精品解析：山东省青岛第五十九中学2024--2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024－2025学年度第一学期期中阶段性质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟：满分：120分） 温馨提示： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和答题纸上． 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 或写在答题纸上．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．写在本试卷上无效． 3.回答第II卷时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 第I卷（共54分） 一、选择题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，将选项A中的方程整理得，则可对此选项进行判断；根据当时，方程不是一元二次方程，则可对选项B进行判断；根据方程不是整式方程，则可对选项C进行判断；将选项D中的方程整理得，则可对此选项进行判断，综上所述即可得出答案，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、将方程，整理得：，符合一元二次方程的定义，故选项A符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C、方程不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项C不符合题意； D、将方程，整理得：，不符合一元二次方程的定义，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组中的四条线段（单位：cm）成比例的是（　　） A. 3，6，5，4 B. 3，4，6，9 C. 1，5，2，3 D. 2，4，5，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、6×3≠5×4，故四条线段不成比例； B、4×6≠3×9，故四条线段不成比例； C、1×5≠2×3，故四条线段不成比例； D、2×10＝4×5，故四条线段成比例． 故选：D． 【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 3. 四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法计算概率，中心对称图形的定义，先确定正六边形和圆是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形，再画树状图分析，最后由概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：正方形、正六边形和圆是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形， ∵一共有四张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，其中印有图形都是中心对称图形的卡片有三张， 设正方形、正五边形、正六边形和圆分别为A、B、C、D， 画树状图如下： ∴从中随机抽取两张，一共有12种结果，其中抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形的结果有6种， ∴抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形概率为， 故选∶C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的平行四边形是矩形 C. 菱形有四条对称轴 D. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质和正方形的判定逐一分析即可． 【详解】A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），故错误； B．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误； C．菱形有两条对称轴，故错误； D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故正确． 故选：D． 【点睛】此题考查的是四边形的综合题，掌握平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质和正方形的判定是解决此题的关键． 5. 为执行“均衡教育”政策，某区2022年投入教育经费2500万元，预计到2024年底三年累计投入1.2亿元． 若投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．设每年投入教育经费的年平均增长百分率为，根据题意可得，2022年投入教育经费年投入教育经费增长率）年投入教育经费增长率）亿元，据此列方程． 【详解】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为， 由题意得，． 故选：B 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得，再根据是边的中点，可得，再证得四边形为矩形，即可求解． 【详解】解：连接，         四边形是菱形，，， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ， 四边形为矩形， ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 8. 如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，用含x的式子表示出的长，矩形的面积等于长乘宽，由此可得答案． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 故， 故选B． 9. 如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．首先利用全等三角形的判定方法利用证明，即可得出，故可判断①；进而得出，即，故可判断②；利用三角形全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出④；连接，然后依据直角三角形中斜边大于任何一条直角边以及等腰三角形的性质即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴，故①正确． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故②正确． ∵， ∴． ∴，， ∴，故④正确； 如图所示：连接， ∵， ∴， 而， ∴，故③错误． 综上，只有③错误． 故选：A． 10. 如图，在正方形中有一个小正方形，其中点，分别在边，上，点在线段上．若正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理等知识，由正形的性质和面积得，，再由小正形中的，再由同角的余角相等得，证明， 其性质得，求得，在中，由勾股定理得，即求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵ ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共24分） 11. 一元二次方程的二次项系数是_______，一次项系数是________，常数项是__________． 【答案】 ①. 3 ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及找一元二次方程各项系数的方法等知识点，根据整式乘法法则把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的概念解答即可，熟练掌握找一元二次方程各项系数的方法是解决此题的关键． 【详解】， 整理得，， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：；；． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，解题的关键是根据题意，设口袋里面大约有个红球，根据摸到黄球的频率是，则，解出分式方程，即可． 【详解】解：设盒子里面大约有个红球 ∵口袋里面有个黄球，摸到黄球的频率是 ∴ 解得：． 经检验，是方程的解． 故答案为：． 13. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ___________． 【答案】20 【解析】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点O和点M分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵O是矩形的对角线的中点， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴四边形的周长为：， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中位的性质，解题的关键在于灵活运用所学知识． 14. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走______米才最理想． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据题意画出图形，再根据黄金比列出比例式即可求解，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设一个主持人现在站在处，则它应至少再走米才最理想，则， 若是与的比例中项， 则，即， 解得； 若是与的比例中项， 则，即， 解得：； ∵， ∴他应至少再走米才最理想， 故答案为：． 15. 某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡张，设这个小组共有同学个．根据题中的条件，列出关于的方程为：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这个小组共有同学个，根据题意得即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这个小组共有同学个， 根据题意得：， 故答案为：． 16. 小亮希望测量出电线杆的高度，他在电线杆旁的点处立一标杆，标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点、、在一直线上），量得米，米．则电线杆的高为________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出△ECD∽△EBA，利用相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】 解：∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴=， ∴=， ∴AB=4.5(米). 故答案为；4.5. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用. 17. 如图，矩形中，，，为对角线的中点，交于．则线段的长为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，得出，设，则，根据勾股定理可得求出，再根据根据勾股定理可得，则，最后根据勾股定理可得． 【详解】解：∵为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为矩形， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使…按此规律进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律探索、解直角三角形等知识点，求出前面7个点的坐标并发现规律是解答本题的关键． 先通过解直角三角形依次求…各点的坐标，再从其中找出规律，然后运用规律即可解答． 【详解】解：如图：过作轴， ∵的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的坐标为， 同理可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为， … 由上可知，A点的方位是每6个循环， 与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为，其纵坐标为0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为，纵坐标为0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴点的方位与点的方位相同，其横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 故答案为：． 第II卷（共6分） 19. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图，是一块三角形余料，工人师傅要把它加工成一个菱形零件，使点为菱形的一个顶点，一组邻边分别在上，另一个顶点在上，试协助工人师傅用尺规画出这个菱形． 【答案】 解：如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】首先作的平分线交于点，再作的垂直平分线分别交于点，则有，，，即，再证明，由全等三角形的性质可得，最后由菱形的判定方法即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线交于点； 作的垂直平分线分别交于点； ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的定义，垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 20. 解方程 （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（）利用公式法求解即可； （）利用配方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，； 【小问3详解】 解： 或 ∴，； 【小问4详解】 解：由， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 21. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线． “跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A、临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B、长治线：观音堂、紫庆寺 C、朔州线：尝福寺、应县木塔 D、晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺 （1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？ （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据总的有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，利用概率公式计算即可； （2）画树状图，共有16种等可能性结果，其中两家选取同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种， ∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键． （1）根据两个实数根，，利用根的判别式即可解答； （2）提取公因式可得，最后利用根与系数的关系式，列出方程即可解答． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得； 【小问2详解】 解：可得， 根据一元二次方程可得， 可得， 解得． 23. 已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：的对角线，交于点O，，， ，四边形是平行四边形，， ， ， 在和中， ， ． （2） 解：当时，四边形为菱形；理由如下： 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形得，证明四边形是平行四边形，则有，然后根据证明即可； （2）证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出四边形为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是； （2）售价应降低元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是， 利用10月份的销售量月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是，依题意得： ， 解得：，(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为 件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ， 答：售价应降低元． 25. （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】 (1)证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)； (3)①；② 【解析】 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，设， ∴． ∴， ， ∴， ∴， ∴； ②由①得：，，，则 ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 26. 已知：如图，在中，，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点．同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为（），解答下列问题： （1）当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）当为何值时，； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值； （4）当为何值时，为等腰三角形？请直接写出答案． 【答案】（1）； （2）； （3）当的值为或时，； （4）当为或或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（）先由勾股定理求出，由四边形为平行四边形得，即，则，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可； （）当，则，证明，根据性质得，然后代入求值即可； （）过作交于点，则，根据性质得，代入得，然后由，，，则，然后解方程即可求解； （）分三种情况当时，当时，当时，再根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 如图，由题意得，，，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在某一时刻，使，理由如下： 如图，过作交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得得，，，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，整理得：， 解得：，， ∴当的值为或时，； 【小问4详解】 解：如图，当时，过作交于点， 同理， ∴， 由（）得得，，，则， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 解得：； 如图，当时，过作交于点， 同理可得：，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， 综上：当为或或时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期中阶段性质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟：满分：120分） 温馨提示： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和答题纸上． 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 或写在答题纸上．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．写在本试卷上无效． 3.回答第II卷时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 第I卷（共54分） 一、选择题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段（单位：cm）成比例的是（　　） A. 3，6，5，4 B. 3，4，6，9 C. 1，5，2，3 D. 2，4，5，10 3. 四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的平行四边形是矩形 C. 菱形有四条对称轴 D. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 5. 为执行“均衡教育”政策，某区2022年投入教育经费2500万元，预计到2024年底三年累计投入1.2亿元． 若投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 7. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 8. 如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在正方形中有一个小正方形，其中点，分别在边，上，点在线段上．若正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共24分） 11. 一元二次方程的二次项系数是_______，一次项系数是________，常数项是__________． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球______个． 13. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ___________． 14. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走______米才最理想． 15. 某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡张，设这个小组共有同学个．根据题中的条件，列出关于的方程为：______． 16. 小亮希望测量出电线杆的高度，他在电线杆旁的点处立一标杆，标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点、、在一直线上），量得米，米．则电线杆的高为________米． 17. 如图，矩形中，，，为对角线的中点，交于．则线段的长为____________________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使…按此规律进行下去，则点的坐标为________． 第II卷（共6分） 19. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图，是一块三角形余料，工人师傅要把它加工成一个菱形零件，使点为菱形的一个顶点，一组邻边分别在上，另一个顶点在上，试协助工人师傅用尺规画出这个菱形． 20. 解方程 （1）（公式法）； （2）（配方法）； （3）； （4）． 21. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线． “跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A、临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B、长治线：观音堂、紫庆寺 C、朔州线：尝福寺、应县木塔 D、晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺 （1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？ （2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 23. 已知：如图，的对角线，交于点O，分别过点A，B作，，连接交于点F． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由． 24. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 25. （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 26. 已知：如图，在中，，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点．同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为（），解答下列问题： （1）当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）当为何值时，； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值； （4）当为何值时，为等腰三角形？请直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $