精品解析：海南省临高县新盈中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

临高县新盈中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知实数，，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知不等式 ​的解集为​, 则不等式​的解集为 （ ） A. ​或​ B. ​ C. ​ D. ​或​ 5. 函数在区间图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知定义域为的函数的导数为，且满足，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 定义域为R B. 值域为 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 10. 已知是定义在上函数，，且满足为奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期为2 C. 图象关于点中心对称 D. 11. 已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 13. 已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为___________ 14. 已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的一个极值点为1. （1）求； （2）若过原点作直线与曲线相切，求切线方程. 16. 已知函数是奇函数． （1）求实数的值并判断函数单调性（无需证明）； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17. 设函数. （1）求曲线在点切线方程； （2）求函数的单调区间; 18. 已知函数. （1）讨论的单调性; （2）若恒成立，求a的取值范围. 19. 已知函数，（其中为自然对数的底数）、 （1）若函数的图象与轴相切，求的值； （2）设，、，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临高县新盈中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】由，，，，得，于是， 由，，取，满足，显然“，”不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知实数，，，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故选：D. 4. 已知不等式 ​的解集为​, 则不等式​的解集为 （ ） A. ​或​ B. ​ C. ​ D. ​或​ 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的解集求出值，再代入角一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式 ​的解集为​, 因此 ​的两根为​, 且，即​, 解得​， 所以不等式 ​化为​, 其解集为​或​. 故选： A 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6. 已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，列方程可得有2个解，即原函数有2个零点. 【详解】函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数， 当时，与y＝－3x无交点 当时，令或时， 有2个交点， 所以函数有2个零点 故选：C 【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 7. 已知定义域为的函数的导数为，且满足，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由，知函数为R上的减函数，再将化为，将所解不等式化为，最后利用单调性解不等式即可. 【详解】令，则，即函数在上单调递减. 又不等式可化为，而， 所以不等式可化为，故不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题. 8. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 定义域为R B. 值域为 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的解析式可判断A；求出的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据复合函数的单调性可判断CD. 【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，所以， 故函数的值域为，故B正确； 对于CD，因为在R上是减函数， 在上是减函数，在上是增函数， 所以函数在上单调递减，C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知是定义在上的函数，，且满足为奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期为2 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为奇函数可得，取可求，判断A，举反例判断B，由奇函数的性质结合图象变换判断C，由条件判断其周期，结合周期性性质判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以， 所以， 所以，A正确； 因为当时，， 所以， 因为， 所以，故， 所以2不是的周期， 故B错误； 因为为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 所以的图象关于点中心对称，C正确； 由，， 可得， 所以， 所以函数为周期函数，周期为， 所以， 又当时，， 所以，D正确； 故选：ACD. 11. 已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过构造函数法，结合导数来判断出正确答案. 【详解】构造函数， ， 所以在区间递增；在区间递减， 所以，故，当且仅当时等号成立. 即，当且仅当时等号成立. 所以，AC选项错误，，B选项正确. 构造函数， ， 所以在区间递增；在区间递减， 所以，，D选项错误. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 【答案】(－∞，0]. 【解析】 【分析】根据题意，根据函数的平移与翻折，即可得到函数的图象，结合函数的单调性，由此分析可得答案． 【详解】函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]． 故答案为. 【点睛】本题考查指数函数的单调性，解答本题的关键是正确的画出函数的图象. 13. 已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为___________ 【答案】 【解析】 【分析】令，结合导数可得函数在R上单调递增，进而由将原不等式等价于，进而结合单调性求解即可. 【详解】令，则， 所以函数在R上单调递增， 因为， 故原不等式等价于，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】， 由题意知在上有两个不相等的实根， 将其变形为，设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 的极大值为. 画出函数的大致图象如图， 易知当时，；当时，， ，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的一个极值点为1. （1）求； （2）若过原点作直线与曲线相切，求切线方程. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由求出a值，再验证作答； （2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作答. 【小问1详解】 因为，所以. 因为的一个极值点为1，所以，所以. 因为， 当时，；当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为1，符合题意. 【小问2详解】 设切点为，则， 所以切线方程为. 将点代入得， 整理得，所以或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为. 16. 已知函数奇函数． （1）求实数的值并判断函数单调性（无需证明）； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），减函数 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据奇偶性求出，再根据复合函数单调性可判定单调性； （2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以，解得； 当时，，定义域为， 又符合题意. 所以，因为为增函数，所以为减函数. 【小问2详解】 等价于， 即； 因为为减函数，所以，即； 令，则上式化为，即； 所以. 17. 设函数. （1）求曲线点切线方程； （2）求函数的单调区间; 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，进而得切线方程； （2）根据导函数的符号判断函数的单调性即可. 【小问1详解】 由题意知， 所以，， 故所求切线方程为，化简得. 小问2详解】 由（1）知， 当，时，，单调递增， 时，，单调递减； 当，时，，单调递减，时，，单调递增， 所以当时，的单调递增区间是，单调递减区间是， 当时，单调递减区间是，单调递增区间是. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性; （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，解不等式，求出函数的单调性； （2）在（1）的基础上，考虑，和三种情况，结合函数单调性和最值，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为，， ①若，则恒成立，在上单调递增， ②若，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，所以单调递增， 又趋向于0时， 趋向于， 故不恒成立； 当时，，符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 所以， 由恒成立，可得， 因为，所以，解得 综上，a的取值范围为. 19. 已知函数，（其中为自然对数底数）、 （1）若函数的图象与轴相切，求的值； （2）设，、，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，，设，由可求得实数的值； （2）利用导数分析函数、在上的单调性，令，分析可知函数在上为减函数，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求出函数在区间上的最小值，结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，则， 若，则函数，不合乎题意，所以，， 设切点坐标为，则，解得， 且，整理可得，可得，解得． 【小问2详解】 解：因为，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 因为，则对任意的恒成立， 则函数在上单调递增， 不妨设，由可得， 即． 记，则， 则函数在上为减函数， 在恒成立，则对任意的，则， 令，其中，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在区间上为增函数，则， 所以，函数在上为增函数，则， 又因为，则实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行： （1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立； （2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立； （3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点； （4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立； （5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$