辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

虹桥中学教育集团九年级2024-2025学年度上学期 数学学科期中限时作业 (满分：120分 时间：120分钟) 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列是一元二次方程的是() A.3+y=1 B.2x2-y+1 C.x2-2x=0 D. 2+=1 2.如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广 泛，图中箭头所指方向为正面，则该结构件的主视图是( 正面 3.在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭 头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是() A.①有一个角是直角 B.③有一组邻边相等 C.②对角线互相垂直 D.④对角线互相平分 4.小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如 图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是() A.从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外， 完全相同)，摸到红球的概率 B.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 C.从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 D.任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 须率 ① 矩形 40% 30% 平行四边形 正方 20% 10% 菱形 0200400600次数 (第3题图) (第4题图) 九年级数学学科 共 5.观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x-5=0的正数解在( ) 2+3x-5 23 A.-1和0之间 B.0和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间 6.已知三个点（-2，)，(1，)，(2，)在反比例函数y2三 的图象 上，下列结论正确的是（) A.y<y2<ys B.y2<y<ys C.ya<ya<y D.y:<ya<y 7.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国 快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收 入的年平均增长率为x,则可列方程为( ) A 500(1+2x)=7500 B.5000×2(1+x刘=7500 C. 50007+x2=7500 D.5000+5000(1+x+50001+x2=7500 8.如图，△A8C∽△ADE,三角形ABC与四边形BCDE的面积比1：3，BC=√万， 则DE的长为( ) A. B. 2W2 C.3V2 D.4V3 9.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D,C分别落在D'，C的位置.若 ∠EFB=55°，则∠AED'=( A.30° B.45° C.60 D.70° 10.如果说秋天有颜色，那一定是枫叶红，奇妙的大自然其实也蕴含着许多数学知识， 如同校园里一片飘落的枫叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，是一片枫叶的轮廓 图，点P为AB的黄金分割点(AP>PB),若AB=10cm,则AP的长度为() A.(5√5-5)cmB.(5-2W5)cmC.(55+5)cmD.(10W5-10)cm (第8题图) (第9题图) (第10题图) 颜第1页 第I卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11.如图，已知AB/CDEF,AD=6,DF=3,BC=7,那么线段CE的长度等于 12.在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同， 小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中的黄 球可能有」 个。 13.下图1是某地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴 对称图形，AC=40cm,当a等于30°时，则双翼边缘端点C与D之间的距离 为 cm。 14.△AB0三个顶点的坐标分别为A(4,-6)、B(6,0)、0(0,0),以原点0 为位似中心画一个△A'B0,使它与△AB0位似，且面积比是1：4，则点A的 对应点A'的坐标是 15.如图，Rt△A0B∽Rt△D0C,∠AB0=30°，∠A0B=∠C0D=90°，M为OA的中 点，OA=6,将△COD绕点O旋转一周，直线AD,CB交于点P,连接P,则P的 最小值是 60cm 图 图2 (第11题图) (第13题图) (第15题图) 三、解答题（共8小题） 16.计算（每小题5分，共10分） (1）2x2-6x+1=0 (2)√8+W3tam30-sim45-1-（2012-2cos60)0 九年级数学学科 共4 17.(8分)最近几年沈阳文旅产业不断创新.小明计划假期来沈阳游玩，他打算 从3个人文景点(A.大帅府；B.故宫：C北陵公园)中随机选取一个，再从2 个自然景点(D.世博园：E.棋盘山)中随机选取一个， (1)小明从人文景点中选故宫的概率是 (2)用树状图或列表的方法求小明恰好选大帅府和棋盘山两个景点的概率。 18.(8分)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别过点C、D作BD AC的平行线交于点E,连接AE. (1)求证：四边形OCED为矩形： (2)若菱形ABCD的对角线AC的长为W3,∠BCD=60°，则AE的长 D 领第2页 19.(8分)根据以下销售情况，解决销售任务. 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销 售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售 每天可售出20件，每件盈利40元.每天可售出32件，每件盈利30元。 情况 市场调查经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件 情况设置 设甲店每件衬衫降价α元，乙店每件衬衫降价b元. 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 件（用含a的代数式表示）. 乙店每天的销售量 住（用含b的代数式表示）· 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元 时，两家分店一天的盈利和为2244元. 九年级数学学科 共 20.(8分)数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下： 项目 设计遮阳篷前挡板 泉州是福建省的一座沿海城市，受其地理位置影 素材响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长，平 1 均年日照时数2000小时左右，大门朝南的临街商铺都 搭建了遮阳篷. 我市某景点的游客服务中心，为了方便旅游高峰 前档板 期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳篷，结果发 素材现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗 2 口外的纳凉区域增加到2.29m宽，计划在遮阳篷前端 游客服务中心 加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如 2.29m 图1，现在要计算所需前挡板BC的宽度。 