精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

延边第二中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 2. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 3. 为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】先分组，再分配即可. 【详解】由题意，将3人分成2组，其中一组2人，有种， 再分配到两所学校，有种， 故共有种安排方法. 故选：A. 4. 设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解. 【详解】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则，故， 因此，当且仅当时取等号， 故选：C 5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线的斜率，进而求得，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，， 所以该渐近线的方程为，所以， 解得或（舍去），所以， 此双曲线的右焦点坐标为，到一条渐近线的距离为. 故选：A 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】如图： 因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则. 故选：C 7. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A. 的面积为 B. 内切圆的面积为 C. 点P的纵坐标为 D. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和余弦定理求出即可判断A，根据三角形面积求出内切圆半径即可判定B，根据三角形面积建立关系求解判断C，根据椭圆的有界性可判断D. 【详解】对于A：根据椭圆定义可得，则， 在中，由余弦定理， 由①②可得， 所以得面积为，故A错误； 对于B：设内切圆半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，故B正确； 对于C：因为的面积为，则， 解得，故C错误； 对于D：设，则，， ， 则当时，的最大值为5，故D错误； 故选：B. 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D. . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（ ） A. 若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法 B. 若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法 C. 若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法 D. 若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，采用捆绑法进行求解；B选项，利用排列知识进行求解；C选项，采用插空法进行求解；D选项，分两种情况，前2个节目都是语言类节目和前2个节目中有1个是语言类节目，分别求出排法后相加即可. 【详解】A选项，若3个歌唱节目排在一起，则有种情况，将3个歌唱节目看为一个整体，和2个语言类节目进行排列，则有种情况， 综上，共有种情况，A错误； B选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有种情况，B正确； C选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有种情况，再将语言类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有种， 综上，共有种情况，C正确； D选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况， 前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况， 综上，有种不同的排法，D正确. 故选：BCD 10. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 三角形的周长是12 B. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为 C. 若，则的位置不唯一 D. 若是双曲线左支上一动点，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合双曲线和圆的性质以及点到直线的距离公式可得A正确；由相同渐近线方程设出双曲线方程，再由焦距解出即可得B错误；由椭圆的轨迹和圆的位置关系得到C正确；由双曲线的定义结合点与圆的位置关系得到D正确； 【详解】由题意可得双曲线，，，，，， 圆心坐标，半径， A，，，， 所以三角形的周长是12，故A正确； B，由题意可设双曲线的方程为或， 变形为标准形式或，， 又双曲线的焦距为8，所以， 所以双曲线为或，故B错误； C，，所以点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 所以轨迹方程为， 圆心坐标代入椭圆方程可得， 所以圆心在椭圆上， 又点是圆上点，画出图形可得 所以，的位置不唯一，故C正确； D，由双曲线的定义可得， 所以， 所以， 因为， 所以当三点共线时，取得最小值， 又因为的最小值为， 所以的最小值是，故D正确； 故选：ACD. 11. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公为， 由，得到，所以的系数为， 故答案为：. 13. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上一动点，平面内存在一点，使的周长最小，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得要使的周长最小，即需最小，结合抛物线性质，可得等于点到准线的距离，设到准线的垂足为，从而可得三点共线时，最小，此时点的横坐标与点横坐标相同，再解出纵坐标即可得. 【详解】由题可知，因为的周长为， 而，所以只需最小即可， 因为点在抛物线上，所以等于点到准线的距离， 设到准线的垂足为，因此， 即三点共线时，最小为6， 此时点的横坐标为1，则，即． 故答案为：. 14. 已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】分段化简方程画出图形，数形结合得到判断①；数形结合，结合椭圆性质判断②；由双曲线渐近线性质及图形判断③；利用的几何意义，结合三角换元得到求出取值范围判断④. 【详解】曲线化为， 画出图形如下，其中直线为曲线对应双曲线的渐近线， 对于①，当时，，①错误； 对于②，当时，；当时，， 当时，，因此的取值范围为，②正确； 对于③，直线与直线平行且在该直线左侧，曲线在直线的右侧， 因此直线与曲线无公共点，不存在点，使得，③正确； 对于④，表示点到直线的距离的倍， 又直线与直线平行且在该直线左侧，且距离为， 于是，随着的增大，值无限接近于， 当在上时，该点到直线的距离可取得最大值， 设，则到直线的距离为 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为，④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答） （1）没有空盒子的方法共有多少种？ （2）可以有空盒子的方法共有多少种？ （3）恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？ （4）恰有一个小球放入自己编号的盒中，有多少种不同的放法？ 【答案】（1）24 （2）256 （3）144 （4）8 【解析】 【分析】（1）4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列即可求得. （2）有4个球，每个球有4种放法， 此时随意放，盒子可以空也可以全用完. （3）恰有一个空盒，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球. (4) 恰有一个小球放入自己编号的盒中,选定从四盒四球中选定标号相同得球和盒，另外三球三盒不能对应共两种. 【小问1详解】 没有空盒子的方法：4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列共种； 【小问2详解】 可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法共种； 【小问3详解】 恰有一个空盒子，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球， 先将四盒中选一个作为空盒，再将四球中选出两球绑在一起，再排列共种； 【小问4详解】 恰有一个小球放入自己编号的盒中,选定从四盒四球中选定标号相同得球和盒，另外三球三盒不能对应共两种，则共种. 16. 已知圆. （1）求的取值范围； （2）当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合方程表示圆的条件，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到圆心，半径为，得到，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【小问1详解】 由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以. 17. 已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1）； （2） 由题意可设， 由可得， 易知恒成立，所以， 又因为， 所以直线的方程为，令，则，故， 同理， 从而， 故为定值． 【解析】 【分析】（1）由题意得，将点代入椭圆的方程可求得的值，进而可得椭圆的方程； （2）设，，，，，联立直线和椭圆的方程，可得，，直线的方程为，令，得，同理，由斜率公式计算即可． 【小问1详解】 因为，所以，再将点代入得， 解得，故椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 18. 设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． （1）求点的轨迹的方程； （2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值，且定值为 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【小问1详解】 设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： 【小问2详解】 由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值． 19. 已知抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3.若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，△ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足3|AM|<2|BM|，直线BC交y轴于点N.记△ABC，△AMG，△CNG的面积分别为S1，S2，S3. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）由抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3构建方程，求得p，则可得准线方程； （2）设点，，由面积公式可知由点G为的重心，且在y轴上，可以表示，由相似三角形可知，即可表示，令，整理得，由，得将视为二次函数求得值域，进而求得的范围，取倒即可得答案. 【详解】（1）有题意知，，，所以准线方程： （2）设点， 点G为的重心，且在y轴上， 所以，且，则，且由相似三角形可知 所以 令， 因为，所以，故，则 故 【点睛】本题考查在抛物线的背景下探究平面图形面积比的范围问题，涉及求抛物线的标准方程，还考查了三角形重心的性质，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 12种 4. 设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A. 的面积为 B. 内切圆的面积为 C. 点P的纵坐标为 D. 若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（ ） A. 若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法 B. 若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法 C. 若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法 D. 若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法 10. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 三角形的周长是12 B. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为 C. 若，则的位置不唯一 D. 若是双曲线左支上一动点，则的最小值是 11. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_________． 13. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上一动点，平面内存在一点，使的周长最小，则点的坐标为_________． 14. 已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答） （1）没有空盒子的方法共有多少种？ （2）可以有空盒子的方法共有多少种？ （3）恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？ （4）恰有一个小球放入自己编号的盒中，有多少种不同的放法？ 16. 已知圆. （1）求的取值范围； （2）当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 17. 已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 18. 设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． （1）求点的轨迹的方程； （2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 19. 已知抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3.若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，△ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足3|AM|<2|BM|，直线BC交y轴于点N.记△ABC，△AMG，△CNG的面积分别为S1，S2，S3. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $