第二章 重点题型强化（五）函数单调性的综合问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

知识 层面 1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系．　2.能求简单的含参的函数的单调区间．　3.能根据函数的单调性求参数的取值范围．　4.由函数的单调性能够比较大小(或解不等式). 素养 层面 通过对含参的函数的单调区间的求法和根据函数的单调性求参数的取值范围问题，进一步提升数学运算、逻辑推理素养. 题型一　求含参函数的单调区间 例1　 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋x＋1，其中a∈R.求函数f(x)的单调区间． 解：f(x)＝ln x＋ax2＋x＋1，定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＋a＋2＝， 当a＝0时，f′(x)＝>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>0时，f′(x)＝＝>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a<0时，令f′(x)>0，得0<x<－；令f′(x)<0，得x>－. 即f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 当a<0时，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减． [变式探究] (变条件)当f′(x)＝(x>0)时，试判断函数f(x)的单调性． 解：当a≤1时，因为ex>1 ，所以ex－a>0恒成立， 所以当x>1时，函数f(x)单调递增，当0<x<1时，函数f(x)单调递减． 当a>1时，由ex－a＝0，得x＝ln a. 当0<ln a<1，即1<a<e时，由f′(x)>0得，x>1，或0<x<ln a，所以函数f(x)单调递增； 由f′(x)<0得，ln a<x<1，所以函数f(x)单调递减． 当ln a＝1，即a＝e时，f′(x)≥0在x>0上恒成立，所以函数f(x)在x>0上单调递增． 当ln a>1，即a>e时，由f′(x)>0得，x>ln a，或0<x<1，所以函数f(x)单调递增； 由f′(x)<0得，1<x<ln a， 所以函数f(x)单调递减． 综上可知，当a≤1时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减． 当1<a<e时，函数f(x)在(0，ln a)和(1，＋∞)上单调递增，在(ln a，1)上单调递减． 当a＝e时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>e时，函数f(x)在(0，1)和(ln a，＋∞)上单调递增，在(1，ln a)上单调递减． 用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 第一步：确定函数f(x)的定义域； 第二步：求导数f′(x)； 第三步：分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 第四步：在不同的参数范围内，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，确定函数f(x)的单调区间． 注意：在研究函数的单调性时，当f′(x)为二次函数型时，要特别关注如下思考路径：f′(x)是否为伪二次；开口方向；因式分解(Δ)；比较根的大小．并且始终要关注函数的定义域． 对点练1.已知函数f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)，求函数f(x)的单调区间． 解：f′(x)＝－ax2＋2x＝－x(ax－2)， ①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，f′(x)＝2x，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a<0时，令f′(x)>0，(－ax＋2)x>0， 即x>0，所以x>0或x<； 令f′(x)<0，得<x<0. 故f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为. 综上所述，当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)； 当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为. 题型二　由单调性求参数的取值范围 例2　 已知关于x的函数f(x)＝x3－ax＋b. (1)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值． 解：f′(x)＝3x2－a. (1)若函数f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上单调递增． 则f′(x)＝3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立， 则a≤(3x2)min. 因为x>1，所以3x2>3. 所以a≤3，即实数a的取值范围为(－∞，3]． (2)令f′(x)>0，得x2>. 若a≤0，则x2≥恒成立，即f′(x)≥0恒成立， 此时，函数f(x)＝x3－ax＋b在R上单调递增，与题意不符； 若a>0，令f′(x)>0，解得x>或x<－. 因为(1，＋∞)是函数f(x)的一个单调递增区间， 所以 ＝1，即a＝3. 学生用书↓第76页 [变式探究] 1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax＋b的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的值． 解：由题意得f′(x)＝3x2－a，函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)． ①当a≤0时，f′(x)≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，与已知矛盾，不符合题意； ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－＜x＜时，f′(x)＜0. 所以f(x)在上为减函数， 所以f(x)的单调递减区间为， 又函数f(x)＝x3－ax＋b的单调递减区间为(－1，1)， 所以＝1，即a＝3. 2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围又如何？ 解：f′(x)＝3x2－a， 当a≤0时，f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a>0时，函数f(x)在(1，＋∞)上不单调，即f′(x)＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有实根． 由3x2－a＝0，可得x＝或x＝－(舍去)．依题意，有>1， 所以a>3，所以实数a的取值范围为(3，＋∞)． 1．已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． 2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．　　 对点练2. 若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax是定义域上的增函数，求实数a的取值范围． 解：因为f(x)＝2x2＋ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，且是(0，＋∞)上的增函数， 所以f′(x)＝4x＋－a≥0在(0，＋∞)上恒成立． 所以a≤4x＋在(0，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝4x＋， 由于g(x)＝4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即x＝时取等号． 所以g(x)min＝4.所以a≤4. 又当a＝4时，f′(x)＝4x＋－4＝＝≥0满足条件． 所以实数a的取值范围为(－∞，4]． 题型三　已知函数的单调性比较大小(或解不等式) 例3　f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足xf′(x)＋2f(x)>0，则不等式<的解集为(　　 ) A．{x|x>－2 020} B．{x|x<－2 020} C．{x|－2 024<x<0} D．{x|－2 024<x<－2 020} 答案：D 解析：构造g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，因为定义域为(0，＋∞)，且xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)>0，所以函数g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不等式<可化为(x＋2 024)2f<42f，即g(x＋2 024)<g(4)，所以有0<x＋2 024<4，解得－2 024<x<－2 020.即不等式的解集为{x|－2 024<x<－2 020}．故选D. 已知不等式构造函数，常利用乘积或商的导数，然后对构造的函数判断单调性，最后根据单调性比较大小或解不等式即可． 对点练3.　已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则(　　 ) A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1) B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1) C．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1) D．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1) 答案：D 解析：构造函数g(x)＝⇒g′(x)＝，因为f(x)<f′(x)，所以g′(x)>0，因此函数g(x)是增函数，于是有g(2)>g(1)⇒>⇒f(2)>ef(1)，构造函数h(x)＝f(x)·ex⇒h′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)<f′(x)<0，所以h′(x)<0，因此h(x)是单调递减函数，于是有h(2)<h(1)⇒e2f(2)<ef(1)⇒ef(2)<f(1)．故选D. 课时测评24　函数单调性的综合问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－9每小题5分，共45分) 1．函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则(　　 ) A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b∈R C．a＝－3，b＝3 D．a＝－3，b∈R 答案：D 解析：f′(x)＝3x2＋a.因为f(x)在(－1，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，所以f′(1)＝3＋a＝0，所以a＝－3，b∈R.故选D. 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 答案：C 解析：若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需f′(x)＝3x2＋2x＋m≥0或f′(x)＝3x2＋2x＋m≤0恒成立，显然，f′(x)＝3x2＋2x＋m≤0不可能恒成立，即只有f′(x)＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥.故选C. 3．设函数f(x)＝ax2＋ln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　 ) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 答案：C 解析：由题意f′(x)＝ax＋≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－，又y＝－在(1，＋∞)上单调递增，所以－1<－<0，则a≥0.故选C. 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 答案：C 解析：依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C. 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝xex，则下列结论中正确的是(　　 ) A．f(e)<f(ln 3)<f(4) B．f(ln 3)<f(4)<f(e) C．f(4)<f(e)<f(ln 3) D．f(ln 3)<f(e)<f(4) 答案：B 解析：因为f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(4)＝f(2)．因为当x∈(0，3)时，f(x)＝xex，所以f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，故f′(x)>0，所以f(x)在(0，3)内单调递增，又0<ln 3<2<e<3，所以f(ln 3)<f(2)<f(e)，所以f(ln 3)<f(4)<f(e)．故选B. 6．(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，且f′(x)>1，f(3)＝4，则下列结论中正确的有(　　 ) A．f(x)为增函数 B．g(x)＝f(x)－x为增函数 C．f(2x－1)>4的解集为(－∞，2) D．f(2x－1)>2x的解集为(2，＋∞) 答案：ABD 解析：对于A，因为f′(x)>1>0，所以f(x)为增函数，故A正确；对于B，由g(x)＝f(x)－x，得g′(x)＝f′(x)－1>0，所以g(x)为增函数，故B正确；对于C，f(3)＝4，则f(2x－1)>4等价于f(2x－1)>f(3)，又f(x)为增函数，所以2x－1>3，解得x>2，所以f(2x－1)>4的解集为(2，＋∞)，故C错误；对于D，f(2x－1)>2x等价于f(2x－1)－(2x－1)>1＝f(3)－3，即g(2x－1)>g(3)，又g(x)为增函数，所以2x－1>3，解得x>2，所以f(2x－1)>2x的解集为(2，＋∞)，故D正确．故选ABD. 7．已知定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)>1，且f(2m)<f(m＋1)，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，1) 解析：因为定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)>1>0，所以f(x)在R上单调递增，由f(2m)<f(m＋1)，得2m<m＋1，即m<1.所以实数m的取值范围为(－∞，1)． 8．函数f(x)＝x3－(2a＋1)x2＋(a2＋a)x＋4的单调减区间是________． 答案：(a，a＋1) 解析：依题意知，函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋(a2＋a)＝[x－(a＋1)](x－a)，由f′(x)<0解得a<x<a＋1，即f(x)在(a，a＋1)上单调递减，所以f(x)的单调减区间是(a，a＋1)． 9．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为______________． 答案：－ 解析：f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，因为f(x)的单调递减区间是，所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，即解得m＝－. 10．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(4分) (2)求函数f(x)的单调区间．(6分) 解：(1)因为a＝1，所以f(x)＝x3＋x2－x＋2， 所以f′(x)＝3x2＋2x－1，所以f′(1)＝4. 又f(1)＝3， 所以切点坐标为(1，3)， 所以所求切线方程为y－3＝4(x－1)， 即4x－y－1＝0. (2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)， 由f′(x)＝0得x＝－a或x＝. 当a>0时，由f′(x)<0，得－a<x<， 由f′(x)>0，得x<－a或x>， 故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(－∞，－a)和. 当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立， 故f(x)在R上单调递增； 当a<0时，由f′(x)<0，得<x<－a， 由f′(x)>0，得x<或x>－a， 故f(x)的单调递减区间为， 单调递增区间为和(－a，＋∞)． 综上所述，当a>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(－∞，－a)和； 当a<0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和(－a，＋∞)． 当a＝0时，f(x)在R上单调递增． (11－13每小题5分，共15分) 11．若函数f(x)＝ax3＋x在定义域R上恰有三个单调区间，则a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，0] D．[0，＋∞) 答案：A 解析：因为函数f(x)＝ax3＋x在定义域R上恰有三个单调区间，所以其导函数在定义域R上有两个不同的零点，即a≠0，由f′(x)＝3ax2＋1＝0，得x2＝－，所以只需a<0，方程3ax2＋1＝0在R上有两个不同的实数根．故选A. 12．(多选题)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且(x＋1) f′(x)<0，则下列结论不正确的是(　　 ) A．f(0)<f(1) B．f(1)<f(2) C．f (－1)<f(2) D．f(－3) <f (－2) 答案：ABC 解析：对于A，B，因为(x＋1)f′(x)<0，所以当x＋1>0，即x>－1时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，所以f(0)>f(1), f(1)>f(2)，故A，B错误；对于D，当x＋1<0，即x<－1时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上单调递增，所以f (－3)<f (－2)，故D正确；对于C，令f(x)＝－(x＋1)2，满足f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递增，此时f (－1)＝0>－9＝f(2)，故C错误．故选ABC. 13．(新定义)定义在区间I上，若函数y＝f(x)是减函数，且y＝xf(x)是增函数，则称y＝f(x)在区间I上是“弱减函数”．若f(x)＝在(m，＋∞)上是“弱减函数”，则实数m的取值范围是________． 答案：[e，＋∞) 解析：因为f(x)＝在(m，＋∞)上是“弱减函数”，所以f(x)＝在(m，＋∞)上是减函数，且y＝xf(x)＝ln x在(m，＋∞)上是增函数，易知y＝xf(x)＝ln x在(m，＋∞)上是增函数显然成立，故只需f(x)＝在(m，＋∞)上是减函数．因为f′(x)＝，故当0<x<e时，f′(x)>0；当x>e时，f′(x)<0，故f(x)＝在(e，＋∞)上单调递减，故(m，＋∞)⊆(e，＋∞)，故m≥e，即m∈[e，＋∞)． 14．(10分)已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R. (1)当a＝8时，求f(x)的单调区间；(3分) (2)若f(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，求实数a的取值范围；(3分) (3)若f(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围．(4分) 解：(1)当a＝8时，f(x)＝x2－4x－6ln x，定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－4－＝， 令f′(x)>0，得x>3； 令f′(x)<0，得0<x<3， 所以f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0，3)． (2)由题意知，f′(x)＝2x－4＋≥0在[2，＋∞)内恒成立， 则a≤2x2－4x＋2在[2，＋∞)内恒成立． 令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2， 则a≤g(x)min，而g(x)在[2，＋∞)内的最小值为g(2)＝2，所以a≤2. 故实数a的取值范围为(－∞，2]． (3)依题意，f′(x)＝2x－4＋<0在区间(0，＋∞)内有解， 即2x2－4x＋2－a<0在区间(0，＋∞)内有解， 而抛物线y＝2x2－4x＋2－a的对称轴为直线x＝1且开口向上， 则必有Δ＝16－8(2－a)>0，即a>0. 故a的取值范围为(0，＋∞)． 15．(5分)若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．a>b>c 答案：A 解析：a＝＝，b＝＝，c＝，设f(x)＝，f′(x)＝，则x>e时，f′(x)<0，故f(x)在(e，＋∞)上单调递减，则f (e)>f(3)>f (4)，即>>，所以a>c>b.故选A. 16．(15分)已知函数f(x)＝ax2＋2 (1－a)x－2ln x(a∈R)． (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(e，f (e))处的切线方程；(5分) (2)讨论函数y＝f(x)的单调性．(10分) 解：(1)由a＝0，则f(x)＝2x－2ln x， f(e)＝2e－2， 所以f′(x)＝2－，f′ (e)＝2－，所以切线方程为y－(2e－2)＝(x－e)， 即y＝x. (2)由f(x)＝ax2＋2(1－a) x－2ln x，求导得f′(x)＝2ax＋2(1－a)－＝， ①当a＝0时，f′(x)＝，f′(x)<0，解得x∈(0，1)，f′(x)>0，解得x∈(1，＋∞)， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞). 1 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)， 当x∈(0，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞). ③当a<－1时，令f′(x)＝0， 解得x＝1或x＝－， 当x∈∪(1，＋∞)时，f′(x)<0， 当x∈时，f′(x)>0， 则函数f(x)的单调递减区间为和(1，＋∞)，单调递增区间为. ④当a＝－1时，f′(x)＝≤0，则函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞). ⑤当－1<a<0时，令f′(x)＝0， 解得x＝1或x＝－， 当x∈(0，1)∪时，f′(x)<0， 当x∈时，f′(x)>0， 则函数f(x)的单调递减区间为(0，1)和，单调递增区间为. 综上，当a≥0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； 当a<－1时，函数f(x)的单调递减区间为和(1，＋∞)，单调递增区间为； 当a＝－1时，函数f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 当－1<a<0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)和，单调递增区间为. 学生用书↓第77页 学科网（北京）股份有限公司 $$