图1 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图， 如图2，遮阳篷AB长为3.5m,其与墙面的夹角∠BAD =70°，其靠墙端离地面高AD为4m.通过实地勘察， 测量 图2 数据 该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角 (太阳光线与地面夹角∠CFE)约为60°，若加装前 挡板BC后，此时服务窗口前恰好有2.29m宽的阴影 太阳光线 DF,如图3. 602 E D F 图3 运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端 解决 B到墙面AD的距离：再构造直角三角形，当∠CFE为60°时，求线段BC 思路 的长度. 运算 过程 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助实践兴趣小组完成该部 分.（结果精确到0.01m,参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈ 2.747,√3≈1.732) 共4页第3页 21.(9分)如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,∠C=90°，动点P从点B出发， 以每秒5个单位长的速度沿BA向点A运动，过点P作PQ⊥BC于点Q,以P为 边向右作矩形PQFE,使P吧PQ,点F落在射线BC上.设点P的运动时间为11 >0)秒. (1)求PQ的长（用含t的代数式表示）： (2)连接PC,当△CPQ与△ABC相似时，求t的值； (3)当PQ将△ABC的面积分成1：3两部分时，直接写出点E到AC的距离， B Q F 备用图 22.(12分)【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB=C,点D在边 BC上，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE(旋转角小于I80°)，连接BE, CE,以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC,使∠FCE=a,连接AF, 【特例感知】 (1)如图1，当a=60°时，则AF与BE的数量关系为 【尝试探究】(2)如图2，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示）， 并说明理由： 【拓展应用(3)如图4，当a=30°，且点B,E,F三点共线时，若C=4W7,BD-亏BC 请直接写出AF的长， B D 图1 图2 图3 九年级数学学科 共4页第 23.(12分)生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决.也可以从“图 形”的角度来研究， 某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形 的面积与周长存在一定的关系.小组成员进行了如下研究： 【问题探究】 (1)设矩形的长和宽分别为x,y,当m=10时，这样的矩形存在吗？如果存在， 请你求出矩形的长与宽：如果不存在，请你说明理由 (2)从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为'=红>0，从矩形的周长为 10可得到y与x的函数关系式为： ，在图1中画出该函数图象（无需 画图过程)将满足要求的(x,y)可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐 标，观察图象可看出交点坐标为 即当矩形面积为4周长是10时， 这样的矩形是存在的， 【拓展应用】 (3)我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图2，函数y:>0 的图象G 经过点A(4,1),直线：y=+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.记图 象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域（不含边界）为W.若 区域W内恰好有4个整点，结合图象请直接写出b的取值范围 6 3 3 2 B 士年 x斗b 34558 678 图1 图2 长4页第4页 1-5 CADAC 6-10 CCBDA 11 12 14 13 20 14 （2，﹣3）或（﹣2，3） 15 6﹣3 16（1） x1＝，x2＝ （2）﹣1 17 18（1）证明：由题意得，CE∥DO，DE∥CO， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥DB， 则∠COD＝90°， ∴四边形OCED为矩形； （2） 19 任务1，甲店每天的销售量为（20+2a）件，乙店每天的销售量为（32+2b）件， 任务2， 设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元， 由题意得：（40﹣m）（20+2m）+（30﹣m）（32+2m）＝2244， 整理得：m2﹣22m+121＝0， 解得：m1＝m2＝11， 即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 20解：过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H， 由题意得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE， 在Rt△ABG中，AB＝3.5m，∠BAG＝70°， ∴AG＝AB•cos70°≈3.5×0.342＝1.197（m）， BG＝AB•sin70°≈3.5×0.94＝3.29（m）， ∴BG＝DH＝3.29（m）， ∵AD＝4m， ∴DG＝BH＝AD﹣AG＝4﹣1.197＝2.803（m）， ∵DF＝2.29m， ∴FH＝DH﹣DF＝3.29﹣2.29＝1（m）， 在Rt△CFH中，∠CFH＝60°， ∴CH＝FH•tan60°＝≈1.732（m）， ∴BC＝BH﹣CH＝2.803﹣1.732＝1.071≈1.07（m）， ∴BC的长度约为1.07m． 21（1）在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠C＝90°，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿BA向点A运动，PQ⊥BC于点Q， ∴PQ∥AC， ∴△ABC∽△PBQ， ∴， 由题意可知，BP＝5t，则， ∴PQ＝4t； （2）由（1）可知，BP＝5t，PQ＝4t，则， 则CQ＝6﹣3t， ∵∠ACB＝∠CQP＝90°， 当△CPQ与△ABC相似时，分两种情况讨论：当时，△ABC∽△CPQ；当时，△ABC∽△PCQ； ①当时，△ABC∽△CPQ，即：， 解得：； ②当时，△ABC∽△PCQ，即：， 解得：t＝1； 综上，当△CPQ与△ABC相似时，t的值为或1； （3）， 当PQ将△ABC的面积分成1：3两部分时， 分两种情况讨论：S△PBQ：S梯形PQCA＝1：3或S△PBQ：S梯形PQCA＝3：1； 当S△PBQ：S梯形PQCA＝1：3时，S△PBQ：S△ABC＝1：4， ∴， 解得：t＝1， 此时，BQ＝3，PE＝QF＝2t＝2，则BF＝5， ∴点F在线段BC上，则CF＝BC﹣BF＝1， 即：点E到AC的距离为1； 当S△PBQ：S梯形PQCA＝3：1时，S△PBQ：S△ABC＝3：4， ∴， 解得：， 此时，，，则， ∴点F在射线BC上，则， 即：点E到AC的距离为； 综上，点E到AC的距离为1或． 22.（1）AF＝BE （2）BE＝2cosαAF （3） 23（1）这样的矩形存在，长为4，宽为1 当矩形周长m＝10时，x+y＝5， ∵矩形面积S＝4， ∴xy＝4， 联立得， 解得：（舍去），， ∴矩形的长为4，宽为1； （2）y＝5﹣x，（1，4）或（4，1）； （3）b＜﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $