精品解析：云南省昆明市官渡区第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

云南省昆明市官渡区第一中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题卷 一．选择题（共15小题） 1. 下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 两点确定一直线 B. 清明时节雨纷纷 C. 没有水分，种子发芽 D. 太阳从东方升起 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A．两点决定一直线，该事件是必然事件，故此选项不符合题意； B．清明时节雨纷纷，该事件是随机事件，故此选项符合题意； C．没有水分，种子发芽，该事件是不可能事件，故此选项不符合题意； D．太阳从东方升起，该事件是必然事件，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 3. 如图，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，若∠BAB′=55°，则∠CAC′的度数为（　　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∠BAB′=55°，∴∠CAC′的度数为55°．故选C． 4. 若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， 解得：； 故选C． 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 过任意三点可以画一个圆 C. 周长相等的圆是等圆 D. 平分弦的直径垂直于弦 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可． 【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确； B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确； C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确； D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法． 6. 如图，，为的两条弦，过点C的切线交延长线于点B，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线的性质以及圆周角定理，熟记圆中的基本性质和定理是解题关键．连接，根据切线的性质得到为直角三角形，再根据圆周角定理，推出，从而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的切线， ∴，为直角三角形， 根据圆周角定理，， ∴， 故选：D． 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位得到抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，首先根据抛物线的解析式可得原抛物线的顶点坐标为，根据抛物线平移的方向和距离可得平移后抛物线的顶点坐标为，利用顶点坐标式解析式可以得到平移后抛物线的解析式为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标为， 新抛物线的解析式为． 故选：C． 9. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 10. 已知，，三点都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，熟知函数图像开口向上时离对称轴越远的值越大是关键．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，再根据得出抛物线的图像开口向上，然后比较三个点离直线的远近得到，，的大小关系． 【详解】解：函数中，， 该函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线， ，，三点都在二次函数的图像上，且三点的横坐标距离对称轴的远近为： 由远到近排列是，，， ， 故选：C． 11. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：D ． 12. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为， ∵轴，，最低点C在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 13. 如图所示，吉林某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设行车通道的宽度是，则停车区域的总面积可以看做是一个长为，宽为的矩形面积，据此根据矩形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 14. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 15. 如图，四边形ABCD内接于，，平分．若，的长为（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，根据勾股定理、直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：过点C作于H， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 16. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案，正确记忆横纵坐标的符号是解题的关键． 【详解】解：∵点与点是关于原点的对称点， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 18. 设是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】2023 【解析】 【分析】根据方程解的定义、根与系数关系，得，，对待求解代数式变形，用已知的代数式表示求解． 【详解】解：由题意，得， ∴． ∴． 故答案为：2023 【点睛】本题考查方程解的定义，一元二次方程根与系数关系；掌握根与系数关系是解题的关键． 19. 若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长． 根据题意得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：5． 三．解答题（共8小题） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项得，， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：． 因式分解得，， ∴或， ∴，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到． （1）画出； （2）直接写出点和点的坐标； （3）求经过点的反比例函数解析式． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转作图，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是： （1）先找出A，O，B以点O为旋转中心，逆时针旋转的对应点，再连接即可； （2）根据旋转图形即可得出； （3）利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶ 根据图形可知：，； 【小问3详解】 解∶设经过点的反比例函数解析式为， 把代入，得， ∴， ∴． 22. 如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． （1）小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为 ； （2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，此游戏公平吗？为什么？（请用树状图或列表法说明） 【答案】（1） （2） 解：此游戏公平， 理由：树状图如下， 由上可得，一共有9种等可能性，其中得到的两数字之和是3的倍数的有3种，得到的两数字之和是7的倍数的有三种， 此游戏公平． 【解析】 【分析】本题考查概率公式、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． （1）根据题意和图1，可以求得小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率； （2）先画出树状图，然后即可得到此游戏是否公平． 【小问1详解】 解：由图1可得， 小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 其中，　　； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）利用表格与图象指出，当x取何值时，函数值y随x的增大而增大； （4）进一步探究函数图象，直接写出： ①方程的实数根有___________个； ②关于x的方程有4个实数根时，则a的取值范围是___________． 【答案】（1）10 （2） 描点画出如下函数图象： （3）时，随的增大而增大（答案不唯一） （4）①2；② 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性，即可求解； （2）描点即可画出函数图象； （3）任意指出函数的两条性质即可，如函数的最小值为；时，随的增大而增大，答案不唯一； （4）①设，从图象看与有两个交点，即可求解；②当与有4个交点时，在轴的下方，即可求解． 【小问1详解】 解：根据函数的对称性，， 故答案为：0； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：函数的最小值为； 时，随的增大而增大（答案不唯一）； 【小问4详解】 解：①设，从图象看与有2个交点， 故答案为：2； ②与有4个交点时，在轴的下方， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 24. 如图，已知是的内接三角形，弧是半圆，C是弧的中点，连接，． （1）求证：． （2）若，求弧的长． 【答案】（1） 证明：∵C是弧的中点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的性质、弧长公式，（1）根据题意可得，再根据圆周角定理证明即可； （2）连接、，根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的性质与判定可得，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、， ∵弧是半圆， ∴是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴． 25. “一山揽胜景，美人卧池西．”凭借自身奇、绝、险、幽、秀美的自然景观，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，西山坐稳了“滇中第一佳境”的名头，也成为云南旅游的一张亮眼名片．“网红打卡地”西山风景区在2023年10月1日国庆节，共接待游客达2万人次，预计到10月3日这3天期间将接待游客万人次． （1）求西山风景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率； （2）西山风景区“茶马花街”一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为3元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价13元，则平均每天可销售400杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售100杯，2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，店家每天卖此款奶茶的利润最大，最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当每杯售价定为10元时，利润最大为4900元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程和函数关系式； （1）设景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率是，可得：，即可解得景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率是； （2）设每杯售价定为元，利润为元，可得：，由二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设西山风景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率是， 根据题意得：， 解得或(舍去)， 答：西山风景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率是； 【小问2详解】 设每杯售价定为元，利润为元， 根据题意得： ∴时，取最大值，最大值是4900， 答：当每杯售价定为10元时，利润最大为4900元． 26. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的垂线．垂足为E，延长交的延长线于点F． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 解：与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角和等量代换可得，再根据平行线的判定与定理可得，再由切线的判定定理即可得证； （2）连接，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，利用勾股定理求得，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及平行线的判定与定理，熟练掌握圆周角定理和切线的判定定理是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【小问1详解】 解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． 【小问2详解】 令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． 【小问3详解】 根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省昆明市官渡区第一中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题卷 一．选择题（共15小题） 1. 下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 两点确定一直线 B. 清明时节雨纷纷 C. 没有水分，种子发芽 D. 太阳从东方升起 3. 如图，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，若∠BAB′=55°，则∠CAC′的度数为（　　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 4. 若关于x 的一元二次方程 有一个根为0，则a 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 过任意三点可以画一个圆 C. 周长相等的圆是等圆 D. 平分弦的直径垂直于弦 6. 如图，，为的两条弦，过点C的切线交延长线于点B，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 8. 将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位得到抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，三点都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 12. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 13. 如图所示，吉林某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 如图，四边形ABCD内接于，，平分．若，的长为（　　） A. 4 B. C. D. 二．填空题（共4小题） 16. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为_____． 17. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 18. 设是一元二次方程的两个根，则______． 19. 若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____． 三．解答题（共8小题） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到． （1）画出； （2）直接写出点和点的坐标； （3）求经过点的反比例函数解析式． 22. 如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球，小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． （1）小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字2的概率为 ； （2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜，此游戏公平吗？为什么？（请用树状图或列表法说明） 23. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 其中，　　； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）利用表格与图象指出，当x取何值时，函数值y随x的增大而增大； （4）进一步探究函数图象，直接写出： ①方程的实数根有___________个； ②关于x的方程有4个实数根时，则a的取值范围是___________． 24. 如图，已知是的内接三角形，弧是半圆，C是弧的中点，连接，． （1）求证：． （2）若，求弧的长． 25. “一山揽胜景，美人卧池西．”凭借自身奇、绝、险、幽、秀美的自然景观，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，西山坐稳了“滇中第一佳境”的名头，也成为云南旅游的一张亮眼名片．“网红打卡地”西山风景区在2023年10月1日国庆节，共接待游客达2万人次，预计到10月3日这3天期间将接待游客万人次． （1）求西山风景区2023年10月1日至2023年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率； （2）西山风景区“茶马花街”一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为3元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价13元，则平均每天可销售400杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售100杯，2023年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，店家每天卖此款奶茶的利润最大，最大利润是多少? 26. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作的垂线．垂足为E，延长交的延长线于点F． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $