精品解析：北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期 期中考试 高二年级数学学科 1．本试卷分为两部分：第一部分为选择题，共48分；第二部分为非择题，共102分． 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 第一部分（选择题共48分） 一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由求出倾斜角. 【详解】直线可化为，设倾斜角为， 则. 故选：A 2. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 3. 轴与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】是以为圆心为半径的圆，根据圆心到轴的距离可判断. 【详解】因为是以为圆心为半径的圆， 圆心到轴为， 所以与轴关系是相离. 故选：C 4. 已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过,的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为3 D. 直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3 ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 5. 已知双曲线的两条渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论双曲线的焦点位置，根据渐近线方程得的值，再根据离心率公式可得结果. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程可知， 所以离心率. 当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程可知， 所以离心率. 故选：D 6. 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项. 【详解】 故选：D 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可. 【详解】 如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误. 故选：D. 8. 过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可. 【详解】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为， 代入椭圆方程得，可得，此时通径长， 所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条. 故选：B 9. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|， ∴|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形， 设A（m2，2m）（m＞0）, 由得，解得 则△AFK的面积=4×2m•=4m=8, 故选B. 10. 已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】易知直线分别经过定点且两直线垂直,所以点在以为直径的圆上,又点是圆上的动点,因此可以求出圆心之间的距离,所以. 【详解】易知直线经过定点, 变形得, 所以直线经过定点 当时,直线垂直； 当时,两直线斜率相乘为,故直线垂直； 所以点在以为直径的圆上, 圆心为的中点,半径为， 点是圆上的动点,圆心,半径， 所以圆心之间的距离, 所以. 故选：A. 11. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得答案. 【详解】因为， 所以可以转化为到的距离， 同理，可以转化为到的距离， 因为， 所以到两定点和的距离之和为， 所以在以点和为焦点的椭圆上， 设椭圆的标准方程为：， 则，， 即， 又， 所以， 所以椭圆的方程为：， 由， 得， 解得，. 故选：D. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，给出下列结论： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③； ④在平面内，若以点，为焦点的椭圆过点，则椭圆的离心率为定值. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①证明平面可判断；对于②由到面的距离恒为正方体的棱长，的面积为定值可判断；对于③证明平面可判断；对于④取为的中点和端点即可判断. 【详解】对于①. 在正方体中，平面,平面则平面. ，平面,平面,则平面. 又, 平面,平面 故平面平面,又平面 所以平面. 故①正确. 对于②. 在正方体中, ,平面，平面 所以平面 故在正方体中点到面的距离恒为正方体的棱长，为1. 又, 则，故②正确. 对于③. , , 平面,平面 所以平面, 平面,所以 又，, 平面,平面 所以平面，平面，所以 又. 平面，平面 所以平面,又平面 所以， 故③正确. 对于④，在平面内，若以点，为焦点的椭圆，其半焦距 若点在的中点处时，椭圆的长轴 若点在的端点处时，椭圆的长轴 显然此时椭圆的长轴不相等，而焦距始终相等，故离心率不相等. 所以椭圆的离心率不为定值，故④不正确. 故选：C 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 13. 已知向量，写出一个与向量垂直的非零向量的坐标___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设与垂直的向量，由再取值即可求解. 【详解】设与垂直的向量， 由可得， 取，，，即即符合题意， 故答案为：（答案不唯一）. 14. 抛物线的焦点坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据标准方程可直接得出焦点坐标. 【详解】由可得焦点在轴上，且，可得； 所以焦点坐标为. 故答案为： 15. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 16. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为_________，公共弦AB的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将两圆的方程相减得两圆的公共弦所在的直线方程，再运用点到直线的距离公式可求得弦长. 【详解】解：圆与圆，两式相减可得：， 直线AB的方程为：； 圆C：的圆心为，半径为， 由圆心到直线AB的距离为， 弦长， 故答案为：； 17. 设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________； 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由得为直角三角形，由可求出；根据双曲线的定义以及勾股定理可求出. 【详解】因为，所以，则为直角三角形， 所以(为原点)， 又，，所以，， 所以. 不妨设点在双曲线的右支上，则，① 又，② 联立①②解得，， 所以. 故答案为：；. 18. 在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆的形状，即用平面截圆柱面，当圆柱的轴与平面所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球，嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面相切于，两点，与交于点.过截线上的任意一点作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点，（如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且就是长轴长.请将下述证明补充完整. 证明：因为两球和平面分别相切于，两点，那么对于每个球来说，球外一点向球作切线，切线长相等，即，， ______，为定值， 在中，，在中，， 所以____________，所以截线上的点满足椭圆的定义， 所以截线是以，为焦点的椭圆，就是长轴长. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切线长定理的空间推广，得，为定值，结合长度关系得，从而可证明题中结论. 【详解】根据题意，，分别为两球面的切线，切点为，， 又两球和平面分别相切于，两点，，， ，为定值. 在中，，在中，， ，即， 所以截线是椭圆，且就是长轴长. 故答案为：；. 三、解答题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 已知平行四边形的三个顶点分别为，，. （1）求边所在直线的方程； （2）求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，得到直线的斜率，由点斜式方程得解； （2）以为底，由点线距离求得四边形的高，进而得到面积. 【小问1详解】 因为直线的斜率为，又平行四边形， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为，点到直线的距离为， 所以四边形的面积为. 20. 已知圆的圆心在直线上，且过两点． （1）求圆的方程； （2）若圆与直线相切，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心为，由两直线垂直和中点坐标公式求出的垂直平分线的方程，解方程组得到圆心，再由两点间距离公式得到半径，最后求出圆的标准方程即可； （2）由圆心到直线的距离等于半径求出即可； 【小问1详解】 设圆心为， 因为直线的斜率为，所以的垂直平分线的斜率为1， 又的中点为，所以的垂直平分线方程为， 则，解得， 又半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即， 解得或. 21. 设直线与椭圆相交于，两点，已知点. （1）直接写出椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简； （3）若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简； （4）直接写出弦长的最大值. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标，求出b，即得答案； （2）设直线方程，联立椭圆方程，可得交点坐标，根据弦长公式，即得答案； （3）由两点间距离公式，即可求得答案； （4）结合二次函数性质，即得答案. 【小问1详解】 由题意知在椭圆上，则，故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由于直线的斜率存在，设其方程为，联立， 得，解得两根，不妨设， 故； 【小问3详解】 设点的坐标为，则，则， 则； 【小问4详解】 由于， 当时，取得最大值为. 22. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 23. 已知椭圆的焦距为2，过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，定点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试探究在轴上是否存在一定点，使直线恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）存在；定点为 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可. （2）首先设，，的方程为：.联立，利用韦达定理，结合求出直线，再令即可得到直线恒过的定点. 【详解】（1）由题知，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）设，，因为直线的斜率不为零，令的方程为： 由得 则，， 因为以为直径的圆与直线的另一个交点为， 所以，则. 则，故的方程为：. 令，则 而，， 所以， 所以. 故直线恒过定点，且定点为 【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2024-2025学年度第一学期 期中考试 高二年级数学学科 1．本试卷分为两部分：第一部分为选择题，共48分；第二部分为非择题，共102分． 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 第一部分（选择题共48分） 一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，出符合题目要求的一项． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 轴与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 4. 已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过,的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为3 D. 直线的一个方向向量的坐标是 5. 已知双曲线的两条渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 10. 已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 7 11. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，给出下列结论： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③； ④在平面内，若以点，为焦点的椭圆过点，则椭圆的离心率为定值. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共102分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 13. 已知向量，写出一个与向量垂直的非零向量的坐标___________. 14. 抛物线的焦点坐标为_____________. 15. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 16. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦线所在的直线方程为_________，公共弦AB的长为_____． 17. 设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________； 18. 在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆的形状，即用平面截圆柱面，当圆柱的轴与平面所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球，嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面相切于，两点，与交于点.过截线上的任意一点作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点，（如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且就是长轴长.请将下述证明补充完整. 证明：因为两球和平面分别相切于，两点，那么对于每个球来说，球外一点向球作切线，切线长相等，即，， ______，为定值， 在中，，在中，， 所以____________，所以截线上的点满足椭圆的定义， 所以截线是以，为焦点的椭圆，就是长轴长. 三、解答题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 已知平行四边形的三个顶点分别为，，. （1）求边所在直线的方程； （2）求四边形的面积. 20. 已知圆的圆心在直线上，且过两点． （1）求圆的方程； （2）若圆与直线相切，求的值． 21. 设直线与椭圆相交于，两点，已知点. （1）直接写出椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简； （3）若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简； （4）直接写出弦长的最大值. 22. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 23. 已知椭圆的焦距为2，过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，定点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试探究在轴上是否存在一定点，使直线恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $