精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年上学期九年级数学期中学情检测卷

2024-2025学年度第一学期学科素养练习 九年级数学 注意事项： 1．全卷共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. 4+4x+4x2＝36 B. 4 （1+x）2＝36 C. （1+x）2＝36 D. 4+4（1+x）+4（1+x）2＝36 5. 如图，中，．将绕点A顺时针旋转得到，与交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 7. 关于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 图像与轴没有交点 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 8. 汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 9. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 ____． 12. 若函数y=x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m=_____． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到△的位置，使，则旋转角的度数为________． 14. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 15. 校运会上，一名男生推铅球，出手点A距地面m，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m时，达到最大高度3m，那么该名男生推铅球的成绩是_____m． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程其中一个根为，求另一根及值； （2）若该方程有实数根，求的取值范围． 18. 如图，与相交于点，，． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、C两点，与直线交于点A、B，其中点B坐标为，点C坐标为 （1）求此抛物线的函数解析式． （2）根据图象，直接写出时，的取值范围． 20. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求； （2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 21. 已知甲乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元。经市场调查发现，甲种玩具每天的销售量件与每件售价元之间的函数关系为，乙种玩具每天的销售量件与每件售价元之间的函数关系为，其中、均为正整数．商店按照甲种玩具单利润是乙种玩具单利润的2倍来确定两种玩具的售价． （1）求甲种玩具每天的销售利润与甲每件售价的关系式； （2）写出甲种玩具每件销价与乙种玩具每件售价的关系式； （3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，求甲种玩具的销价． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 23. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ． （1）如图1，求证：AP＝BQ； （2）如图2，当PQ⊥BQ时，求AP的长； （3）如田3，设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系，并简述理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期学科素养练习 九年级数学 注意事项： 1．全卷共4页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是方程的一个根，可得，再代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3. 把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原抛物线的顶点为，向右平移个单位，那么新抛物线的顶点为．可设新抛物线的解析式为，代入得：． 故选D． 【点睛】考查二次函数图形的平移，平移不改变的大小，解题的关键是通过点的平移规律得到新抛物线的顶点坐标． 4. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. 4+4x+4x2＝36 B. 4 （1+x）2＝36 C. （1+x）2＝36 D. 4+4（1+x）+4（1+x）2＝36 【答案】D 【解析】 【分析】根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约4（1+x）亿元、第三天票房约4（1+x）2亿元，根据三天后累计票房收入达36亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为x， ∴第二天票房约4（1+x）亿元，第三天票房约4（1+x）2亿元． 依题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2=36． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 如图，中，．将绕点A顺时针旋转得到，与交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据旋转的性质得，再利用三角形内角和定理计算出，然后根据邻补角的定义易得． 【详解】∵是由绕点A顺时针旋转得到的， ∴； 又∵， ∴在中，， ∴. 故选择：A 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式与根的情况，判定一元二次方程判别式的符号，即可得出结论．熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 【详解】∵关于的一元二次方程 ∴ ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 关于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 图像与轴没有交点 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：对称轴是直线，故选项A错误； 当时，，，图像与轴有两个交点，故选项B错误； ，故顶点坐标为，故选项C错误； ，函数图像开口向上，当时，随的增大而增大，故选项D正确． 故选D． 8. 汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，当汽车停下来时，最大，故将二次函数解析式转化成顶点式，则顶点横坐标值即为所求，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当秒时，取得最大值，即汽车停下来， 故选：． 9. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质逐一进行判断即可 【详解】解：∵x＝1时，y＝0，∴a＋b＋c＝0，所以①正确； ∵x＝＝－1，∴b＝2a，所以②错误； ∵点(1，0)关于直线x＝－1对称的点的坐标为(－3，0)， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)， ∴ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1，所以③正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0， ∵a＋b＋c＝0，b＝2a，∴c＝－3a， ∴a－2b＋c＝－6a， ∵a＞0，∴－6a＜0 ∴a－2b＋c＜0， 所以④错误． 故选：C 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是 ____． 【答案】（－4，3） 【解析】 【详解】解：关于原点对称的点的坐标横、纵坐标均互为相反数， 则点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是（－4，3）． 12. 若函数y=x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m=_____． 【答案】9 【解析】 【详解】由题意得△=0，即（-6）2-4m=0，解得m=9， 故答案为9. 13. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到△的位置，使，则旋转角的度数为________． 【答案】##56度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、等腰三角形的性质．先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得等于旋转角，，则利用等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数，从而得到旋转角的度数． 【详解】∵， ∴ ∵在平面内绕点旋转到的位置， 等于旋转角，， ∴， ， 旋转角为． 故答案为：． 14. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 【答案】1 【解析】 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得（30-2x）（20-x）=532， 整理，得x2-35x+34=0． 解得，x1=1，x2=34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x=1． 答：小道进出口的宽度应为1米， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据图形列出方程是解题关键． 15. 校运会上，一名男生推铅球，出手点A距地面m，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m时，达到最大高度3m，那么该名男生推铅球的成绩是_____m． 【答案】10 【解析】 【分析】把（0，）代入y=a（x-4）2+3，求出a的值即可，再求出抛物线与x轴的交点即可解决问题； 【详解】设二次函数的解析式为y=a（x-4）2+3， 把（0，）代入y=a（x-4）2+3， 解得，a=-， 则二次函数的解析式为：y=-（x-4）2+3=-； 令y=0得到：-=0， 解得，x1=-2（舍去），x2=10， 则铅球推出的距离为10m． 故答案为10． 【点睛】此题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． 提公因式，利用因式分解法求解即可． 【详解】∵， ∴． ∴． 解得． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程其中一个根为，求另一根及值； （2）若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】（1）另一根为1； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握解一元二次方程和根的判别式是解答本题的关键． （1）把代入求出n的值，利用因式分解即可求出方程的另一个根； （2）根据根的判别式大于或等于零求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程其中一个根为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得，， ∴另一根为1． 【小问2详解】 解：∵该方程有实数根， ∴， ∴． 18. 如图，与相交于点，，． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1） 证明：， ，． 在和中，， ； （2） 如图所示，菱形为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，结合，利用即可证明； （2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的垂直平分线， ， 由（1）的结论可知，, 又∵, 则, ∴ ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、C两点，与直线交于点A、B，其中点B坐标为，点C坐标为 （1）求此抛物线的函数解析式． （2）根据图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把点， 两点坐标代入抛物线的解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象直接写出直线在抛物线下方时的的取值范围即可求解． 【小问1详解】 ∵抛物线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵点在上， 令，得 ∴， 又 根据函数图像可知，当时，的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 20. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求； （2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）的值为12 （2）这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为平方米，最小值为88平方米 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到关于x的一元二次方程，从而可以解答本题，注意平行于墙的一般长不能超过18米； （2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x（30-2x）=-2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 根据题意知平行于墙的一边的长为米， 则有：， ∴， 解得：， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，， 则当苗圃园的面积为72平方米时，． 【小问2详解】 设苗圃园的面积为y， ∴ ， ∵， ∴苗圃园的面积y有最大值， ∵，且， 解得：， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时平方米； 当时，平方米． 【点睛】此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 21. 已知甲乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元。经市场调查发现，甲种玩具每天的销售量件与每件售价元之间的函数关系为，乙种玩具每天的销售量件与每件售价元之间的函数关系为，其中、均为正整数．商店按照甲种玩具单利润是乙种玩具单利润的2倍来确定两种玩具的售价． （1）求甲种玩具每天的销售利润与甲每件售价的关系式； （2）写出甲种玩具每件销价与乙种玩具每件售价的关系式； （3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，求甲种玩具的销价． 【答案】（1） （2） （3）最大时，甲种玩具的销售价为元 【解析】 【分析】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据销售利润=单件利润×销量列式即可； （2）根据“商店按照甲种玩具单利润是乙种玩具单利润的2倍来确定两种玩具的售价”列式即可； （3）先求出总利润之和，利用二次函数的性质，结合x为非负整数，即可得解； 【小问1详解】 依题意，得：， 又且 得： 即 【小问2详解】 依题意，得：， 即 【小问3详解】 ， ， ， ， ， 对称轴为且x为非负整数， ，取最大值， 所以当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，甲种玩具的销售价为元． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）抛物线经过原点和点，由此利用待定系数法即可解决问题； （2）设，可得，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）由（2）可知，由，当点在直线的上方时，线段的最大值是．推出点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，求出直线的解析式，利用方程组即可解决问题． 【小问1详解】 解：把和点代入得到， 解方程组得， ∴抛物线的解析式为． 故答案是：． 【小问2详解】 解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为， ∴，， ∵，轴，在上，在上，， ∴，， ∴， ∵二次函数的二次项系数，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，， 故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是． 【小问3详解】 解：如图所示， 由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是， ∵， ∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴的值为， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题． 23. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ． （1）如图1，求证：AP＝BQ； （2）如图2，当PQ⊥BQ时，求AP的长； （3）如田3，设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系，并简述理由． 【答案】 （1）证明：∵CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ； （2）； （3）EP＋EQ＝EC或EP-EQ＝EC． 【解析】 【分析】（1）欲证明PA＝BQ，只要证明△ACP≌△BCQ即可； （2）如图2中，作CH⊥PQ于H．首先证明A、P、Q共线，利用勾股定理求出AH，PH即可解决问题； （3）分两种情况：①当点E在线段BQ上时，如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O．只要证明△CNP≌△CMQ，△CEM≌△CEN，即可得到EP+EQ＝EC；②当点E在BQ的延长线上时，同法可得：EP−EQ＝EC． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H． ∵PQ⊥BQ， ∴∠PQB＝90°， ∵∠CQP＝∠CPQ＝45°， ∴∠CQB＝135°， ∵△ACP≌△BCQ， ∴∠APC＝∠CQB＝135°， ∴∠APC＋∠CPQ＝180°， ∴A、P、Q共线， ∵PC＝2， ∴CH＝PH＝， 在Rt△ACH中，AH＝=， ∴PA＝AH−PH＝； （3）解：结论：EP＋EQ＝EC或EP-EQ＝EC． 理由：①当点E在线段BQ上时， 如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O． ∵△ACP≌△BCQ， ∴∠CAO＝∠OBE， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠OEB＝∠ACO＝90°， ∵∠M＝∠CNE＝∠MEN＝90°， ∴∠MCN＝∠PCQ＝90°， ∴∠PCN＝∠QCM， ∵PC＝CQ，∠CNP＝∠M＝90°， ∴△CNP≌△CMQ， ∴CN＝CM，QM＝PN， ∵CE＝CE， ∴△CEM≌△CEN， ∴EN＝EM，∠CEM＝∠CEN＝45° ∴EP＋EQ＝EN＋PN＋EM−MQ＝2EN，EC＝EN， ∴EP＋EQ＝EC． ②当点E在BQ的延长线上时，同法可得：EP−EQ＝EC． 综上所述：EP＋EQ＝EC或EP-EQ＝EC． 【点睛】本题考查旋转变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $