精品解析：云南省玉溪市峨山彝族自治县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

机密★考试结束前 2024—2025学年上学期期中质量监测 九年级数学试题卷 范围：九上21.1~24.1 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，点A、B、C都在上，若，则∠B的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为( ) A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为25万元，2024年该市计划绿化投资额达到64万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点C，B，共线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 12. 对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（ ） A. B. 或6 C. D. 1或 13. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为3米时，水面的宽度为（ ） A. 4米 B. 6米 C. 8米 D. 10米 14. 如图，是的直径，弦于点，已知，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 15. 已知二次函数（，，为常数，且）的图像如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. （为任意实数） 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是_______． 17. 若是关于的二次函数，则的值为______． 18. 若a为方程的一个解，则的值为______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为斜边作，则边上的中线的最小值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知关于的方程．求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根． 22. 阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则____，____； （2）类比：一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 24. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 25. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米 （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含的代数式表示） （2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 26. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 27. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，，点N是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，过点N作轴交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）若点N沿抛物线向下移动，使得，求点N的纵坐标取值范围； （3）若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★考试结束前 2024—2025学年上学期期中质量监测 九年级数学试题卷 范围：九上21.1~24.1 （全卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷，答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，， 故选：B． 3. 如图，点A、B、C都在上，若，则∠B的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 根据圆周角定理计算即可得解． 【详解】解：∵与所对的弧是同弧， ∴， 故选：C． 4. 将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度后，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线为 故选：C． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．据此求解即可，注意这一隐含条件． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故选：B． 6. 如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识；根据成中心对称图形对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，解答即可． 【详解】成中心对称的两个图形是全等图形，它们的对应线段平行（或在同一直线上）且相等， 选项A，B正确；成中心对称的两个图形对应点的连线被对称中心平分，选项C正确，，选项D是错误的， 故选：D． 7. 已知点在抛物线上，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点代入解析式，然后比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴，， ， ∴， 故选：A． 8. 为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为25万元，2024年该市计划绿化投资额达到64万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据2022年某市的绿化投资额为25万元，2024年该市计划绿化投资额达到64万元，则列式得，即可作答． 【详解】解：∵2022年某市的绿化投资额为25万元，2024年该市计划绿化投资额达到64万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x， ∴， 故选：D． 9. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A，，开口向下，原说法错误； B，对称轴是直线，原说法错误； C，顶点坐标为，原说法正确； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误； 故选C． 10. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点C，B，共线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，三角形内角和定理以及等边对等角，根据旋转性质得，再结合三角形内角和定理以及等边对等角，即可作答． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， 故选：D． 11. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去， A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 12. 对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（ ） A. B. 或6 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义下实数的运算，由新定义运算得出，再解一元二次方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， 解得：，， ∴等式中的x值为或6， 故选：B． 13. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为3米时，水面的宽度为（ ） A. 4米 B. 6米 C. 8米 D. 10米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入函数解析式求解即可得出答案，掌握二次函数中、的实际意义是解题的关键． 【详解】解：将代入得：， 解得：或， ∴水面的宽度为：（米）， 故选：B． 14. 如图，是的直径，弦于点，已知，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答关键．连接，由垂径定理可得，设的半径为，则，在中，根据勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径，弦于点， ， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， 故选：A． 15. 已知二次函数（，，为常数，且）的图像如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. （为任意实数） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数之间的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合，根据开口方向，对称轴和与轴的交点位置，逐一判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故A、B正确； ， ，故C正确； 当时，有最大值为， （为任意实数）， 即（为任意实数），故D错误； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点中心对称的点的坐标特征：两个点的横坐标和纵坐标分别互为相反数．根据中心对称坐标的特征得出结果即可 【详解】解：点关于原点中心对称的点的坐标是， 故答案为：． 17. 若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的二次项系数不为零，最高次项的次数是是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解根据题意可得：，且， 解得：， 故答案为：． 18. 若a为方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，利用整体代入法是解题关键．根据一元二次方程的解的定义，得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：a为方程的一个解， ， ， 则， 故答案为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为斜边作，则边上的中线的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．根据题意可得到抛物线的顶点坐标为，再根据直角三角形的斜边中线定理，得到，当最小时，有最小值，结合图像可知，当点运动到抛物线的顶点处时，最小，其最小值为，即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为， 以为斜边作，且是斜边边上的中线， ， 当最小时，有最小值， 结合图像可知，当点运动到抛物线的顶点处时，最小，其最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 21. 已知关于的方程．求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根． 【答案】 证明：在关于的方程中，，，， ， 无论取任何实数时，该方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．根据题意求出该一元二次方程根的判别式即可证明． 【详解】略 22. 阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则____，____； （2）类比：一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，通过完全平方公式变形进行计算，熟练掌握关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可得出，，再利用完全平方公式将变形为，代入值进行计算即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两个实数根为，， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，点的坐标为． 【解析】 【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图，以及写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）找到关于原点成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到绕点顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，然后写出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，旋转的性质，勾股定理． （1）根据三角形的内角和定理得出，根据旋转的性质得出，，最后根据等腰三角形的性质，即可解答； （2）根据勾股定理得出，根据旋转的性质得出，进而得出，最后根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到 ，， ； 【小问2详解】 解：， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ， ， ． 25. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米．已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米 （1）求与墙平行的一边长为多少米？（用含的代数式表示） （2）当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）米 （2）1米 【解析】 【分析】（1）用木板总长度加2米减去与院墙垂直的两边长即可； （2）先求出院墙平行的边长，再根据空白面积为54平方米列出方程，求解后进行选择即可． 【小问1详解】 由题意得： 即车棚与墙平行的一面长米； 【小问2详解】 当时， 设小路的宽为x米，根据题意得： ， 整理得， 解得：，（舍去）， 答：小路的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决第2问的关键． 26. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）， （2）当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利润为，则，转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，，解得：， ∴自变量的取值范围为：． 【小问2详解】 解：设利润为， 则， ∴当时，， 答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元． 27. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，，点N是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，过点N作轴交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）若点N沿抛物线向下移动，使得，求点N的纵坐标取值范围； （3）若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线 （2） （3）：或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由抛物线的对称轴为直线，，可得点的横坐标的取值范围为，即，由于当时，随的增大而减小，求出时，，当时，．最后求解即可； （3）将代入得：，解得：将代入得：，解得：再确定的取值即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，为抛物线上的点， ∴将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∴对称轴为直线 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点的横坐标的取值范围为，即， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，． ∴点的纵坐标的取值范围为． 【小问3详解】 解：∵点与点的纵坐标的差的绝对值不超过3， ∴将代入得：， 解得： 将代入得：， 解得： ∴点横坐标的取值范围是：或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $