的展开图，可以添加一个小正方形补成三三型，二三一型，其中三三型只有一种补法，二三一有3种补法，共4种补法； （2）根据（1）的方法，作图即可． 【详解】（1）解：根据小正方体的展开图，可以添加一个小正方形补成三三型，二三一型，其中三三型只有一种补法，二三一有3种补法，共4种补法； 故答案为：4． （2）解：补法如图所示： 28．（23-24七年级上·河北保定·期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是______字； (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为______的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①5；② 【分析】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，图1中的C图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒， 故答案为：C； （2）根据题意可得，与“保”字相对的字是卫， 故答案为：卫； （3）①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为， 故答案为5； ②． 答：纸盒的容积为． 29．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①～⑥图形中，是正方体的表面展开图的有__________（只填写序号）． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为20的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子．如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积的____________． 【拓展探究】 （3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形， ①请直接写出你剪开___________条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长． 【答案】（1）①⑤⑥；（2）；（3）①7；② 【分析】本题主要考查立体图形的展开， 根据正方形展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可判断； 结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积； 只要沿着一条侧棱和上下底的三条棱剪开即可； 根据长方体形盒子得长宽高求得其周长的代数式，结合代数的特点再进行计算． 【详解】解：（1）②正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上地面或下底面，侧面有一个面重合， ④正方体有6个面，但图中却有7个正方形，故④错误； 故答案为：①⑤⑥； （2）无盖盒子的体积为： ， 有盖盒子的长：，宽为：，高为：3， 有盖盒子的体积为： ， 则有盖盒子的体积是无盖盒子体积， 故答案为：； （3）①要沿表面某些棱剪开，展成一个平面图形，只需要剪一条侧棱和上下底的三条棱即可展开， 故答案为：7； ②设长方形长为a，宽为b，高位c，则长方体形盒子展开图的周长， 想要周长最小，只需要b最大，c最小，此时，， 则， 故该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长25． 30．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 【答案】（1）①③④；（2）①；②1000；（3）58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】解：（1）根据构成，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为： ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大， 边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小； 故答案为：58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 题型九 正方体相对两个面上的字或图案 31．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）将下边的图形折成一个立方体，选项中的四个立方体（    ）是由下边的图形折成的． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断． 根据展开图可知，含有面和面不相邻，据此解答． 【详解】根据展开图可以得出正方体有梅花的图案与有横条的图案面相对（不相邻），符合要求的只有B． 故选：B． 32．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图所示，正方体的展开图为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的关键． 【详解】解：根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断C选项符合题意． 故选：C． 33．（21-22七年级上·陕西咸阳·期末）下面是一个正方体的平面展开，请把10、、、、、分别填入六个正方形中，使得折成正方体后，相对面上的数互为倒数． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是倒数的含义，正方体的表面展开图的特点，掌握“正方体相对面之间隔着一个面的特点”是解本题的关键．先判断互为倒数，互为倒数，互为倒数，再分别把互为倒数的两个数填入相对面内即可． 【详解】解：互为倒数，互为倒数，互为倒数， 如图，填入数据如下： 34．（23-24七年级上·陕西安康·期末）如图是一个正方体的平面展开图，折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，a，b，c分别表示有理数． (1)填空： ______； ______； ______； (2)求的值． 【答案】(1)，1， (2)2 【分析】（1）本题考查正方体的展开图和相反数的定义，分别找出a，b，c相对面上的数，根据折成的正方体相对面上的两个数互为相反数，列出等式求解，即可解题． （2）本题考查代数式求值，将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，，， 解得：，，， 故答案为：，1，． （2）解：将a，b，c的值代入中， 有． 题型十 与线段中点的相关计算 35．（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键： （1）中点求出的长，再利用线段的和差关系求解即可； （2）根据中点结合线段的和差关系，得到，即可得出结果； （3）根据，即可得出结果； （4）由（2）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴， ∴； （2）∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴； （4）由（2）知：． 36．（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 37．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点．    (1)如果，，，则的长为________； (2)如果，，则的长为_________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1) (2)14 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出的长，利用线段中点的性质，得出，． （1）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （2）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （3）根据（2）的解题过程，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：14； （3）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， ， ． 38．（22-23七年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，线段与的长度之比为，点为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点，满足，若，求的长用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的应用，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出x，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）由题知，设，， ， ，且， ， ． ，． 点是线段的中点， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 题型十一 与线段有关的动点问题 39．（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 40．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值； （2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答； （3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∴，        ． ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 41．（21-22七年级上·河南许昌·期末）如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【答案】(1)1，3 (2)8cm (3)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可； （2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可； （3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0 ∴a-1=0，b-3=0， ∴a=1，b=3， 故答案为：1；3； （2）当C、D运动时，，， ∴ ． （3）当点N在线段上时， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当点N在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键． 42．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值24； (3)． 【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可； （2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论； （3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解． 【详解】（1）解：∵M是线段AP的中点，∴， ， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵，，， ∴， 即为定值24． （3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧． ∵，，，， ∴， 所以MN的长度无变化是定值． 【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度． 题型十二 角平分线的相关计算 43．（24-25七年级上·全国·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 44．（21-22七年级上·辽宁大连·期末）已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论； （2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变，． 45．（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 【答案】(1)； (2)运动或秒时，直线平分； (3)或． 【分析】（）利用同角的余角相等即可求解； （）分两种情况平分和平分时，分别计算可得答案； （）分四种情况分别画出图形可得答案； 此题考查了角的计算与角平分线的定义，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分 根据题意得，， 解得； 情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得， 综上，运动或秒时，直线平分； （3）或，理由： ，如图： ，如图： ，如图： ，如图： 综上可知：或． 46．（22-23七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，已知点、为线段上两点，且，点和点分别是线段和的中点．若线段，则线段　　，　　，　　． （2）已知、为从顶点出发的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①如图2，若、均为内的两条射线，且，求的度数． ②如图3，若为外的一条射线，且，则　　． 【答案】（1）5；4；4.5；（2）①；②64或16 【分析】本题考查线段长度及角的计算，掌握线段中点的性质，角平分线的定义，角度的和差是解题的关键． （1）根据题意可得，，计算出，，再根据中点的定义得出，，最后根据即可得出答案； （2）①先计算，根据角平分线的定义得出，，进而得出答案；②分两种情况：当在内部时，当在外部时，做出图形，数形结合分别计算即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ，， ，， ，， 点和点分别是线段和的中点， ，， ， 故答案为：5；4；4.5； （2）①， ， ， 平分， ， ， ， ，， 平分， ， ； ②当在内部时，如图所示： ，平分， ， ． ， ． 平分， ， ， ； 当在外部时，如图所示： ， ， ， ． 题型十三 三角板中的角度计算 47．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 48．（20-21七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析 (3)的度数是一个定值，理由见解析 【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键． （1）由平角的性质可求解； （2）由补角和余角的性质可求解； （3）由角平分线的定义和平角的性质可求解． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为90； （2）解：， 理由如下：，， ； （3）解：的度数是一个定值， 理由如下：射线、分别是、的角平分线， ，， ． 49．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 50．（22-23七年级上·吉林白山·期末）【特值初探】： （1）如图1，将一副三角板按此位置摆放，点D在上，若，则 ； 【变式再探】： （2）①如图2，将一副三角板按此位置摆放，点D在上，和分别是和的平分线，求的度数； ②和分别是和内的一条射线，且（，且n为整数），请直接写出 ； 【抽象深探】： （3）当和分别是和内的一条射线时，小刚发现将一副三角板去掉多余的线，可以抽象得到图3的．若在的内部，和分别是和的平分线，设（），请在图3中补全图形并求出的度数．（用含有k，x的代数式表示） 【答案】（1）；（2）①；②；（3）见解析，的度数为或 【详解】 本题主要考查了角平分线的定义，平角的定义等知识点，明确各角之间的关系成为解题的关键． （1）根据平角的定义得，然后代入相关数据计算即可解答； （2）①先根据平角的定义得，再根据角平分线的定义得，进而可得，然后再根据即可解答；②先根据平角的定义得，再根据得，进而根据即可解答 （3）分在的左侧和右侧两种情况，分别根据角平分线的、平角的定义解答即可． 解：（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）①∵， ∴， ∵和分别是和角平分线， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）分两种情况讨论如下： ①当在的左侧时，如图1所示： ∵， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； ②当在的右侧时，如图2所示： 设， ∵， ∴， ∴，； ∵DP和DQ分别是和的平分线， ∴， ， ∴． 综上所述：的度数为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$