精品解析：山东省青岛市城阳区2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期阶段质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题，第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共14小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列哪个图形经过折叠可以围成棱柱（ ） A. B. C D. 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中的图形，绕其虚线旋转一周能得到下边的几何体的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 若单项式与的和仍是单项式，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 64 8. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ）    A. B. C. D. 9. 如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 六边形 D. 七边形 10. 如图是一个“数值转换机”，若开始输入x的值是16，则第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，第2024次输出的结果是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小： _____．（用“＞”“＜”“＝”填空） 12. 个位数字是，十位数字是的两位数用代数式表示为__________． 13. 已知点M在数轴上表示的数是，点N与点M的距离是4，则点N表示的数是__________． 14. 名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，在我国古代的数学名著《九章算术》和《孙子算经》中都有记载．“算筹”是古代用来进行计算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式（如图①）．则图②中“算筹”表示的减法算式的运算结果为__________． 15. 如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 16. 如图，按照这种摆放方式摆放桌子和椅子，n张桌子拼成1张大组合桌子有__________把椅子；一家餐厅有40张这样长方形桌子，有以下摆放方案：（一）按照上面的方式每5张桌子拼成1张大组合桌子；（二）按照上面的方式每8张桌子拼成1张大组合桌子；则这两种方案椅子数之差是__________把． 三、作图题（本大题满分7分） 17. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数． （1）请分别画出从正面和从左面所看到的这个几何体的形状图． （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，要求保持从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加__________个小正方体． 四、解答题（本大题共8小题，共65分） 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． （6）已知a，b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：，例如：．求：的值． 19 化简： （1）； （2）． 20. 先化简再求值：，其中． 21. 观察下表中三角形个数变化的规律，填表并回答下面问题： 图形 … 横截线条数 0 1 2 … n 三角形个数 6 （ ） （ ） … （ ） （1）填表； （2）如果图中三角形的个数是102个，那么图中应有多少条横截线？ 22. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子； （1）按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是__________个；第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是__________个； （2）按照这一规律，这类物质第几种化合物的分子结构模型中有2024个氢原子？请说明理由． （3）按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由． 23. 小刚买了6袋标注质量为的食品，他对这6袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下： 食品 第1袋 第2袋 第3袋 第4袋 第5袋 第6袋 与标注质量差/g （1）食品的质量更标准的是第__________袋，它的实际质量是__________g； （2）这6袋食品的实际总质量是多少克？ （3）该食品的营养成分表如图所示，膳食纤维有助于肠道消化，小刚吃的前两袋食品中,实际共含膳食纤维多少克？ 24. 问题提出： 如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a× b 的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a× b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 为正整数） ．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 问题探究： 为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一： 把图①放置在 2× 2方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图③，对于 2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法． 探究二： 把图①放置在 3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图④，在 3×2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 ×4＝8种 不同的放置方法． 探究三： 把图①放置在 a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图⑤， 在 a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法． 探究四： 把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图⑥，在 a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法． …… 问题解决： 把图①放置在 a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．） 问题拓展： 如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题，第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共14小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义即可求解，相乘等于1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 2. 下列哪个图形经过折叠可以围成棱柱（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图，根据棱柱的特点，进行判断即可． 【详解】解：由题意，经过折叠可以围成棱柱的是 故选C． 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列选项中的图形，绕其虚线旋转一周能得到下边的几何体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面动成体判断出各个选项旋转得到的立体图即可得出结论. 【详解】A. 旋转一周为球体，错误； B. 旋转一周为两个圆锥结合体，错误； C. 旋转一周可得本题的几何体，正确； D. 旋转一周为圆锥和圆柱的结合体，错误. 故选C. 【点睛】本题考查几何体的旋转构成特点，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键. 5. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 【详解】解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 6. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据整式的运算法则对各式化简即可判断，解题的关键是熟知去括号法则． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ＝，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 7. 若单项式与的和仍是单项式，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义和合并同类项．根据题意可知单项式与是同类项，再由所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项得到，即，据此代值计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与同类项， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，整式的加减，由数轴是上A、M、B的位置可得出，，，，再根据整式的运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，， ∴原点在A、M之间，， ∴，，， ∴运算结果一定是正数的是， 故选：A． 9. 如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】D 【解析】 【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案； 【详解】解：∵正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的截面，解题的关键是熟练掌握面面相交等到线． 10. 如图是一个“数值转换机”，若开始输入x的值是16，则第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，第2024次输出的结果是（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】依次求出输出的结果，根据发现的规律即可解决问题．本题考查数字的变化规律，能根据计算发现输出的结果从第2次输出开始按4，2，1循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知， 当输入的值是16时， 第1次输出的结果是：； 第2次输出的结果是：； 第3次输出的结果是：； 第4次输出的结果是：； 第5次输出的结果是：； 由此可见，输出的结果从第2次输出开始按4，2，1循环出现， 又∵， ∴第2024次输出的结果是4． 故选：B． 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小： _____．（用“＞”“＜”“＝”填空） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键． 12. 个位数字是，十位数字是的两位数用代数式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式表达式，根据个位数字是，十位数字是，得出这两位数是，即可作答． 【详解】解：∵个位数字是，十位数字是， ∴这两位数是， 故答案为：． 13. 已知点M在数轴上表示的数是，点N与点M的距离是4，则点N表示的数是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上的两点间的距离，有理数的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由点M在数轴上表示的数是，点N与点M的距离是4，分点M在点N的右边与左边两种情况，即可得出点N表示的数是或． 【详解】解：∵点M在数轴上表示的数是，点N与点M的距离是4， ∴当点M在点N的右边时，； ∴当点M在点N的左边时，； ∴点N表示的数是或， 故答案为：或， 14. 名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，在我国古代的数学名著《九章算术》和《孙子算经》中都有记载．“算筹”是古代用来进行计算的工具之一，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，“算筹”的摆放有纵、横两种形式（如图①）．则图②中“算筹”表示的减法算式的运算结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“算筹”的意义，列式，然后计算即可作答． 【详解】解：依题意，图②中“算筹”表示的减法算式是， 则， 故答案为：． 15. 如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 16. 如图，按照这种摆放方式摆放桌子和椅子，n张桌子拼成1张大组合桌子有__________把椅子；一家餐厅有40张这样的长方形桌子，有以下摆放方案：（一）按照上面的方式每5张桌子拼成1张大组合桌子；（二）按照上面的方式每8张桌子拼成1张大组合桌子；则这两种方案椅子数之差是__________把． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索．根据一张桌子可以有把椅子，两张桌子拼一起可以有把椅子，三张桌子拼一起可以有把椅子，可得规律n张桌子拼在一起可以有把椅子，据此求出5张桌子拼在一起可以有把椅子，8张桌子拼在一起可以有20把椅子，进一步计算即可得到答案． 【详解】解：一张桌子可以有把椅子， 两张桌子拼一起可以有把椅子， 三张桌子拼一起可以有把椅子， ……， 以此类推，n张桌子拼在一起可以有把椅子， ∴5张桌子拼在一起，有组，每组有把椅子，此时共有把椅子 8张桌子拼在一起，有组，每组有把椅子，此时共有把椅子 ， ∴这两种方案椅子数之差是12把椅子， 故答案：；． 三、作图题（本大题满分7分） 17. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数． （1）请分别画出从正面和从左面所看到的这个几何体的形状图． （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，要求保持从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加__________个小正方体． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】（1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可． （2）根据要求保持从左面和从上面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小正方形的数字即可． 本题考查作图从不同方向看几何体，解题的关键是理解三视图的意义，属于中考常考题型． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：保持这个几何体从上面和左边看到的形状图不变，那么最多可以再添加3个小正方体（见从上面看到的图中的数字）， 故答案为：3． 四、解答题（本大题共8小题，共65分） 18 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． （6）已知a，b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：，例如：．求：的值． 【答案】（1）0 （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，化简绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （4）先算乘方及绝对值，再算加减即可； （5）将除法化为乘法，再利用乘法分配律计算即可； （6）根据定义的新运算列式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 【小问5详解】 解：原式 ； 【小问6详解】 解：原式 ． 19. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知去括号法则和整式的运算法则． （1）去括号，再根据整式的加减运算法则即可求解； （2）去括号，再根据整式的加减运算法则即可求解 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 21. 观察下表中三角形个数变化的规律，填表并回答下面问题： 图形 … 横截线条数 0 1 2 … n 三角形个数 6 （ ） （ ） … （ ） （1）填表； （2）如果图中三角形的个数是102个，那么图中应有多少条横截线？ 【答案】（1）12，18， （2）16 【解析】 分析】（1）根据三角形的概念和定义进行分析，注意不要遗漏．观察简单图形，得到当横截线条数为条时应有个三角形，即可作答． （2）依题意，列式，再计算即可作答． 本题考查了图形规律，代数式表达式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，没有横线的时候，只有6个三角形； 有一条横线的时候，有个三角形； 有2条横线的时候，有个三角形； 有3条横线的时候，有个三角形； 当横截线条数为条时应有个三角形． 【小问2详解】 解：依题意，， 解得． ∴图中应有条横截线． 22. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子； （1）按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是__________个；第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是__________个； （2）按照这一规律，这类物质第几种化合物的分子结构模型中有2024个氢原子？请说明理由． （3）按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由． 【答案】（1）22； （2）这类物质第1011种化合物的分子结构模型中有2024个氢原子，理由见解析 （3）这类物质是不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察前面三幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【小问1详解】 解：图①有个氢原子， 图②有个氢原子， 图③有个氢原子， ……， 以此类推，可知图n中有个氢原子， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：个； 故答案为：22；； 【小问2详解】 解：这类物质第1011种化合物的分子结构模型中有2024个氢原子，理由如下： 当时，解得， ∴这类物质第1011种化合物的分子结构模型中有2024个氢原子； 【小问3详解】 解；这类物质是不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子，理由如下： 当时，解得， 又∵n为正整数， ∴此时不满足题意， ∴这类物质是不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子． 23. 小刚买了6袋标注质量为的食品，他对这6袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下： 食品 第1袋 第2袋 第3袋 第4袋 第5袋 第6袋 与标注质量的差/g （1）食品的质量更标准的是第__________袋，它的实际质量是__________g； （2）这6袋食品的实际总质量是多少克？ （3）该食品的营养成分表如图所示，膳食纤维有助于肠道消化，小刚吃的前两袋食品中,实际共含膳食纤维多少克？ 【答案】（1）6，314 （2）这6袋食品的实际总质量是克； （3）克 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，乘除混合运算，绝对值的意义，有理数的加法，减法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）求出各袋高于或低于标准质量的绝对值，根据绝对值的大小做出判断． （2）先算出6袋的总克数，再加上各袋与标注质量的差，然后计算即可作答． （2）根据图中的营养成分表，得出含有的膳食纤维，然后结合前两袋食品的总克数是，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴第6袋食品的质量更标准． ∴ 故答案为：6，314； 【小问2详解】 解： ∴这6袋食品的实际总质量是克； 【小问3详解】 解：依题意，图中的营养成分表，得出含有的膳食纤维， 则前两袋食品的总克数是， ∴ ∴实际共含膳食纤维克． 24. 问题提出： 如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a× b 的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a× b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 为正整数） ．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 问题探究： 为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一： 把图①放置在 2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图③，对于 2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法． 探究二： 把图①放置在 3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图④，在 3×2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 ×4＝8种 不同的放置方法． 探究三： 把图①放置在 a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图⑤， 在 a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法． 探究四： 把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图⑥，在 a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法． …… 问题解决： 把图①放置在 a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．） 问题拓展： 如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体． 【答案】探究三：， ；探究四：， ；问题解决：共有种不同的放置方法；问题拓展：8(a-1)(b-1)(c-1). 【解析】 【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】探究三： 根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）个位置不同的 2×2方格， 根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）×4=（4a-4）种不同的放置方法； 故答案为a-1，4a-4； 探究四： 与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a-1）条边长为2的线段， 同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段， 所以在a×3的方格中，可以找到2（a-1）=（2a-2）个位置不同的2×2方格， 根据探究一，在a×3方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a-2）×4=（8a-8）种不同的放置方法． 故答案为2a-2，8a-8； 问题解决： 在a×b的方格纸中，共可以找到（a-1）（b-1）个位置不同的2×2方格， 依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a-1）（b-1）种不同的放置方法； 问题拓展： 发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路， 这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）条边长为2的线段， 所以在a×b×c的长方体共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的2×2×2的正方体， 再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法， 所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）个图⑦这样的几何体； 故答案为8（a-1）（b-1）（c-1）． 【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $