精品解析：天津市滨海新区田家炳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

滨海新区田家炳中学2024-2025-1高二年级期中考试 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共50分） 1. 直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的焦点的坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设直线.若，则（ ） A. 0或1 B. 0或-1 C. 1 D. -1 6. 若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 正方体的棱长为4，E是的中点，则E到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 9. 已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①两圆的圆心距； ②直线AB的方程为； ③； ④圆上的点到直线的最大距离为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 若，，则_______. 12. 过点和点的直线一般式方程为________. 13. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为__________． 14. 直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为__________. 15. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，A为上顶点，则的面积为_______. 16. 如图在平行六面体中，，.则直线和夹角的余弦值为_______. 三、解答题（17题16分、18题15分、19题14分、20小题15分，共60分） 17. 已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 （1）求过点A且与平行的直线方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线方程； （4）边的垂直平分线的方程. 18. 如图，在正方体中，正方体的棱长为2，E为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点B到平面的距离. 19. 已知圆心在直线上，且过点、． （1）求的标准方程； （2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程． 20. 如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点M在线段上，且平面，求出M点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海新区田家炳中学2024-2025-1高二年级期中考试 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共50分） 1. 直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线倾斜角得斜率，利用过点可得直线的斜截式方程. 【详解】∵直线的倾斜角30°，∴直线的斜率， ∵直线过点，∴直线的斜截式方程为. 故选：A. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A 3. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】关于轴对称，横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数. 【详解】点关于轴的对称点是. 故选：B. 4. 椭圆的焦点的坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的焦点求解公式求解即可. 【详解】解：因为椭圆方程为，，， 所以，且焦点在轴上， 所以焦点坐标为：，. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查运算能力，属于基础题. 5. 设直线.若，则（ ） A. 0或1 B. 0或-1 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则， 解得或. 故选：A. 6. 若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可得. 【详解】根据椭圆的定义知，，因为，所以． 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的定义，一般地，与焦点三角形有关的计算问题，应利用椭圆的几何性质来考虑，本题属于基础题. 7. 正方体的棱长为4，E是的中点，则E到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的各边长，求出的余弦，再得正弦，最后可得的边上的高 【详解】如图，在正方体中，易得，， 正方体中，平面，平面，所以， ， ，又， 所以， 所以E到直线的距离为， 故选：D 8. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，解得：， 当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：， 当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：， 本题选择C选项. 9. 已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得. 故选：D. 10. 已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①两圆的圆心距； ②直线AB的方程为； ③； ④圆上的点到直线的最大距离为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心与半径，求解圆心距判断①；求出相交弦数值的直线方程判断②；求解弦长判断③；利用点到直线的距离求解判断④即可． 【详解】圆的圆心，半径为：2；圆的圆心，半径为； 对于①，两圆的圆心距，所以①不正确； 对于②，两圆相交，两个圆的方程作差可得，即，所以②正确； 对于③，圆到直线的距离为：，所以，所以③不正确； 对于④，圆上的点到直线的最大距离为：，所以④正确； 故选：B． 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 若，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】, 则， 故答案为： 12. 过点和点的直线一般式方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用截距式写出方程式整理即可 【详解】由直线过点和点，则直线截距式方程为， 化成一般式方程为. 故答案为： 13. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】两条直线平行即斜率相等，所以，即，直线化简为，所以距离，故答案为 点睛：已知直线和直线平行，则有且，切记不要了遗忘了这个条件；两条平形直线的距离公式为，在利用公式时注意先将两条直线、的系数化成相同. 14. 直线l过点且与圆相切，那么直线l的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，圆心到直线的距离，求出斜率，由此能出直线的方程． 【详解】直线过点且与圆相切， 圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆相切，成立； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 故答案为：或． 15. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，A为上顶点，则的面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积. 【详解】由椭圆得, 所以， 所以， 故答案为： 16. 如图在平行六面体中，，.则直线和夹角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，即可求出直线和夹角的余弦值. 【详解】设，则为空间的一个基底， 且，因为，， 则， 则， 则， ，即， ，即， 设直线和夹角为，则， 故答案为： 三、解答题（17题16分、18题15分、19题14分、20小题15分，共60分） 17. 已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 （1）求过点A且与平行的直线方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的高所在直线方程； （4）边的垂直平分线的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）根据平行求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （2）求出线段中点坐标，分析可得直线方程. （3）利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （4）求出线段中点坐标，利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. 【小问1详解】 的斜率：， 所求直线的方程为，整理得. 【小问2详解】 因为，，所以的中点坐标为， 因为，所以边上的中线所在直线的方程为. 【小问3详解】 的斜率：， 所以边上的高所在直线方程的斜率， 边上的高所在直线方程为，整理得. 【小问4详解】 由题意知：的中点坐标为，， 边的垂直平分线的斜率：， 边的垂直平分线的方程为，整理得. 18. 如图，在正方体中，正方体的棱长为2，E为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点B到平面的距离. 【答案】（1）证明：以A为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系， 则 ，，， ，， ， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以A为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系向量法即可证出； （2）求出平面的一个法向量，再根据线面角的向量公式即可求出； （3）根据点到平面的距离向量公式即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为正方体的棱长为2，，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，∴， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（Ⅱ）知，平面所的法向量为， 所以点B到平面的距离， ，. 19. 已知圆心在直线上，且过点、． （1）求的标准方程； （2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由、两点坐标求出直线的垂直平分线的方程与直线上联立可得圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，即可得圆的标准方程； （2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理结合勾股定理列方程求出的值，即可得直线的方程． 【详解】由点、可得中点坐标为，， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 可得直线的垂直平分线的方程为：即， 由可得：，所以圆心为， ， 所以的标准方程为， （2）设直线的方程为即， 圆心到直线的距离， 则可得， 即，解得：或， 所以直线的方程为或， 即或 20. 如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为60°. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点M在线段上，且平面，求出M点的坐标. 【答案】（1）证明：因为平面，又平面, 所以. 因为是正方形，所以，，DE，AC都在平面， 从而平面. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； （2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可得二面角的余弦值； （3）结合（2）中的结果和空间向量的结论求得点M的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是正方形，所以, 又平面，DA，DC都在平面内， 所以 所以，，两两垂直，所以建立空间直角坐标系， 如图所示. 因为与平面所成角为，即， 所以. 由，得, 所以，又，. 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则，即. 令，则. 因为平面，所以为平面的法向量，. 所以. 所以所求角的余弦值为. 【小问3详解】 点M是线段上一个动点，设.则. 因为平面，所以，即，解得. 此时，点坐标为， 即当时，平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $